向量场、梯度、散度与旋度

学习目标与定义

计算向量微分算子，将它们与局部膨胀和环流联系起来，并判断何时存在势函数。设 $U\subseteq\mathbb R^3$ 为开集。向量场是映射 $F=(P,Q,R):U\to\mathbb R^3$。对标量 $C^1$ 函数 $\phi$，其梯度为 $\nabla\phi=(\phi_x,\phi_y,\phi_z)$。对 $C^1$ 向量场定义

$$\operatorname{div}F=P_x+Q_y+R_z, \quad \operatorname{curl}F=(R_y-Q_z,\ P_z-R_x,\ Q_x-P_y).$$

散度是标量，旋度是向量，梯度则要求标量输入。这些类型区别可防止无意义的代入。$F$ 的势函数是满足 $F=\nabla\phi$ 的可微标量函数 $\phi$。加上常数不改变其梯度；在连通定义域上，任意两个势函数只相差一个常数。

若 $\phi$ 为 $C^2$，连续混合偏导数相等给出 $\operatorname{curl}(\nabla\phi)=0$。若 $F$ 为 $C^2$，同理得到 $\operatorname{div}(\operatorname{curl}F)=0$。展开所列定义可看到各项逐一抵消；第二个恒等式涉及各分量的二阶导数，而不只是一次导数。

定理：星形定义域上的势函数

设 $U$ 为相对于零的开星形集：对每个 $x\in U$ 和 $0\le t\le1$，都有 $tx\in U$。若 $F\in C^1(U)$ 且 $\operatorname{curl}F=0$，则

$$\phi(x)=\int_0^1F(tx)\cdot x\,dt$$

是势函数。若星形中心不同，先平移坐标。

证明。 固定 $x$。紧线段 $\{tx:0\le t\le1\}$ 有一个包含于 $U$ 的小邻域，允许对该有限积分在积分号下求导；连续一阶导数给出该紧集上一致的差商界和收敛。对坐标 $j$，

$$\partial_j\phi(x)=\int_0^1\left(F_j(tx)+t\sum_i x_i\partial_jF_i(tx)\right)dt.$$

零旋度恰好等价于对称关系 $\partial_jF_i=\partial_iF_j$，因此被积函数等于 $d[tF_j(tx)]/dt$。由一元微积分基本定理得到 $\partial_j\phi(x)=F_j(x)$，因为在 $t=0$ 时其值为零。这在明确的定义域和正则性假设下证明了存在性，而不只是写出一个候选公式。

对 $F=\nabla\phi$ 和分段 $C^1$ 路径 $r:[a,b]\to U$，在每个光滑段应用链式法则得到 $\int_rF\cdot dr=\phi(r(b))-\phi(r(a))$；求和时内部端点抵消。因此每条闭路径的积分均为零。反过来，设 $F$ 在非空开路径连通定义域上连续。若每条分段 $C^1$ 闭路径的积分为零，可从基点积分定义 $\phi(x)$。拼接路径表明与路径无关；增加短坐标线段可证明每个偏导数等于 $F_j$。这是另一条势函数判据，不要求星形，但积分假设更强。

证明

由路径无关构造势函数

设 $\Omega\subset\mathbb R^m$ 非空、开且路径连通，$F:\Omega\to\mathbb R^m$ 连续。从基点可由折线路径到达的点构成 $\Omega$ 的相对开子集：取包含在 $\Omega$ 内的小球，便可追加一条线段。其补集也相对开，否则该小球内的一个可达点会使球心也可达。由连通性，每点都可达；折线路径属于分段 $C^1$ 路径。

固定 $x_0\in\Omega$，以任意这类从 $x_0$ 到 $x$ 的路径上 $F$ 的积分定义 $\phi(x)$。路径无关使此数唯一。对 $x\in\Omega$，取完全包含在 $\Omega$ 内的邻域小球。设 $e_i$ 为第 $i$ 个坐标向量；当 $h$ 充分小时，追加坐标线段可得

$$\phi(x+he_i)-\phi(x)=\int_0^h F_i(x+te_i)\,dt.$$

除以 $h\ne0$ 后，连续性使左右两侧的 $h\to0$ 极限均为 $F_i(x)$，故 $\partial_i\phi(x)=F_i(x)$。因 $F$ 连续，这些偏导数也连续，所以 $\phi$ 属 $C^1$ 且 $\nabla\phi=F$。这个逆命题不要求 $F$ 可微。若 $F$ 属 $C^1$，则势函数属 $C^2$；在平面上，混合偏导相等给出 $P_y=Q_x$。

例题与定义域提示

构造势函数。 对 $F=(2xy+z,x^2, x)$，混合偏导数匹配。积分 $\phi_x=2xy+z$ 得 $\phi=x^2y+xz+h(y,z)$。匹配第二、第三分量迫使 $h_y=h_z=0$，故在 $\mathbb R^3$ 上 $\phi=x^2y+xz+C$。

零旋度但无全局势函数。 在 $U=\{(x,y,z):x^2+y^2>0\}$ 上，设 $F=(-y/(x^2+y^2),x/(x^2+y^2),0)$。直接求导得到零旋度。但沿 $r(t)=(\cos t,\sin t,0)$、$0\le t\le2\pi$，点积 $F(r)\cdot r'$ 等于一，所以环流为 $2\pi$。若有势函数则环流必须为零，故不存在全局势函数。该定义域不是星形且有孔洞；局部微分条件单独无法发现这一障碍。

分层练习

1. 基础。 求 $F=(x^2,y^2,z^2)$ 的散度和旋度。
2. 核心。 求 $F=(yz,xz,xy)$ 的势函数，并沿任意分段光滑路径从 $(0,0,0)$ 积分到 $(1,2,3)$。
3. 核心。 对 $F=(-y,x,0)$，求单位圆环流并与其旋度比较。
4. 证明。 证明连通开集上的势函数只相差一个常数，并说明为什么需要连通性。

完整解答

1. 散度为 $2x+2y+2z$，旋度的各分量均为零。一个势函数为 $(x^3+y^3+z^3)/3$。
2. 势函数为 $xyz$，可通过求导验证。路径积分为端点差 $6-0=6$。
3. 旋度为 $(0,0,2)$。标准逆时针单位圆参数化给出 $F(r)\cdot r'=1$，故环流为 $2\pi$，与穿过向上定向圆盘的旋度通量一致。
4. 二者之差 $h$ 的梯度为零。在定义域内的每个小球中，沿线段使用均值论证可知 $h$ 为常数。因此 $h$ 局部为常数。$h$ 等于某个选定点的值的集合及其补集都相对开；连通性迫使补集为空。在不连通集合上，可以在不同连通分支选择不同常数。

总结与术语定义

向量场为每一点指定一个向量。散度是无穷小净向外通量密度，旋度衡量有定向环流密度。势函数将线积分转化为端点差。星形是指到某个中心的每条线段都留在定义域内。由零旋度推断全局势函数前，应检查正则性、定义域几何及算子类型。