二重积分深化：Darboux 构造与连续情形 Fubini 定理证明

学习目标与定理的确切适用类

通过矩形上和与下和定义正常二重积分，证明连续函数可积，并证明紧矩形上连续函数的 Fubini 定理。接着研究普通非矩形区域所需的额外边界论证。

设 $R=[a,b]\times[c,d]$，其中 $a<b,c<d$。网格由每个坐标区间的划分组成。其单元是内部互不相交的闭子矩形。对有界函数 $f:R\to\mathbb R$，设 $m_{ij},M_{ij}$ 分别为其在单元 $R_{ij}$ 上的下确界和上确界，该单元面积为 $\Delta A_{ij}$。定义 $L(f,P)=\sum m_{ij}\Delta A_{ij}$ 和 $U(f,P)=\sum M_{ij}\Delta A_{ij}$。

1. 定义及有用判据

细化网格会提高下和、降低上和。对任意两个网格，其共同细化证明每个下和都不大于每个上和。因此下积分 $\underline I=\sup_P L(f,P)$ 不超过上积分 $\overline I=\inf_P U(f,P)$；由有界性两者均有限。当这两个数相等时，函数 Riemann 可积，其共同值记为 $\iint_R f$。

定理：矩形 Darboux 判据

有界函数可积，当且仅当对每个 $\varepsilon>0$，存在网格使 $U(f,P)-L(f,P)<\varepsilon$。

证明。 若上下积分均等于 $I$，选取大于 $I-\varepsilon/2$ 的下和与小于 $I+\varepsilon/2$ 的上和，再共同细化两个网格。新的差小于 epsilon。反之，任何这样的网格都给出 $0\le\overline I-\underline I\le U-L$。差可任意小迫使上下积分相等。证明使用二维上确界论证，并未假设 Fubini 定理。

定理：连续性蕴含正常可积性

若 $f$ 在 $R$ 上连续，则在其上有界且一致连续。记 $A=(b-a)(d-c)>0$。选取距离尺度使输出差小于 $\varepsilon/(2A)$。充分细的网格使每个单元直径小于该尺度，因而每个振幅 $M_{ij}-m_{ij}$ 至多为 $\varepsilon/(2A)$。所以 $U-L\le\varepsilon/2<\varepsilon$，可积性得证。

对任意标记点 $\xi_{ij}\in R_{ij}$，相应有限和介于网格下和与上和之间。因此只要网格上下和之差小，其带标记近似就接近积分。这是定义的结果，而非新的极限约定。

2. 证明连续矩形情形的 Fubini 定理

定理

对 $R$ 上的连续函数 $f$，

$$\iint_R f(x,y)\,dA =\int_a^b\left(\int_c^df(x,y)\,dy\right)dx =\int_c^d\left(\int_a^bf(x,y)\,dx\right)dy.$$

首先证明累次积分存在。 每个一元截面均连续且可积。令 $g(x)=\int_c^df(x,y)dy$。$f$ 的一致连续性给出

$$|g(x)-g(x_0)|\le(d-c)\sup_{y\in[c,d]}|f(x,y)-f(x_0,y)|\longrightarrow0.$$

因此 $g$ 连续且可积。交换内层坐标所得函数同理连续。

再用二维上下和夹住累次积分。 在每个单元上，$m_{ij}\le f(x,y)\le M_{ij}$。固定第 $i$ 个条带内的 $x$，在各 $y$ 区间上积分这些界并相加：

$$\sum_jm_{ij}\Delta y_j\le g(x)\le\sum_jM_{ij}\Delta y_j.$$

在该 $x$ 条带上积分，再对 $i$ 求和，得到 $L(f,P)\le\int_a^bg(x)dx\le U(f,P)$。二重积分也介于同样的上下界之间。存在差任意小的网格，因而迫使两者相等。交换坐标重复论证得到第二个等式。这里没有交换未经证明的无限重和次序；只使用有限和、普通积分不等式和 Darboux 判据。

因此可分离连续被积函数 $f(x,y)=p(x)q(y)$ 的积分为 $(\int p)(\int q)$。这是在所述假设下的积分恒等式，不是对未指定实验中概率独立性的断言。

3. 普通曲边界为何不破坏正常可积性

设 $D=\{a\le x\le b,\ell(x)\le y\le u(x)\}$，$\ell\le u$ 连续，$f$ 在 $D$ 上连续。此集是紧集。取外接矩形 $R=[a,b]\times[c,d]$，使 $c\le\ell(x)\le u(x)\le d$。夹取映射

$$p(x,y)=\bigl(x,\min(u(x),\max(\ell(x),y))\bigr)$$

连续，把 $R$ 映入 $D$，并固定 $D$ 的每点。因此 $\widetilde f=f\circ p$ 是 $R$ 上的连续延拓。在下面的估计中，暂以 $f$ 表示这个延拓，再把 $D$ 外的值置为零。这个零延拓可能在边界跳跃，不能声称它处处连续。

应转而控制边界单元。在竖直网格条带内，一致连续性使任一边界图像的振幅可任意小。与该图像相交的单元可由一个矩形覆盖，其高度至多为该振幅加上两个竖直网格宽度。对条带宽度求和可知，当两个网格宽度都趋于零时，这些图像边界单元的总面积趋于零。两条竖直端边界同样可由总面积任意小的条带覆盖。

若 $|f|\le M$，边界单元对上下和之差的贡献至多为其总面积乘 $2M$。远离边界的单元完全位于区域内或区域外：内部由 $f$ 的一致连续性使振幅小，外部函数为零。先使边界面积小，再使普通单元振幅小，总差便可任意小，证明零延拓可积，因而 $f$ 在 $D$ 上可积。

相同估计表明该积分为 $\int_a^b\int_{\ell(x)}^{u(x)}f(x,y)dydx$：在每个条带上，改变竖直端点及 $x$ 输入只会使内积分发生一致的小变化，而趋零的边界单元面积控制端点。具体地，记外接矩形的竖直跨度为 $H$，

$$|g(x)-g(x_0)|\le H\sup_y|f(x,y)-f(x_0,y)|+M(|\ell(x)-\ell(x_0)|+|u(x)-u(x_0)|),$$

因此内积分函数连续。排除已受控制的边界单元后，可使用有限条带 Darboux 夹逼。这证明常见连续简单区域的情况；更一般的区域或反常版本需要各自假设，不能从此证明自动推出。

4. 定量网格与有界不连续性

若 $f$ 在单位正方形上以 $K$ 为 Lipschitz 常数，则 $n$ 乘 $n$ 网格的每个单元振幅至多为 $K\sqrt2/n$。总面积为一，故 $U-L\le K\sqrt2/n$。因此可以根据目标误差选择网格，而不是靠试验。对 $f=x+y$，精确差为 $2/n$，与 $K=\sqrt2$ 一致。

将有界函数在有限个点处改变，积分不变：以总面积任意小的网格单元覆盖这些点，并用有限的统一绝对值界控制贡献。但单点附近的无界奇异行为不在此论证范围内。坐标与切片拓展中的有理反常反例有不相等的累次积分值，正是因为所需的有界性／绝对可积性控制失效。

分层构造与证明练习

1. 定义。 证明共同细化网格使每个下和不超过每个上和。取实数上确界和下确界之前为何需要有界性？
2. 先存在，再交换。 在 Fubini 证明中，解释为什么仅有截面可积性不足以保证外层积分存在。给出能保证存在的一致连续性估计。
3. 误差证明。 对单位正方形上的 Lipschitz 函数，给出使上下和之差小于 epsilon 的充分整数网格大小，并检验 $f=x+y$ 的精确差。
4. 反例。 在单位正方形上，当两个坐标均为有理数时令 $f=1$，否则为零。证明函数有界但非 Riemann 可积。连续 Fubini 的假设成立吗？
5. 边界逻辑。 为什么跨过曲边界的零延拓一般不连续？解释边界单元面积估计如何修复正常可积性证明。
6. 有限点修改。 证明改变连续矩形被积函数的有限个点不会改变二重积分。解释为什么不能用同一句话忽略去心邻域内的无界奇异性。

完整解答

1. 将所有坐标划分点合并得到共同网格。细化提高第一个下和并降低第二个上和，而共同网格上每个单元的下确界不超过其上确界。因此对任意网格有 $L(f,P)\le U(f,Q)$。$|f|$ 的有限界将每个和的绝对值控制在该界乘矩形面积以内，保证定义上下积分所用的极值是有限实数。
2. 外层被积函数是截面积分 $g(x)$；任意一组可积截面不一定产生可积的外层函数。这里 $|g(x)-g(x_0)|\le(d-c)\sup_y|f(x,y)-f(x_0,y)|$，紧集上的一致连续性使右侧上确界趋于零。因此外层函数连续，从而在断言相等之前先证明其可积性。
3. 取整数 $n>K\sqrt2/\varepsilon$；若 $K=0$，任何网格的差都为零。对 $x+y$，每个均匀单元的值域宽度为 $2/n$，面积为 $1/n^2$。对 $n^2$ 个单元求和，得到精确差 $2/n$，与取 $K=\sqrt2$ 时给出的界一致。
4. 每个非退化单元都包含一对有理坐标，所以上确界为一；也包含至少一个坐标无理的点，故下确界为零。每个网格上和都为一、下和都为零，判据不成立。函数不连续；固定有理 $x$ 时，其 $y$ 截面是不可积的有理数指示函数，因此在尝试外层积分前就看到了存在性问题。
5. 内部非零边界值跨越边界趋近外部零值，可能造成跳跃。证明将所有此类跳跃限制在总面积可任意小的边界单元中，其上下和之差贡献至多为该面积乘 $2M$。其他地方由普通一致连续性或零值控制振幅，两个因素都必不可少。
6. 差函数有界，且仅在有限个点非零。给定任意正面积目标，选取足够细的坐标区间围住这些点，使受影响单元的有限并的总面积小于目标。上下积分的绝对值至多为差函数的界乘该面积，迫使积分为零。无界奇异性在缩小的邻域上没有共同界 $M$，故该估计不适用，不能仅凭异常点的面积得出结论。

总结与术语

矩形 Darboux 积分由上积分与下积分相等定义。共同细化用于比较不同网格。边界单元估计控制普通区域边界附近的有界跳跃。连续 Fubini 定理在证明二重积分与累次积分均存在后得到。反常奇异性与更一般的区域需要额外假设，不能由有限矩形证明自动推广。