二重积分与累次积分

这里的矩形端点满足 $a<b$、$c<d$；简单区域的连续界函数处处满足 $g_1\le g_2$。下文的完整 Darboux 与切片证明保留这些假设。

从面积和到累积量

若 $f(x,y)$ 是每单位面积的密度，把小区块中的取样密度乘以其面积，可估计该区块的总量。将所有区块相加并不断细分。若 $f$ 可以为负，结果是带符号的量，不一定是实际质量或无符号体积。

定义

矩形上的二重积分

设 $R=[a,b]\times[c,d]$。把 $R$ 分割成面积为 $\Delta A_i$ 的小矩形 $R_i$，并在每一块选取 $p_i\in R_i$。若不论如何选取取样点，当最大小矩形直径趋零时，和 $\sum_i f(p_i)\Delta A_i$ 都趋向同一极限，该极限就是 $\iint_R f\,dA$。闭矩形上的每个连续函数均可积。

对有适当边界的有界区域 $D\subset R$，可把 $D$ 上的积分定义为 $f\mathbf1_D$ 在 $R$ 上的积分。这容许用不等式描述区域；足够规则的边界面积为零，所以只改变边界上的值不影响积分。$1$ 在 $D$ 上的积分等于 $D$ 的面积。当 $f\ge0$，$\iint_D f\,dA$ 是图像下方、$D$ 上方的体积。

定理

Fubini 定理与切片

若 $f$ 在矩形 $R=[a,b]\times[c,d]$ 上连续，则

$$\iint_R f\,dA=\int_a^b\left(\int_c^d f(x,y)\,dy\right)dx =\int_c^d\left(\int_a^b f(x,y)\,dx\right)dy.$$

若 $D=\{a\le x\le b,\ g_1(x)\le y\le g_2(x)\}$ 由连续函数围成，且 $f$ 在其上连续，第一个公式变成

$$\iint_D f\,dA=\int_a^b\int_{g_1(x)}^{g_2(x)}f(x,y)\,dy\,dx.$$

若 $D$ 可描述为 $c\le y\le d$、$h_1(y)\le x\le h_2(y)$，则可用类似的水平切片公式。

先对内层微分变数积分。其上下限可依赖被固定的变数；在此二元设定中外层上下限是常数。某些区域须先分块，才能用一个描述方式。以上方便的充分条件并不涵盖所有可积函数或不规则区域。

证明

为何切片自然

在矩形上，把二维黎曼和按垂直列分组。每一列的内和近似固定 $x$ 时对 $y$ 的积分，其余和再近似外层积分。闭矩形上的连续性提供控制极限所需的一致性。对简单区域，可把函数乘指示函数后在矩形积分；上下边界以外的切片贡献为零。这解释公式的来由；完整收敛论证由定理保证。

例题

先画区域再计算

设 $D$ 在 $0\le x\le1$ 时介乎 $y=x^2$ 和 $y=x$ 之间。对 $f(x,y)=x+y$，

$$\iint_D(x+y)\,dA=\int_0^1\int_{x^2}^x(x+y)\,dy\,dx =\int_0^1\left(\frac32x^2-x^3-\frac12x^4\right)dx=\frac3{20}.$$

水平切片则是 $0\le y\le1$ 且 $y\le x\le\sqrt y$，因此同一积分为 $\int_0^1\int_y^{\sqrt y}(x+y)\,dx\,dy$。不等式所扮演的角色改变了；只交换微分符号而不改上下限，会改变区域。

例题

换次序以便求积

考虑 $I=\int_0^1\int_x^1 e^{y^2}\,dy\,dx$。内层原函数不是初等函数。区域为 $0\le x\le y\le1$，因此

$$I=\int_0^1\int_0^y e^{y^2}\,dx\,dy =\int_0^1 ye^{y^2}\,dy=\frac{e-1}{2}.$$

换次序依赖连续性与正确描述区域，不是机械地交换符号。

设 $R=[a,b]\times[c,d]$，其中 $a<b,c<d$。网格由每个坐标区间的划分组成。其单元是内部互不相交的闭子矩形。对有界函数 $f:R\to\mathbb R$，设 $m_{ij},M_{ij}$ 分别为其在单元 $R_{ij}$ 上的下确界和上确界，该单元面积为 $\Delta A_{ij}$。定义 $L(f,P)=\sum m_{ij}\Delta A_{ij}$ 和 $U(f,P)=\sum M_{ij}\Delta A_{ij}$。

1. 定义及有用判据

细化网格会提高下和、降低上和。对任意两个网格，其共同细化证明每个下和都不大于每个上和。因此下积分 $\underline I=\sup_P L(f,P)$ 不超过上积分 $\overline I=\inf_P U(f,P)$；由有界性两者均有限。当这两个数相等时，函数 Riemann 可积，其共同值记为 $\iint_R f$。

定理：矩形 Darboux 判据

有界函数可积，当且仅当对每个 $\varepsilon>0$，存在网格使 $U(f,P)-L(f,P)<\varepsilon$。

证明。 若上下积分均等于 $I$，选取大于 $I-\varepsilon/2$ 的下和与小于 $I+\varepsilon/2$ 的上和，再共同细化两个网格。新的差小于 epsilon。反之，任何这样的网格都给出 $0\le\overline I-\underline I\le U-L$。差可任意小迫使上下积分相等。证明使用二维上确界论证，并未假设 Fubini 定理。

定理：连续性蕴含正常可积性

若 $f$ 在 $R$ 上连续，则在其上有界且一致连续。记 $A=(b-a)(d-c)>0$。选取距离尺度使输出差小于 $\varepsilon/(2A)$。充分细的网格使每个单元直径小于该尺度，因而每个振幅 $M_{ij}-m_{ij}$ 至多为 $\varepsilon/(2A)$。所以 $U-L\le\varepsilon/2<\varepsilon$，可积性得证。

对任意标记点 $\xi_{ij}\in R_{ij}$，相应有限和介于网格下和与上和之间。因此只要网格上下和之差小，其带标记近似就接近积分。这是定义的结果，而非新的极限约定。

2. 证明连续矩形情形的 Fubini 定理

定理

对 $R$ 上的连续函数 $f$，

$$\iint_R f(x,y)\,dA =\int_a^b\left(\int_c^df(x,y)\,dy\right)dx =\int_c^d\left(\int_a^bf(x,y)\,dx\right)dy.$$

首先证明累次积分存在。 每个一元截面均连续且可积。令 $g(x)=\int_c^df(x,y)dy$。$f$ 的一致连续性给出

$$|g(x)-g(x_0)|\le(d-c)\sup_{y\in[c,d]}|f(x,y)-f(x_0,y)|\longrightarrow0.$$

因此 $g$ 连续且可积。交换内层坐标所得函数同理连续。

再用二维上下和夹住累次积分。 在每个单元上，$m_{ij}\le f(x,y)\le M_{ij}$。固定第 $i$ 个条带内的 $x$，在各 $y$ 区间上积分这些界并相加：

$$\sum_jm_{ij}\Delta y_j\le g(x)\le\sum_jM_{ij}\Delta y_j.$$

在该 $x$ 条带上积分，再对 $i$ 求和，得到 $L(f,P)\le\int_a^bg(x)dx\le U(f,P)$。二重积分也介于同样的上下界之间。存在差任意小的网格，因而迫使两者相等。交换坐标重复论证得到第二个等式。这里没有交换未经证明的无限重和次序；只使用有限和、普通积分不等式和 Darboux 判据。

因此可分离连续被积函数 $f(x,y)=p(x)q(y)$ 的积分为 $(\int p)(\int q)$。这是在所述假设下的积分恒等式，不是对未指定实验中概率独立性的断言。

3. 普通曲边界为何不破坏正常可积性

设 $D=\{a\le x\le b,\ell(x)\le y\le u(x)\}$，$\ell\le u$ 连续，$f$ 在 $D$ 上连续。此集是紧集。取外接矩形 $R=[a,b]\times[c,d]$，使 $c\le\ell(x)\le u(x)\le d$。夹取映射

$$p(x,y)=\bigl(x,\min(u(x),\max(\ell(x),y))\bigr)$$

连续，把 $R$ 映入 $D$，并固定 $D$ 的每点。因此 $\widetilde f=f\circ p$ 是 $R$ 上的连续延拓。在下面的估计中，暂以 $f$ 表示这个延拓，再把 $D$ 外的值置为零。这个零延拓可能在边界跳跃，不能声称它处处连续。

应转而控制边界单元。在竖直网格条带内，一致连续性使任一边界图像的振幅可任意小。与该图像相交的单元可由一个矩形覆盖，其高度至多为该振幅加上两个竖直网格宽度。对条带宽度求和可知，当两个网格宽度都趋于零时，这些图像边界单元的总面积趋于零。两条竖直端边界同样可由总面积任意小的条带覆盖。

若 $|f|\le M$，边界单元对上下和之差的贡献至多为其总面积乘 $2M$。远离边界的单元完全位于区域内或区域外：内部由 $f$ 的一致连续性使振幅小，外部函数为零。先使边界面积小，再使普通单元振幅小，总差便可任意小，证明零延拓可积，因而 $f$ 在 $D$ 上可积。

相同估计表明该积分为 $\int_a^b\int_{\ell(x)}^{u(x)}f(x,y)dydx$：在每个条带上，改变竖直端点及 $x$ 输入只会使内积分发生一致的小变化，而趋零的边界单元面积控制端点。具体地，记外接矩形的竖直跨度为 $H$，

$$|g(x)-g(x_0)|\le H\sup_y|f(x,y)-f(x_0,y)|+M(|\ell(x)-\ell(x_0)|+|u(x)-u(x_0)|),$$

因此内积分函数连续。排除已受控制的边界单元后，可使用有限条带 Darboux 夹逼。这证明常见连续简单区域的情况；更一般的区域或反常版本需要各自假设，不能从此证明自动推出。

性质与方法选择

线性及对互不重叠区块的可加性，能简化复杂表达式或区域。若 $D$ 上 $f\le g$，则 $\iint_Df\le\iint_Dg$；特别地，$|\iint_Df|\le\iint_D|f|$。连续非负密度 $\rho$ 的质量为 $M=\iint_D\rho\,dA$。当 $M>0$，质心为 $(\bar x,\bar y)=(M^{-1}\iint_Dx\rho\,dA,M^{-1}\iint_Dy\rho\,dA)$。

垂直切片上下限较简单时便用垂直切片；若水平切片简化区域或内层原函数，则用水平切片。只有单组上下限无法描述所有切片时才需要分块。极坐标或其他变数替换可简化圆形或变换后的区域，但需要雅可比因子和独立的变数替换定理，不能自动取代 $dx\,dy$。

练习

1. 计算 $\iint_{[0,2]\times[0,1]}(x+2y)\,dA$。
2. 将 $\int_0^1\int_x^1 f(x,y)\,dy\,dx$ 换积分次序，并写出区域。
3. 求 $0\le x\le1$ 时 $y=x^2$ 和 $y=x$ 之间的面积。
4. 一薄片占据 $[0,1]^2$，密度为 $\rho(x,y)=1+x$。求其质量及质心。

详解

1. $\int_0^2\int_0^1(x+2y)\,dy\,dx=\int_0^2(x+1)\,dx=4$。
2. 区域为 $0\le x\le y\le1$。水平切片给 $\int_0^1\int_0^y f(x,y)\,dx\,dy$。
3. 面积为 $\int_0^1\int_{x^2}^x1\,dy\,dx=\int_0^1(x-x^2)\,dx=1/6$。
4. $M=\int_0^1\int_0^1(1+x)\,dy\,dx=3/2$。$x$ 的一阶矩为 $\int_0^1x(1+x)dx=5/6$；$y$ 的一阶矩为 $(\int_0^1(1+x)dx)(\int_0^1y\,dy)=3/4$。故 $(\bar x,\bar y)=(5/9,1/2)$。

总结

积分累加每单位面积的量；在适当假设下，累次积分逐片计算同一个累积量。区域几何决定上下限；换次序后必须描述完全相同的集合。后续的坐标变换及向量积分定理，均建立在对几何和方向的准确处理上。