积分应用：质量、质心、转动惯量与曲面面积

学习目标与模型假设

将体密度或面密度转化为质量和力矩，计算加权质心，并区分标量曲面面积与向量通量。以下模型都是假设的数学例子。密度非负且可积；质心公式还要求总质量为正。

对具有体密度 $\rho$ 的立体 $E$，质量为 $M=\iiint_E\rho\,dV$。质心的坐标为 $\overline x=M^{-1}\iiint_E x\rho\,dV$，其他坐标类似。绕 $z$ 轴的转动惯量为 $I_z=\iiint_E(x^2+y^2)\rho\,dV$，因为 $x^2+y^2$ 是到该轴的垂直距离的平方。若密度单位为质量／体积，则这些量的单位分别为质量、长度以及质量乘长度的平方。

对平面薄片，将 $dV$ 换为 $dA$ 并使用面积密度；对曲面，使用面密度乘 $dS$。带符号权重可以定义代数矩，但不自动构成物理上的非负质量密度；总权重为零时，不能用作质心的分母。

1. 加权三角形的中心不一定是均匀质心

设 $L>0$、$D=\{x\ge0,y\ge0,x+y\le L\}$，薄片密度为 $\rho(x,y)=\kappa(x+y)$，其中 $\kappa>0$。若坐标有长度单位，$\kappa$ 的单位为质量／长度的三次方，从而 $\rho$ 是面积密度。由连续简单区域积分，

$$M=\kappa\int_0^L\int_0^{L-x}(x+y)\,dy\,dx=\frac{\kappa L^3}{3}.$$

$x$ 坐标的一阶矩为

$$\iint_Dx\rho(x,y)\,dA =\kappa\int_0^L\left[x^2(L-x)+\frac{x(L-x)^2}{2}\right]dx=\frac{\kappa L^4}{8}.$$

交换坐标的对称性给出相同的 $y$ 矩。因此 $\overline x=\overline y=3L/8$。密度离原点越远越大，使中心偏离均匀密度的位置 $(L/3,L/3)$。对称性给出坐标相等，但不给出它们的数值。

结果满足 $\overline x,\overline y\ge0$ 和 $\overline x+\overline y=3L/4\le L$。更一般地，三角形不等式在非负加权下仍成立：对 $x\ge0,y\ge0,x+y\le L$ 乘以 $\rho/M$ 积分即可证明相同的质心不等式。这是计算出的中心位于三角形内的结构检查，独立于算术计算。

2. 在利用径向对称性前推导球坐标缩放

使用坐标

$$T(r,\phi,\theta)=(r\sin\phi\cos\theta,r\sin\phi\sin\theta,r\cos\phi),$$

其中 $\phi$ 从正 $z$ 轴量起，$0\le\phi\le\pi$，$\theta$ 是一整周的方位角。导数向量的长度为 $1,r,r\sin\phi$，它们两两垂直，在内部具有相应的正定向。其标量三重积为 $r^2\sin\phi$，得到

$$dV=r^2\sin\phi\,dr\,d\phi\,d\theta.$$

明确核算行列式：按 $(r,\phi,\theta)$ 次序，导数列为

$$T_r=(\sin\phi\cos\theta,\sin\phi\sin\theta,\cos\phi),$$ $$T_\phi=(r\cos\phi\cos\theta,r\cos\phi\sin\theta,-r\sin\phi),\qquad T_\theta=(-r\sin\phi\sin\theta,r\sin\phi\cos\theta,0).$$

当 $r>0$、$0<\phi<\pi$ 时，其混合积为 $r^2\sin\phi>0$。在开参数域 $(0,\infty)\times(0,\pi)\times(-\pi,\pi)$ 上，映射对其切缝后的像是一对一的，光滑逆为 $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$、$\phi=\arccos(z/r)$ 及通常的切缝平面方位角。因此，已证明的有限维换元定理适用于该域内每个紧的截断参数长方体。

还须独立于待证明公式估计遗漏的目标区域。半径 $\varepsilon$ 的球包含在体积 $8\varepsilon^3$ 的立方体中。在半径 $R$ 的球内，与轴的夹角至多为 $\delta<\pi/2$ 的两个极帽包含在 $|x|,|y|\le R\sin\delta$、$|z|\le R$ 的长方体中，体积为 $8R^3\sin^2\delta$。总角宽 $2\eta$、$0<\eta<\pi/2$ 的方位角接缝包含在 $|x|,|z|\le R$、$|y|\le R\sin\eta$ 中，体积为 $8R^3\sin\eta$。三种上界均随截断参数趋于零。乘上连续目标被积函数的上界，即控制其遗漏积分；下文的参数积分估计则控制另一侧。这完成了非奇异区域逼近的论证，没有用球坐标体积公式来证明该公式自身。

原点、极点和角度接缝是坐标边界的例外。对球上有界连续被积函数，在无奇点的截断参数区域上计算并取极限；被省略的参数积分界趋于零。对于有界被积函数，零附近的径向因子由常数乘 $\int_0^\varepsilon r^2dr=\varepsilon^3/3$ 控制，极冠因子为 $\int_0^\varepsilon\sin\phi\,d\phi=1-\cos\varepsilon\to0$，收缩的方位角接缝则具有趋零的角宽。该公式不允许忽略这些位置上的任意无界奇异性。

对半径为 $R>0$、密度为 $\rho=k r^2$ 且 $k>0$ 的球，

$$M=k\int_0^Rr^4dr\int_0^\pi\sin\phi\,d\phi\int_0^{2\pi}d\theta=\frac{4\pi kR^5}{5}.$$

反射对称使每个一阶矩为零，所以中心为原点。对于转动惯量，到 $z$ 轴的垂直距离平方为 $r^2\sin^2\phi$，不是完整的 $r^2$。因此

$$I_z=k\int_0^Rr^6dr\int_0^\pi\sin^3\phi\,d\phi\int_0^{2\pi}d\theta =\frac{8\pi kR^7}{21},$$

其中使用了 $\int_0^\pi\sin^3\phi\,d\phi=4/3$。比率 $I_z/(MR^2)=10/21$ 无量纲。这里 $k$ 的单位为质量／长度的五次方，因为它乘以 $r^2$ 后必须得到体密度；若把它当作普通的常数密度，单位将出错。

3. 曲面面积包含斜率，不只是投影面积

对平面区域上的图像 $z=h(x,y)$，若 $h\in C^1$，参数化 $r(x,y)=(x,y,h(x,y))$ 的切向量叉积为 $(-h_x,-h_y,1)$。其标量面积元为

$$dS=\sqrt{1+h_x^2+h_y^2}\,dx\,dy.$$

因此常数面密度 $\sigma$ 对应的投影坐标质量密度为 $\sigma\sqrt{1+h_x^2+h_y^2}$，一般不是常数 $\sigma$。真实曲面上均匀和投影上均匀是不同模型。

对半径为 $R$ 的圆盘上方的抛物面图像 $h=x^2+y^2$，面积为

$$A=2\pi\int_0^Rr\sqrt{1+4r^2}\,dr =\frac\pi6[(1+4R^2)^{3/2}-1].$$

相同图像上常向量场 $(0,0,1)$ 的向上通量则为 $\iint_D1\,dA=\pi R^2$，因为该场与定向面积向量的点积为一。曲面面积累积大小，通量累积带符号法向分量。两者的差异来自几何，而不是积分中少了常数。

4. 通过真实极限处理奇异顶点

圆锥图像 $h(x,y)=a\sqrt{x^2+y^2}$，其中 $a>0$，在原点不可微。远离原点时 $h_x^2+h_y^2=a^2$。在去心圆环 $\varepsilon\le r\le R$ 上，正则曲面面积为 $\pi(R^2-\varepsilon^2)\sqrt{1+a^2}$。令 $\varepsilon\downarrow0$，得到侧面积 $\pi R^2\sqrt{1+a^2}$。

这个结论不能仅靠“一点的面积为零”。半径 $\delta<\varepsilon$ 之间任何更小圆环的贡献都有上界 $\pi\varepsilon^2\sqrt{1+a^2}$。因此 Cauchy 尾部判据给出有限的反常曲面面积，且遗漏贡献的极限由同一量控制并趋于零。另一种无界面积因子可能使该极限论证失效，正如无界体积被积函数在去心点处可能失效。

5. 对称性、界和量纲是独立检查

若 $E$ 及其密度在 $x\mapsto-x$ 下不变，则被积函数 $x\rho$ 变号，而区域和体积元不变，迫使积分为零。若密度破坏该对称性，仅区域对称还不够。

对半径为 $R$ 的球内任意非负质量，$0\le x^2+y^2\le R^2$ 蕴含 $0\le I_z\le MR^2$。若算出的转动惯量在此区间外，无论如何作符号化简都与模型矛盾。质心是加权平均：整个密度乘一个正常数，会使质量和转动惯量乘同一因子，但不改变质心。单位分析、正性、对称性和缩放规律应分别检查；符合其中一项不证明所有算术都正确。

分层应用与建模练习

1. 加权中心。 重算三角形的质量和一阶矩，再只用非负加权证明所得中心必满足三角形不等式。
2. 径向转动惯量。 对球密度 $kr^2$，推导 $I_z$ 中的 $r$ 因子及角度因子，解释为什么把 $r^2$ 当作到轴的距离平方是错误的。
3. 坐标约定。 指出球坐标公式中的极角是哪一个，并说明不同角度约定如何改变所写正弦因子和坐标范围。
4. 曲面与投影。 对图像上的均匀面密度，指出投影上的等效密度。比较抛物面的标量面积与恒定竖直场的通量。
5. 奇点检查。 解释为什么圆锥顶点不使算出的极限面积失效，并写出仅凭“忽略该点”而缺失的估计。
6. 积分界。 对支撑在半径为 $R$ 的球内的非负密度，证明 $0\le I_z\le MR^2$。说明径向例子满足该界，并在保持普通密度不变时描述所有长度缩放对质量、质心和转动惯量的影响。

完整解答

1. 质量为 $\kappa L^3/3$，每个一阶矩为 $\kappa L^4/8$，故中心为 $(3L/8,3L/8)$。每个点满足 $x,y\ge0$ 和 $x+y\le L$；将各不等式乘 $\rho/M\ge0$ 后积分，其总积分为一。所得界为 $\overline x,\overline y\ge0$ 和 $\overline x+\overline y\le L$，计算得到的坐标对满足这些界。这里不要求密度恒定。
2. 体积元贡献 $r^2\sin\phi$，密度贡献 $kr^2$，到轴距离平方贡献 $r^2\sin^2\phi$，乘积为 $kr^6\sin^3\phi$。积分分别给出 $R^7/7$、$4/3$ 和 $2\pi$，故得 $8\pi kR^7/21$。完整的 $r^2$ 是到原点而非到 $z$ 轴的距离平方；其中包括不贡献于到该轴距离的竖直位移。
3. 此处 $\phi\in[0,\pi]$ 从正 $z$ 轴向下量取，$\theta$ 是完整方位角。若仰角从赤道平面量取，其范围为 $[-\pi/2,\pi/2]$，体积因子使用仰角的余弦。若重新命名角度却不相应改变其几何定义与范围，可能把三角因子放在错误变量上。
4. 投影密度为 $\sigma\sqrt{1+h_x^2+h_y^2}$。抛物面面积为 $\pi[(1+4R^2)^{3/2}-1]/6$，向上竖直通量为 $\pi R^2$。当 $R>0$ 时，除中心外面积因子大于一，故标量面积大于投影面积。通量使用定向叉积与场的点积，而非叉积的大小。
5. 曲面在避开顶点的每个圆环上正则，其精确面积公式有有限极限。遗漏面积的贡献由常数乘 $\varepsilon^2$ 控制，并趋于零。若没有控制奇点邻域的估计，仅凭该点大小为零不能排除无界的累积贡献。
6. 将 $0\le x^2+y^2\le R^2$ 乘非负密度并积分得到这些界。径向例子的比率 $10/21$ 严格介于零与一之间。若所有长度按 $s>0$ 缩放，且保持所搬运的普通质量／体积密度分布不额外乘因子，则体积和质量按 $s^3$ 缩放，质心坐标按 $s$ 缩放，转动惯量按 $s^5$ 缩放。若密度规律本身随缩放改变，必须另行计入其乘子；不检查模型就不能既固定有量纲系数又假设数值密度分布不变。对规律 $\rho=kr^2$，固定 $k$ 时半径按 $s$ 缩放也会使密度乘 $s^2$，故质量按 $s^5$、转动惯量按 $s^7$ 缩放，与显式公式一致。

总结与术语

质心是按质量加权的位置，而不只是几何中点。转动惯量以到轴的垂直距离平方加权质量。面密度乘真实曲面面积，而通量使用有定向的法向分量。奇异坐标极限需要邻域的定量估计。量纲、对称性、正性和缩放规律是每个积分应用的重要检查。