变量替换的基础：Jordan 覆盖与双侧小立方体体积估计

学习目标与预备知识

证明可微坐标变换保持 Jordan 零测边界，并对每个小立方体得到一致的双侧体积估计。内覆盖论证给出下界，外侧线性化估计给出上界。下一章利用这些估计，在每个有限维空间中证明积分换元定理。

我们使用有限维欧氏空间拓扑、线段上的微积分基本定理、行列式、紧集上的一致连续性，以及盒上的普通 Darboux 积分。体积与积分均通过有限 Jordan 覆盖和 Darboux 和建立。

估计中使用 $\|x\|_\infty=\max_j|x_j|$ 及其诱导矩阵范数。中心为 $c$、边长为 $h$ 的闭立方体满足 $\|x-c\|_\infty\le h/2$。其普通体积为 $h^n$。在有限维空间中改变范数不改变连续性或可微性，但此范数使立方体中的常数清楚可见。

1. Jordan 体积与有限覆盖边界判据

有界集合称为 Jordan 零测集，是指对每个 $\varepsilon>0$，都可用有限个坐标轴平行盒覆盖，且盒的总体积小于 epsilon。还可要求这些盒是边长任意小的立方体：对有限盒覆盖作足够细的剖分，允许盒面处增加任意小的总体积。当集合的示性函数在包含 $E$ 的盒内可积时，其 Riemann 积分称为 Jordan 体积 $v(E)$。

引理：有界 Jordan 集的边界零测，反之亦然

有界集合 $E$ Jordan 可测，当且仅当 $\partial E$ 为 Jordan 零测集。此外，在足够细的规则立方网格上，与 $\partial E$ 相交的立方体总体积趋于零。

由 Darboux 和证明。 内部同时与 $E$ 及其补集相交的网格单元上，示性函数的振幅为一；不与边界相交的单元上，振幅为零。若边界零测，由其闭包的紧性，可取总体积任意小的有限开盒覆盖。将一个零测覆盖略作扩大，在保持总体积小的同时使其开。足够细的网格中，所有边界单元均位于这一开覆盖内；否则直径趋零的单元将给出任意接近紧边界、却位于其邻域之外的点，产生矛盾。因此这些单元的总体积很小，Darboux 判据得证。

反过来，选择示性函数的上、下和之差小于 epsilon 的网格。任何不在网格面上的边界点都属于一个同时与两集合相交的单元，因此属于这些振幅非零的单元。有限多个网格面本身零测：用厚度任意小的薄片覆盖每个有界面。振幅非零的单元与这些薄片共同覆盖整个边界，其总体积可任意小，从而证明零测。前述开覆盖论证随即给出规则网格边界单元的估计；这也是下文要用的估计。

有界 Jordan 集的有限并、交与差仍为 Jordan 集，因为其边界包含在原有边界的并中。Jordan 体积与 Riemann 积分在交叠部分零测的分块上具有有限可加性。为说明这一点，对各个盒近似共同细分；在有限多个零测边界的覆盖之外，相应的示性函数恰好相加，其余误差由覆盖总体积控制。同一论证也证明，在 Jordan 零测集上改变有界被积函数的值，不改变其积分。

若函数在紧 Jordan 集 $K$ 上连续，将它在包含该集的盒内作零延拓后可积。在完全位于 $K$ 内的立方体中，一致连续性控制振幅；与边界相交的立方体总体积任意小，函数的统一界控制其贡献；在 $K$ 外延拓函数为零。这也表明，完全位于 $K$ 内的网格立方体上的带标记和收敛到其积分，因为被遗漏的边界立方体总体积趋于零。

2. 仿射盒的体积

引理：平行多面体的体积

对于可逆实矩阵 $A$ 和坐标轴平行盒 $Q$，

$$v(AQ+b)=|\det A|\,v(Q).$$

盒的像是平行多面体。

初等几何证明。 高斯消元把 $A$ 表成坐标置换、非零坐标缩放以及将某一坐标的倍数加到另一坐标上的剪切的乘积。置换保持盒覆盖的体积。坐标缩放将体积乘以缩放因子的绝对值：对盒先有精确等式，再推广到有限盒近似。剪切保持平行多面体的体积：平行于被改变坐标的切片仍是长度相同的区间，只是按其他坐标决定的量平移。

所需的多面体切片原理可由 Darboux 和直接得到。有界多面体的边界位于有限多个超平面内，每个超平面均零测。对有界超平面片，选一个系数非零的坐标解出，并将其余坐标剖分为边长 $h$ 的立方体；每个柱上高度变化为 $O(h)$，故总体覆盖体积为 $O(h)$。多面体的切片长度在有限多个区域上分片仿射，因此 Riemann 可积。对逐单元的示性函数下和与上和积分，可把切片长度积分夹在相同的两个和之间；边界零测判据使其差趋于零。这证明体积等于这些多面体的切片长度积分。因此剪切前后切片长度不变，体积也不变。

依次将这些初等操作作用于 $Q$。每个中间像仍是平行多面体，因此切片论证持续适用。置换和剪切的体积因子均为一，缩放的因子是对角缩放量的绝对值。由行列式代数，其乘积为 $|\det A|$。平移保持有限盒近似，故引理得证。

普通体积必须取绝对值：坐标反射改变行列式的符号，却不能把非负体积变为负数。

3. 局部 Lipschitz 映射将紧零测集映为零测集

引理：有限覆盖下的零测保持

设 $N$ 是开集 $U$ 内的紧 Jordan 零测子集，且 $F:U\to\mathbb R^n$ 为 $C^1$，则 $F(N)$ 是 Jordan 零测集。

证明。 在 $U$ 内选取 $N$ 的紧邻域，并在其中以某个 $L>0$ 控制 $\|DF\|_\infty$。用该邻域内足够小的有限多个立方体覆盖 $N$，使总体积任意小。在每个立方体内，连接两点的线段仍留在邻域中。沿线段应用微积分基本定理得到 $\|F(x)-F(y)\|_\infty\le L\|x-y\|_\infty$。因此中心为 $c$、边长为 $h$ 的立方体的像包含在中心为 $F(c)$、边长为 $Lh$ 的立方体内。这些包围像的立方体总体积至多是原覆盖总体积的 $L^n$ 倍。令原总体积小于 $\varepsilon/L^n$，即可得到所需的有限像覆盖。需要时可把 $L$ 增大至至少一。逐个立方体的估计保证每条线段都位于开定义域内。

同一结论适用于这样一个紧零测集的任何有界子集，因为其像包含在该零测像的覆盖中。它也适用于 $C^1$ 微分同胚的逆映射在目标空间紧子集上的作用。

现令 $T:U\to V$ 为 $\mathbb R^n$ 的两个开子集之间的 $C^1$ 微分同胚。若 $K\subset U$ 紧且 Jordan 可测，则 $T(K)$ 亦紧且 Jordan 可测。事实上，开邻域之间的同胚将边界映为边界：

$$\partial T(K)=T(\partial K).$$

这是因为 $T$ 及其逆都是开映射，故在两个方向上都将 $K$ 的内部映为 $T(K)$ 的内部；紧性使两集合均闭。由集合减去各自的内部即得边界恒等式。对 $\partial K$ 应用零测保持引理，再应用 Jordan 边界判据即可。

对闭包位于 $U$ 内的有界 Jordan 子集，同样的局部边界论证也成立。这将用于处理由目标空间有限网格切出的各块。

4. 一致立方体畸变：证明两个包含关系

固定紧集 $K\subset U$，在 $U$ 内选取 $K$ 的紧邻域 $K_*$。在该邻域上，$DT$ 和其逆矩阵均有界，因为矩阵元素连续且每个行列式均非零。以 $\kappa$ 表示 $\|DT(x)^{-1}\|_\infty$ 的一个界，以 $J_*$ 表示 $J(x)=|\det DT(x)|$ 的一个界。

一致连续性给出一个模函数 $\omega(h)\to0$：当 $x,y\in K_*$ 且 $\|x-y\|_\infty\le h$ 时，它控制 $\|DT(x)-DT(y)\|_\infty$。考虑任一与 $K$ 相交、边长为 $h$ 的充分小闭网格立方体 $Q$；选择足够小的尺度，使整个 $Q$ 位于 $K_*$ 内。令 $c$ 为其中心，$A=DT(c)$。线段上的微积分基本定理给出

$$T(x)=T(c)+A(x-c)+R(x),\qquad \|R(x)\|_\infty\le\omega(h)h/2\quad(x\in Q).$$

令 $\delta(h)=\kappa\omega(h)/2$，并将像归一化为

$$H(x)=c+A^{-1}[T(x)-T(c)].$$

于是 $H(c)=c$，且在整个 $Q$ 上有 $\|H(x)-x\|_\infty\le\delta(h)h$。令 $Q^+$ 和 $Q^-$ 分别为同心、边长 $h(1+2\delta)$ 与 $h(1-2\delta)$ 的立方体，并取足够小的 $h$ 使 $\delta<1/4$。

外侧包含。 坐标误差界直接给出 $H(Q)\subseteq Q^+$。

内侧包含。 边界点 $x\in\partial Q$ 的某个坐标距中心为 $h/2$，故其在 $H$ 下的像的该坐标距中心至少为 $h/2-\delta h$。因此 $H(\partial Q)$ 与内部和 $Q^-$ 相同的开立方体不相交。由于 $H$ 在一个开邻域上为同胚，$\partial H(Q)=H(\partial Q)$，且 $c$ 是 $H(Q)$ 的内点。

如果该开内立方体有一点在闭集 $H(Q)$ 之外，那么连接该点与 $c$ 的线段完全位于此内立方体中，并且离开该集合时必与 $\partial H(Q)$ 相交。这与刚证明的边界排除矛盾。因此开内立方体包含于 $H(Q)$，由闭性得到 $Q^-\subseteq H(Q)$。这就是线段从闭集内点首次离开的初等性质。

撤销仿射归一化。线性体积引理与集合包含关系给出双侧估计

$$J(c)(1-2\delta(h))^n h^n \le v(T(Q))\le J(c)(1+2\delta(h))^n h^n.$$

因此存在单一的 $\beta(h)\to0$，与在 $K$ 附近选取的立方体无关，使

$$|v(T(Q))-J(c)v(Q)|\le\beta(h)v(Q).$$

例如可取 $\beta(h)=J_*\max((1+2\delta)^n-1,\ 1-(1-2\delta)^n)$。此外，对这些小立方体，有 $v(T(Q))\le C v(Q)$，其中固定常数 $C=J_*(3/2)^n$。仿射体积引理将两个包围关系转化为上述体积界。

一致相对误差使各单元误差能够在不断细化的网格上求和；同一组常数也控制边界立方体。

估计例子

在二维中，若 $\delta\le1/100$，中心处的 Jacobian 为 $J(c)$，则像的面积介于 $0.98^2J(c)h^2$ 与 $1.02^2J(c)h^2$ 之间。即使网格单元数按 $h^{-2}$ 的量级增长，相对界仍然有用。导数的一致连续性使得当 $h$ 减小时 delta 趋于零。

分层证明练习

1. 零测覆盖。 重现 Lipschitz 映射保持像零测的证明，并解释为什么只需在覆盖用的小立方体上有导数界，而无须在连接 $U$ 内任意两点的每条线段上有界。
2. 边界。 在所述紧性及同胚假设下证明 $\partial T(K)=T(\partial K)$。若集合到达 $U$ 的边界，哪些事实需要重新检查？
3. 内覆盖。 解释为什么仅有像的外侧包围不能建立所述体积渐近式。重现利用边界与线段证明内侧包含的论证。
4. 一致性。 指出紧性在何处提供共同的导数界、逆矩阵界及连续性界。解释为什么对每个互不相关的单元中心分别给出 little-o 陈述，不足以得到后续求和所需的估计。

完整解答

1. 总体积为 $\eta$ 的有限立方体覆盖，其像包含在总体积至多为 $L^n\eta$ 的立方体中，故取 $\eta<\varepsilon/L^n$。每个小立方体及其内部线段均留在 $U$ 内固定的紧邻域中，导数在该邻域有统一界。连接相距较远的两点的线段可能离开非凸定义域；本证明从不需要这样的线段。
2. 紧性使 $K$ 与 $T(K)$ 在各自环境空间中闭。开邻域之间的同胚在两个方向上都把内部映为内部。因此 $T(K\setminus\operatorname{int}K)=T(K)\setminus\operatorname{int}T(K)$，得到边界恒等式。到达定义域边界时，可能没有可供论证的开邻域、没有一致导数界，也可能缺少某些边界点的像。本定理有意要求紧闭包位于 $U$ 内。
3. 外侧包围只给出像体积的上界，并不能说明映射覆盖了仿射单元的大部分。这里归一化像的边界位于开内立方体之外，而中心在像内。连接中心与任何假设缺失的内点的线段将离开闭像，因而在内立方体内遇到其边界，矛盾。取闭包便包含内立方体各面。这在计算渐近式之前提供必要的下界。
4. $DT$ 及其逆矩阵在 $K_*$ 上连续，故有有限的共同界；$DT$ 的一致连续性给出适用于 $K$ 附近所有小立方体的一个模函数。因此每个体积误差都至多为同一个 $\beta(h)$ 乘单元体积，而单元体积之和有界。若逐点 little-o 的常数或尺度各自依赖单元中心，仅凭这些不能为整个网格提供一个共同趋零的界。

总结与术语

Jordan 零测集具有总体积任意小的有限盒覆盖。单元畸变估计从上下两侧用附近的行列式缩放体积控制像的体积。一致性使各单元的相对误差能够安全求和。微分同胚提供邻域同胚及可逆导数，而不只是形式上的行列式。这些有限覆盖和有限单元结论构成下一章 Riemann 定理的几何基础。