参数化与面积
光滑参数曲面由参数区域 S S S r ( u , v ) \mathbf r(u,v) r ( u , v ) r u × r v ≠ 0 \mathbf r_u\times\mathbf r_v\ne0 r u × r v = 0
定义
标量曲面积分与通量 对适当分段光滑正则曲面，
∬ Σ f d S = ∬ S f ( r ( u , v ) ) ∥ r u × r v ∥ d u d v . \iint_{\Sigma} f\,dS=\iint_S f(\mathbf r(u,v))\|\mathbf r_u\times\mathbf r_v\|\,du\,dv. ∬ Σ f d S = ∬ S f ( r ( u , v )) ∥ r u × r v ∥ d u d v . 选取 r u × r v \mathbf r_u\times\mathbf r_v r u × r v F \mathbf F F
∬ Σ F ⋅ n d S = ∬ S F ( r ( u , v ) ) ⋅ ( r u × r v ) d u d v . \iint_{\Sigma}\mathbf F\cdot\mathbf n\,dS
=\iint_S\mathbf F(\mathbf r(u,v))\cdot(\mathbf r_u\times\mathbf r_v)\,du\,dv. ∬ Σ F ⋅ n d S = ∬ S F ( r ( u , v )) ⋅ ( r u × r v ) d u d v . 反转法向会改变通量符号，但不改变标量曲面面积。若参数化多次覆盖曲面的一部分，除非作出修正，公式会把每次覆盖都计算在内。
正则换参数为何保持积分
在这个验证中，取包含在开坐标域内的紧 Jordan 参数区域、内部只覆盖一次的正则 C 1 C^1 C 1 S S S S ~ \widetilde S S ψ ( S ) = S ~ \psi(S)=\widetilde S ψ ( S ) = S r = r ~ ∘ ψ r=\widetilde r\circ\psi r = r ∘ ψ ψ \psi ψ C 1 C^1 C 1 ψ ( u , v ) = ( s ( u , v ) , t ( u , v ) ) \psi(u,v)=(s(u,v),t(u,v)) ψ ( u , v ) = ( s ( u , v ) , t ( u , v ))
r u × r v = ( s u r ~ s + t u r ~ t ) × ( s v r ~ s + t v r ~ t ) = det D ψ ( r ~ s × r ~ t ) . r_u\times r_v
=(s_u\widetilde r_s+t_u\widetilde r_t)\times(s_v\widetilde r_s+t_v\widetilde r_t)
=\det D\psi\,(\widetilde r_s\times\widetilde r_t). r u × r v = ( s u r s + t u r t ) × ( s v r s + t v r t ) = det D ψ ( r s × r t ) . 取长度后出现二维换元的绝对 Jacobian。对连续的参数被积函数使用已证明的紧 Jordan 换元定理，就得到两个标量曲面积分相等。对通量应保留向量恒等式而不是取长度：保持方向的换参数在每个分量上满足 det D ψ > 0 \det D\psi>0 det D ψ > 0
例题
倾斜图像 对 0 ≤ x , y ≤ 1 0\le x,y\le1 0 ≤ x , y ≤ 1 Σ : z = x + y \Sigma:z=x+y Σ : z = x + y r ( x , y ) = ( x , y , x + y ) \mathbf r(x,y)=(x,y,x+y) r ( x , y ) = ( x , y , x + y ) r x × r y = ( − 1 , − 1 , 1 ) \mathbf r_x\times\mathbf r_y=(-1,-1,1) r x × r y = ( − 1 , − 1 , 1 ) d S = 3 d x d y dS=\sqrt3\,dx\,dy d S = 3 d x d y 3 \sqrt3 3 F = ( 0 , 0 , z ) \mathbf F=(0,0,z) F = ( 0 , 0 , z )
∫ 0 1 ∫ 0 1 ( x + y ) d y d x = 1. \int_0^1\int_0^1(x+y)\,dy\,dx=1. ∫ 0 1 ∫ 0 1 ( x + y ) d y d x = 1. 向下通量为 − 1 -1 − 1 3 \sqrt3 3
对图像 z = g ( x , y ) z=g(x,y) z = g ( x , y ) ( − g x , − g y , 1 ) d x d y (-g_x,-g_y,1)\,dx\,dy ( − g x , − g y , 1 ) d x d y 1 + g x 2 + g y 2 d x d y \sqrt{1+g_x^2+g_y^2}\,dx\,dy 1 + g x 2 + g y 2 d x d y d S dS d S
例题
以参数化计算球面通量 在半径 R > 0 R>0 R > 0 F = ( x , y , z ) \mathbf F=(x,y,z) F = ( x , y , z ) n = r / R \mathbf n=\mathbf r/R n = r / R F ⋅ n = R \mathbf F\cdot\mathbf n=R F ⋅ n = R 4 π R 2 4\pi R^2 4 π R 2 4 π R 3 4\pi R^3 4 π R 3 ∥ r ϕ × r θ ∥ = R 2 sin ϕ \|\mathbf r_\phi\times\mathbf r_\theta\|=R^2\sin\phi ∥ r ϕ × r θ ∥ = R 2 sin ϕ 0 ≤ ϕ ≤ π 0\le\phi\le\pi 0 ≤ ϕ ≤ π 0 ≤ θ ≤ 2 π 0\le\theta\le2\pi 0 ≤ θ ≤ 2 π
上述球面面积公式的证明
对半径 R > 0 R>0 R > 0
s ( ϕ , θ ) = ( R sin ϕ cos θ , R sin ϕ sin θ , R cos ϕ ) . s(\phi,\theta)=(R\sin\phi\cos\theta,R\sin\phi\sin\theta,R\cos\phi). s ( ϕ , θ ) = ( R sin ϕ cos θ , R sin ϕ sin θ , R cos ϕ ) . 直接求导得 ∥ s ϕ × s θ ∥ = R 2 sin ϕ \|s_\phi\times s_\theta\|=R^2\sin\phi ∥ s ϕ × s θ ∥ = R 2 sin ϕ 0 < ϕ < π 0<\phi<\pi 0 < ϕ < π δ ≤ ϕ ≤ π − δ \delta\le\phi\le\pi-\delta δ ≤ ϕ ≤ π − δ − π + η ≤ θ ≤ π − η -\pi+\eta\le\theta\le\pi-\eta − π + η ≤ θ ≤ π − η 0 < δ < π / 3 0<\delta<\pi/3 0 < δ < π /3 0 < η < π / 2 0<\eta<\pi/2 0 < η < π /2
A δ , η = R 2 ( 2 π − 2 η ) ∫ δ π − δ sin ϕ d ϕ = 2 R 2 ( 2 π − 2 η ) cos δ . A_{\delta,\eta}
=R^2(2\pi-2\eta)\int_\delta^{\pi-\delta}\sin\phi\,d\phi
=2R^2(2\pi-2\eta)\cos\delta. A δ , η = R 2 ( 2 π − 2 η ) ∫ δ π − δ sin ϕ d ϕ = 2 R 2 ( 2 π − 2 η ) cos δ . 还须控制遗漏的曲面面积，不能只估计体积。在两极附近，球面是正则图像 z = ± R 2 − x 2 − y 2 z=\pm\sqrt{R^2-x^2-y^2} z = ± R 2 − x 2 − y 2 R sin δ R\sin\delta R sin δ R / R 2 − x 2 − y 2 ≤ 1 / cos δ ≤ 2 R/\sqrt{R^2-x^2-y^2}\le1/\cos\delta\le2 R / R 2 − x 2 − y 2 ≤ 1/ cos δ ≤ 2 2 π R 2 sin 2 δ 2\pi R^2\sin^2\delta 2 π R 2 sin 2 δ
对剩余角条带，改用无奇点的方位角区间 [ π − η , π + η ] [\pi-\eta,\pi+\eta] [ π − η , π + η ] δ ≤ ϕ ≤ π − δ \delta\le\phi\le\pi-\delta δ ≤ ϕ ≤ π − δ 2 η R 2 ∫ 0 π sin ϕ d ϕ = 4 η R 2 2\eta R^2\int_0^\pi\sin\phi\,d\phi=4\eta R^2 2 η R 2 ∫ 0 π sin ϕ d ϕ = 4 η R 2 4 π R 2 sin 2 δ + 4 η R 2 → 0 4\pi R^2\sin^2\delta+4\eta R^2\to0 4 π R 2 sin 2 δ + 4 η R 2 → 0 Area ( S R ) = 4 π R 2 \operatorname{Area}(S_R)=4\pi R^2 Area ( S R ) = 4 π R 2 R R R 4 π R 3 4\pi R^3 4 π R 3
方法比较
对图像，投影到区域最简单的坐标平面；对球面或圆柱面，使用配合对称性的参数化。标量积分量度曲面密度的累积；通量量度向量场的带符号法向分量。对向外定向的闭曲面，散度定理可简化通量，但须检查假设及曲面是否封闭。
练习
求 [ 0 , 1 ] 2 [0,1]^2 [ 0 , 1 ] 2 z = 2 x z=2x z = 2 x
求 ( 0 , 0 , 1 ) (0,0,1) ( 0 , 0 , 1 ) z = x 2 + y 2 z=x^2+y^2 z = x 2 + y 2
反转曲面法向，标量曲面积分和通量各有什么变化？
解释为何不修正地使用覆盖曲面两次的参数化，会得到两倍标量积分。
详解
面积因子为 1 + 2 2 + 0 2 = 5 \sqrt{1+2^2+0^2}=\sqrt5 1 + 2 2 + 0 2 = 5 5 \sqrt5 5
向上面积向量为 ( − 2 x , − 2 y , 1 ) d x d y (-2x,-2y,1)\,dx\,dy ( − 2 x , − 2 y , 1 ) d x d y ( 0 , 0 , 1 ) (0,0,1) ( 0 , 0 , 1 ) 1 1 1 π \pi π
标量积分不变；通量变号。
积分对参数区域求和。若几乎每个曲面点有两个正则原像，两个副本各自贡献相同密度及面积，故重复计算。
总结
切向量同时决定曲面面积和定向法向。通量受方向影响；标量曲面积分则不受影响。计算前必须检查覆盖次数及几何。
