定向、空腔与奇异向量场综合

学习目标与定理检查清单

区分有边界的曲面与闭边界，计入每个空腔，并识别会使原本诱人的定理应用失效的奇异性。应用 Green、Stokes 或散度定理前，先确定区域、定向、邻域上所需的导数类别以及每个排除点。奇异集很小并不自动使其无害。

对含空腔的立体，内壁的“向外”指向空腔内部，远离材料。对 Stokes 定理，边界定向必须由选定的曲面法向诱导；只反转其中一边会改变符号。闭曲面没有边界曲线，而有边界的曲面一般有。将有边界的曲面闭合会增加一项通量，之后必须减去。

例题：有边界的半球面

设 $S$ 为单位上半球面，法向从上半球体向外，且 $F=(x,y,z+1)$。加入位于 $z=0$ 且法向向下的底面圆盘 $D$。散度为三，上半球体积为 $2\pi/3$，因此闭曲面通量为 $2\pi$。在 $D$ 上，$F\cdot(0,0,-1)=-1$，故圆盘通量为 $-\pi$。因此所求半球面通量为 $2\pi-(-\pi)=3\pi$。常数竖直分量不改变散度，却改变各个有边界曲面的通量。

例题：径向奇点与球壳

在 $\mathbb R^3\setminus\{0\}$ 上令 $F(x)=x/\|x\|^3$。当 $r=\|x\|>0$ 时，

$$\operatorname{div}F=\sum_{j=1}^3(r^{-3}-3x_j^2r^{-5})=0.$$

在球面 $r=R$ 上，其中 $R>0$，$F=R^{-2}n$，所以向外通量为 $R^{-2}(4\pi R^2)=4\pi$。不能对整个球应用散度定理，因为 $F$ 在球心未定义。对球壳 $\varepsilon\le r\le R$，其中 $0<\varepsilon<R$，它在闭球壳的邻域上为 $C^1$。内壁法向为 $-n$，产生内壁通量 $-4\pi$。总通量为零，与体积分中的零散度一致。去掉奇点会改变边界，从而准确恢复定理的适用条件。

例题：替换难以计算的 Stokes 曲面

设 $C$ 是 $x^2+y^2=1$ 与 $z=2+x$ 的交线，参数化为 $r(t)=(\cos t,\sin t,2+\cos t)$，其中 $0\le t\le2\pi$。对 $F=(-y,x,0)$，选取 $z=2+x$ 中的平面圆盘，在单位圆盘上参数化为 $R(u,v)=(u,v,2+u)$。它向上的向量面积为 $R_u\times R_v=(-1,0,1)$。旋度为 $(0,0,2)$，故 Stokes 定理给出积分 $\iint_D2\,du\,dv=2\pi$。$C$ 的参数化是逆时针参数圆的像，方向相容；反向曲线将给出 $-2\pi$。

分层练习

1. 基础。 对 $F=(0,0,1)$，分别求穿过闭单位球面和其上半球面的向外通量。
2. 核心。 求 $F=(x,y,z)$ 穿过球壳 $1\le\|x\|\le2$ 的向外通量，计入两个边界分量。
3. 核心。 对平面涡旋场 $G=(-y/(x^2+y^2),x/(x^2+y^2))$，计算沿圆环 $1\le x^2+y^2\le4$ 正向边界的环流，并与仅沿外圆的环流比较。
4. 证明。 两个曲面有相同的有向边界，且一个 $C^1$ 场在两曲面附近有定义。解释当 Stokes 定理适用时为什么其旋度通量相等。这是否意味着该场本身的通量也相等？

完整解答

1. 常向量场散度为零，因此闭曲面通量为零。对上半球面，用法向向下的圆盘闭合后，圆盘通量为 $-\pi$，故半球面通量为 $\pi$。答案不同是因为其中一个曲面有边界。
2. 外球面贡献 $4\pi(2^3)=32\pi$，指向中心的内壁贡献 $-4\pi$，总和为 $28\pi$。散度三乘球壳体积 $3[4\pi(8-1)/3]$ 得到相同结果。
3. 沿任何以零为中心的逆时针圆，环流为 $2\pi$。圆环边界的外圆逆时针、内圆顺时针，所以总环流为 $2\pi-2\pi=0$。该场在圆环附近光滑且标量旋度为零，与 Green 定理一致。若只看外圆，其填充圆盘包含奇点，因此不能用 Green 定理声称环流为零。
4. 由 Stokes 定理，两个旋度通量都等于同一边界环流，故相等。若没有额外假设，普通场通量不具有类似结论：两个曲面可以围成散度非零的体积。例如上半球面和向上圆盘具有相同的逆时针边界，但 $F=(x,y,z)$ 的半球面通量为 $2\pi$，圆盘通量为零。

总结与术语定义

空腔是被排除的内部区域，其壁仍是立体边界的一部分。奇点是场或所需正则性失效的点。封口曲面补足有边界曲面以形成某立体的边界。定理本身可能完全正确，但拟议应用无效；检查每个边界分量及正则性邻域是计算的一部分。