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章节 1
多重积分
多重积分
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变数替换与雅可比行列式
同时变换积分区域与面积比例，注意重复覆盖及方向。
章节 2
积分基础与应用深化
积分基础与应用深化
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二重积分深化：Darboux 构造与连续情形 Fubini 定理证明
定义矩形积分，证明连续函数可积及积分次序定理，并分析普通曲边界。
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积分深化：坐标覆盖、切片与反常积分失效
结合区域几何、整体覆盖和可积性选择坐标及积分次序。
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积分应用：质量、质心、转动惯量与曲面面积
从密度建立质量和力矩，区分曲面面积与通量，并检验单位和对称性。
章节 3
Jordan 与换元定理证明链
Jordan 与换元定理证明链
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变量替换的基础：Jordan 覆盖与双侧小立方体体积估计
推导边界的有限覆盖估计，以及小立方体经变换后体积的一致双侧估计。
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C¹ 变量替换：有限维 Jordan/Riemann 证明
证明紧 Jordan 区域与有界 Riemann 可积函数的非线性行列式公式，并明确覆盖和边界条件。
章节 4
线积分、曲面积分与向量积分定理
线积分、曲面积分与向量积分定理
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斯托克斯定理与散度定理
在相容方向下，把环流连结旋度，并把闭曲面通量连结散度。
章节 5
证明、方向与定义域障碍
证明、方向与定义域障碍
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向量场、梯度、散度与旋度
建立向量微分算子，并在明确的正则性和定义域假设下检验势函数。
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Green、参数化 Stokes 与切片散度定理的证明
在明确正则区域类上建立积分恒等式，并追踪定向与内部边界抵消。
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定向、空腔与奇异向量场综合
按几何与定向选择积分定理，并在变换边界积分前排除奇异点。