格林定理与方向

先假设 $D$ 同时有两种描述：$a\le x\le b$、$g_1(x)\le y\le g_2(x)$，以及 $c\le y\le d$、$h_1(y)\le x\le h_2(y)$；边界函数连续、上下界有序，且图像给出了有限个分段 $C^1$ 弧参数化，边界取所述正向。由微积分基本定理，

下边界从左到右、上边界从右到左，故这正是它们的 $P\,dx$ 贡献；垂直边满足 $dx=0$。同理，

右边界向上、左边界向下，水平边满足 $dy=0$。相加即证明此区域类的格林公式。如果具体给出了分成有限个这类区块的分割，且内部互不重叠、分段光滑边界弧相互匹配，就把各块恒等式相加；每条内边界的两个诱导方向相反，因而抵消。

只要连续边界图像已给出有限个分段 $C^1$ 弧参数化，就不必要求图函数在投影端点有有限导数。所需换参数论证如下：对下边界令 $H(x)=\int_a^xP(s,g_1(s))ds$，其被积函数连续。沿 $x=x(t)$ 递增的定向正则弧，链式法则给出 $dH(x(t))/dt=P(x(t),g_1(x(t)))x'(t)$。由微积分基本定理，此弧的 $P\,dx$ 积分等于 $\int_a^bP(x,g_1(x))dx$，即使反过来的图参数在端点具有竖直切线。反向行走改变符号；上边界及两个 $Q\,dy$ 图像也同理。这就证明了上面的边界积分辨认，而未假设每个图函数在端点有界导数。

特别地，圆盘 $x^2+y^2\le R^2$、$R>0$ 的界为连续函数 $g_{1,2}(x)=\mp\sqrt{R^2-x^2}$，水平描述同理。半圆可用正则角参数化，所以圆盘属于已证明的区域类。对圆环 $1\le x^2+y^2\le4$，分成四个象限块：第一象限的垂直描述为 $0\le x\le2$、$\sqrt{\max(0,1-x^2)}\le y\le\sqrt{4-x^2}$，交换坐标便得水平描述。这些界连续，边界弧为分段 $C^1$；反射后的区块具有匹配的内边界，故所述有限抵消推广也包括这个圆环。

这证明了双向简单区域及上述已给定有限分割上的公式。定理陈述中的一般区域类还需要额外的分割或近似结果；仅凭此计算，并未证明每个这类区域都存在所需的有限分割。