积分深化：坐标覆盖、切片与反常积分失效

学习目标与定理边界

依据区域几何选择变量，区分带符号定向与标量面积缩放，并验证整体覆盖，而不是仅依赖局部 Jacobian。我们还将比较连续有限区域积分与一个两种累次积分值不同的反常积分例子。

这里使用的充分正常积分定理，是 Jordan/Riemann 两篇已经证明的版本。设 $W,W'\subset\mathbb R^2$ 为开集，$T:W\to W'$ 在这些开邻域之间是 $C^1$ 微分同胚，$K\subset W$ 紧且 Jordan 可测。对在 $T(K)$ 上连续的 $f$，

$$\iint_{T(K)}f(x)\,dA=\iint_K f(T(u))|\det DT(u)|\,du.$$

有界边界值不影响这些正常 Riemann 区域积分。邻域微分同胚假设强于“内部为双射且闭包上 Jacobian 非零”。例如极坐标在 $(1,2)\times(-\pi,\pi)$ 内部是微分同胚，却把闭包的两条接缝边识别为同像；它不是该闭矩形周围的一个邻域微分同胚。这样的接缝须以明确的截断及遗漏估计处理。更一般的多重覆盖与奇异边界版本需要额外结果。下面的线性论证解释局部缩放；在所述紧集与邻域假设下，完整的非线性证明由 Jordan/Riemann 两篇给出。

1. 局部缩放与定向是不同信息

对平面上的可逆线性映射 $x=A u$，单位正方形变为由矩阵各列张成的平行四边形。由二维叉积／行列式公式，其定向面积为 $\det A$，普通面积为 $|\det A|$。由双线性，普通矩形按相同因子缩放。仿射平移不改变这些面积。

因此，标量面积积分的因子为 $|\det A|$。例如 $T(u,v)=(u,-v)$ 的行列式为负一，但单位正方形的像面积为一而不是负一。有向线积分及通量积分以另一种方式保留方向信息；把每个行列式或叉积都替换成绝对大小同样错误。

对非线性映射，可微性在每点提供线性近似，Jacobian 描述局部缩放。仅凭这一事实无法知道多少参数点代表同一像点。局部可逆性必须与能提供所需整体单一覆盖的定义域选择结合。

2. 极坐标需要角度范围和原点检查

映射 $T(r,\theta)=(r\cos\theta,r\sin\theta)$ 的行列式为 $r$。当 $r>0$，角度区间长度为 $2\pi$ 且省略一个端点时，它将去心圆盘覆盖一次；以开放内部描述时，还需除去一条选定的径向接缝。若角度范围长度为 $4\pi$，几乎每个点被描述两次，尽管在每个正半径处 Jacobian 仍非零。

对圆盘上有界连续的被积函数，可以排除小半径 $\varepsilon$ 来处理 $r=0$ 的坐标奇点。若 $|f|\le M$，被省略部分的贡献绝对值至多为 $M\pi\varepsilon^2$，并趋于零。标准 Riemann 区域理论中，分段光滑边界曲线和径向接缝面积为零，因此不改变标量面积积分。这些是假设与极限事实，并非说可以忽略原点处任意无界奇异被积函数。

对圆环 $1\le x^2+y^2\le4$，一次完整极坐标描述为 $1\le r\le2$、$0\le\theta<2\pi$。其面积为 $\int_0^{2\pi}\int_1^2r\,dr\,d\theta=3\pi$。将相同角度积分扩展到 $4\pi$ 得 $6\pi$，正确计量了两次参数遍历，而不是圆环的普通面积。

3. 积分多项式前先匹配椭圆

设 $a,b>0$ 和 $D=\{x^2/a^2+y^2/b^2\le1\}$。令 $x=ar\cos\theta,y=br\sin\theta$，其中 $0\le r\le1$，角度转一周。Jacobian 的绝对值为 $ab r$。因此

$$\iint_D(x^2+y^2)\,dA =ab\int_0^{2\pi}\int_0^1r^3(a^2\cos^2\theta+b^2\sin^2\theta)\,dr\,d\theta =\frac{\pi ab(a^2+b^2)}4.$$

变换后的区域简单、系数保持为正且被积函数变为可分离形式，这些才是选择该变量的理由；目标不是为了引入 Jacobian 而引入它。负缩放参数需要取行列式绝对值并重新解释半轴，因此这里明确规定正性。

4. 通过画出切片不等式选择次序

考虑 $D=\{0\le y\le x\le1\}$。水平切片固定 $y$，满足 $y\le x\le1$；竖直切片固定 $x$，满足 $0\le y\le x$。对连续的 $g$，

$$\int_0^1\int_y^1g(x)\,dx\,dy =\int_0^1\int_0^xg(x)\,dy\,dx =\int_0^1xg(x)\,dx.$$

对 $g(x)=e^{x^2}$，结果为 $(e-1)/2$。第一种次序需要非初等原函数，第二种则通过切片长度自然引入所缺因子 $x$。相等由被积函数在这个紧的普通区域上连续而得到，而不只是因为两个积分中出现相同符号。

切片也可以有多个连通分支。在上面的圆环中，对 $|x|\le1$，允许的 $y$ 值为

$$[-\sqrt{4-x^2},-\sqrt{1-x^2}]\ \cup\ [\sqrt{1-x^2},\sqrt{4-x^2}],$$

而对 $1<|x|\le2$，它们构成整个区间 $[-\sqrt{4-x^2},\sqrt{4-x^2}]$。若对每个 $x$ 都积分整个外层区间，就会填满孔洞。不连通切片上的积分是各分支积分之和；切片结构变化时需分割外层区间或选择更好的坐标。

5. 两个有限的累次反常积分值可以不同

在 $(0,1]^2$ 上，令

$$f(x,y)=\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}.$$

它在每个包含的点处光滑，但在缺失原点附近无界。对每个固定的 $y>0$，

$$\int_0^1f(x,y)\,dx=\left[-\frac{x}{x^2+y^2}\right]_0^1=-\frac1{1+y^2},$$

因此随后对 $y$ 的积分为 $-\pi/4$。逆序时，对每个固定的 $x>0$，

$$\int_0^1f(x,y)\,dy=\left[\frac{y}{x^2+y^2}\right]_0^1=\frac1{1+x^2},$$

得到 $+\pi/4$。每个展示的一元积分都合法，结果却不同。因此不能仅凭两个累次反常积分都存在就断言 Fubini 换序。

原因并不隐蔽：在极坐标中，$f=\cos(2\theta)/r^2$。在位于正方形内的截断扇形 $\varepsilon\le r\le1$、$\pi/16\le\theta\le\pi/8$ 上，其绝对值的面积积分有正的常数乘 $\int_\varepsilon^1dr/r$ 作下界，当 $\varepsilon\downarrow0$ 时发散。换元在每个无奇点的截断扇形上有效；该正下界随后证明原点附近不绝对可积。仅在去心内部连续不满足前述三角形例子所用的紧集连续性假设。

分层坐标与诊断练习

1. 仿射映射。 设 $T(u,v)=(2u+v,u+3v)$ 将 $[0,1]^2$ 映到平行四边形 $D$。计算 $\iint_D(x-y)\,dA$，并检查覆盖和行列式。
2. 定向。 说明在 $(u,v)\mapsto(u,-v)$ 下对标量面积使用带符号行列式为何得出不可能的结果，以及为何这一修正不是从通量积分中消除定向的通用指令。
3. 重数。 计算 $1\le r\le2$、$0\le\theta\le4\pi$ 上常数一的极坐标参数积分，准确说明它为何不是圆环面积。
4. 选择次序。 对连续 $g$，通过描述同一区域的两种次序证明公式 $\int_0^1\int_y^1g(x)dxdy=\int_0^1xg(x)dx$。为什么选取 $g=e^{x^2}$ 使换序有用？
5. 反常积分检查。 在有理函数反例中，指出尝试交换次序时哪些假设失效。为什么从写出的定义域去掉一个点，并不能使该点周围的奇异贡献无害？
6. 综合。 用 $u=x+y,v=x-y$ 计算 $\iint_{|x|+|y|\le1}(x^2+y^2)\,dA$，证明变换后的区域和 Jacobian 绝对值，而不是猜测。

完整解答

1. 行列式为 $2\cdot3-1\cdot1=5\ne0$，所以该线性映射是到其平行四边形像的双射。变换后的被积函数为 $(2u+v)-(u+3v)=u-2v$，积分因此为 $5\int_0^1\int_0^1(u-2v)dudv=5(1/2-1)=-5/2$。行列式为正，其绝对值是五；不存在多重覆盖。
2. 像的面积为正一，而把常数一乘以行列式负一会给出负一。普通面积使用绝对缩放。通量则使用选定法向和有方向的叉积；将该向量换成大小会丢失流动方向。两种积分编码的信息不同。
3. 参数积分为 $(4\pi)[(2^2-1^2)/2]=6\pi$。除端点重复外，圆环上的每个普通点在该范围中有两个角度代表，因此区域被计两次。限制为一周后恢复内部的一对一覆盖，得到 $3\pi$。
4. 不等式描述 $0\le y\le x\le1$。固定 $x$ 时，内层区间为 $y$，长度为 $x$；紧集上的连续性允许换序。所得一元积分有因子 $x$。取 $g=e^{x^2}$ 并令 $w=x^2$ 得 $(e-1)/2$，避免单独要求 $e^{x^2}$ 有初等原函数。
5. 函数在闭包上不连续且无界，其绝对积分在缺失原点附近发散。标准紧集 Riemann／Fubini 假设和反常积分的绝对可积性均不成立。缺失点的邻域可能累积无界积分量，即使该点本身面积为零。去掉一个点并未去掉其所有周围邻域。
6. 通过区分 $x,y$ 同号与异号，可得恒等式 $|x|+|y|=\max(|x+y|,|x-y|)$。因此变换区域为 $[-1,1]^2$。逆映射为 $x=(u+v)/2,y=(u-v)/2$，其行列式为 $-1/2$，所以面积因子为 $1/2$。又 $x^2+y^2=(u^2+v^2)/2$，积分为 $\frac14\int_{-1}^1\int_{-1}^1(u^2+v^2)dudv=2/3$。负的逆映射行列式改变定向，但不改变标量面积。

总结与术语

Jacobian 描述局部线性缩放；覆盖重数是独立的整体问题。切片可能有多个区间，其结构决定积分界。绝对可积性假设可防止反常情形中依赖相消的换序失效。应同时依据几何、可逆性、覆盖与可积性选择坐标，不能仅凭行列式非零。