三重积分与三维坐标

空间中的累积

对适当有界立体 $E$ 上的连续密度 $\rho$，质量为 $M=\iiint_E\rho\,dV$。密度恒为一时，积分是体积。只要上下限确实描述 $E$，且符合标准连续性和正则性假设，Fubini 定理容许用累次积分逐次切割立体。

例题

四面体

令 $E=\{x,y,z\ge0:x+y+z\le1\}$。上下限 $0\le x\le1$、$0\le y\le1-x$、$0\le z\le1-x-y$ 给出

$$\operatorname{Vol}(E)=\int_0^1\int_0^{1-x}\int_0^{1-x-y}1\,dz\,dy\,dx=\frac16.$$

内层上限来自平面 $z=1-x-y$；把 $E$ 投影到 $xy$ 平面便得到三角形的外层上下限。

柱坐标与球坐标

定义

坐标惯例及体积元素

柱坐标采用 $x=r\cos\theta$、$y=r\sin\theta$、$z=z$，其中 $r\ge0$，$dV=r\,dr\,d\theta\,dz$。本节的球坐标采用

$$x=\rho\sin\phi\cos\theta,\quad y=\rho\sin\phi\sin\theta,\quad z=\rho\cos\phi,$$

其中 $\rho\ge0$、$0\le\phi\le\pi$ 为由正 $z$ 轴量起的角，$\theta$ 为方位角。体积元素是 $dV=\rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta$。其他资料可能交换两个角的名称；使用公式前要先检查定义。

证明

球坐标因子为何是 $\rho^2\sin\phi$

将位置向量分别对 $\rho,\phi,\theta$ 微分。在 $0\le\phi\le\pi$ 时，三个导数的纯量三重积绝对值为 $\rho^2\sin\phi$。再由三维变数替换定理得体积元素；在标准立体积分中，坐标轴及原点的坐标奇异性可忽略。

例题

球内、锥面以上

设 $E$ 在球 $x^2+y^2+z^2\le4$ 内且在锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 以上。球坐标范围是 $0\le\rho\le2$、$0\le\phi\le\pi/4$、$0\le\theta\le2\pi$。故

$$\operatorname{Vol}(E)=\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi/4}\int_0^2\rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta =\frac{16\pi}{3}\left(1-\frac{\sqrt2}{2}\right).$$

锥面固定角度，球面固定半径。这些几何观察先于积分决定上下限。

例题

柱坐标的圆柱壳

对立体 $x^2+y^2\le1$、$0\le z\le2-x^2-y^2$，取 $0\le r\le1$、$0\le\theta\le2\pi$、$0\le z\le2-r^2$：

$$\operatorname{Vol}(E)=\int_0^{2\pi}\int_0^1\int_0^{2-r^2}r\,dz\,dr\,d\theta=\frac{3\pi}{2}.$$

2. 在利用径向对称性前推导球坐标缩放

使用坐标

$$T(r,\phi,\theta)=(r\sin\phi\cos\theta,r\sin\phi\sin\theta,r\cos\phi),$$

其中 $\phi$ 从正 $z$ 轴量起，$0\le\phi\le\pi$，$\theta$ 是一整周的方位角。导数向量的长度为 $1,r,r\sin\phi$，它们两两垂直，在内部具有相应的正定向。其标量三重积为 $r^2\sin\phi$，得到

$$dV=r^2\sin\phi\,dr\,d\phi\,d\theta.$$

明确核算行列式：按 $(r,\phi,\theta)$ 次序，导数列为

$$T_r=(\sin\phi\cos\theta,\sin\phi\sin\theta,\cos\phi),$$ $$T_\phi=(r\cos\phi\cos\theta,r\cos\phi\sin\theta,-r\sin\phi),\qquad T_\theta=(-r\sin\phi\sin\theta,r\sin\phi\cos\theta,0).$$

当 $r>0$、$0<\phi<\pi$ 时，其混合积为 $r^2\sin\phi>0$。在开参数域 $(0,\infty)\times(0,\pi)\times(-\pi,\pi)$ 上，映射对其切缝后的像是一对一的，光滑逆为 $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$、$\phi=\arccos(z/r)$ 及通常的切缝平面方位角。因此，已证明的有限维换元定理适用于该域内每个紧的截断参数长方体。

还须独立于待证明公式估计遗漏的目标区域。半径 $\varepsilon$ 的球包含在体积 $8\varepsilon^3$ 的立方体中。在半径 $R$ 的球内，与轴的夹角至多为 $\delta<\pi/2$ 的两个极帽包含在 $|x|,|y|\le R\sin\delta$、$|z|\le R$ 的长方体中，体积为 $8R^3\sin^2\delta$。总角宽 $2\eta$、$0<\eta<\pi/2$ 的方位角接缝包含在 $|x|,|z|\le R$、$|y|\le R\sin\eta$ 中，体积为 $8R^3\sin\eta$。三种上界均随截断参数趋于零。乘上连续目标被积函数的上界，即控制其遗漏积分；下文的参数积分估计则控制另一侧。这完成了非奇异区域逼近的论证，没有用球坐标体积公式来证明该公式自身。

原点、极点和角度接缝是坐标边界的例外。对球上有界连续被积函数，在无奇点的截断参数区域上计算并取极限；被省略的参数积分界趋于零。对于有界被积函数，零附近的径向因子由常数乘 $\int_0^\varepsilon r^2dr=\varepsilon^3/3$ 控制，极冠因子为 $\int_0^\varepsilon\sin\phi\,d\phi=1-\cos\varepsilon\to0$，收缩的方位角接缝则具有趋零的角宽。该公式不允许忽略这些位置上的任意无界奇异性。

选择坐标

直角坐标适合平面围成的立体；柱坐标适合围绕一轴有圆形截面的立体；球坐标适合以原点为中心的球和锥。上下限与被积函数都要变换，并加入雅可比因子。角度须恰好覆盖所需立体一次，可忽略的坐标接缝除外。若被积函数变号，三重积分是带符号的累积量；几何体积则用被积函数 $1$。

练习

1. 求长方体 $0\le x\le2$、$0\le y\le3$、$0\le z\le4$ 的体积。
2. 用柱坐标求圆柱 $x^2+y^2\le4$、$0\le z\le5$ 的体积。
3. 用球坐标求球 $x^2+y^2+z^2\le R^2$ 的体积。
4. 依本节球坐标惯例，重写 $x^2+y^2+z^2$ 及 $z$。

详解

1. 对长方体积分 $1$，得 $2\cdot3\cdot4=24$。
2. $\int_0^{2\pi}\int_0^2\int_0^5r\,dz\,dr\,d\theta=20\pi$。
3. 对 $R\ge0$，$\int_0^{2\pi}\int_0^\pi\int_0^R\rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta=4\pi R^3/3$。
4. 分别为 $\rho^2$ 及 $\rho\cos\phi$。

总结

三重积分把密度按体积累加。选择符合立体形状的坐标，将每个边界及被积函数写成新坐标，并加入适当体积因子。