Green、参数化 Stokes 与切片散度定理的证明

学习目标与适用范围

在精确规定的区域类上证明积分定理，推导 Stokes 定理背后的拉回恒等式，并追踪曲面片拼接抵消时的定向。前面的计算处理简单区域；最后的补充以局部化及明确的角点、棱边估计，证明所列的有限正则边界类。这不代表已覆盖某院校的整个教学大纲。

在两个坐标方向均为简单区域上的 Green 定理

假设有界区域 $D$ 既可写为 $a\le x\le b$、$g_1(x)\le y\le g_2(x)$，也可写为 $c\le y\le d$、$h_1(y)\le x\le h_2(y)$；上下界有序且连续，图像具有格林证明所述的有限个分段 $C^1$ 弧参数化，边界取正向。设 $P,Q$ 在其闭包的邻域上为 $C^1$，则

$$\oint_{\partial D}P\,dx+Q\,dy=\iint_D(Q_x-P_y)\,dA.$$

定理

格林定理：环流形式

设 $D$ 是有界平面区域，其边界 $C$ 由有限条互不相交的分段光滑简单闭曲线组成，相对于 $D$ 取正向。假设 $P,Q$ 在 $\overline D$ 的开邻域上属 $C^1$。则

$$\oint_C P\,dx+Q\,dy=\iint_D(Q_x-P_y)\,dA.$$

正向指沿边界行走时区域保持在左侧：外边界逆时针，孔洞边界顺时针。

证明

双向简单区域类的完整证明

先假设 $D$ 同时有两种描述：$a\le x\le b$、$g_1(x)\le y\le g_2(x)$，以及 $c\le y\le d$、$h_1(y)\le x\le h_2(y)$；边界函数连续、上下界有序，且图像给出了有限个分段 $C^1$ 弧参数化，边界取所述正向。由微积分基本定理，

$$-\iint_D P_y\,dA=\int_a^b[P(x,g_1(x))-P(x,g_2(x))]dx.$$

下边界从左到右、上边界从右到左，故这正是它们的 $P\,dx$ 贡献；垂直边满足 $dx=0$。同理，

$$\iint_D Q_x\,dA=\int_c^d[Q(h_2(y),y)-Q(h_1(y),y)]dy.$$

右边界向上、左边界向下，水平边满足 $dy=0$。相加即证明此区域类的格林公式。如果具体给出了分成有限个这类区块的分割，且内部互不重叠、分段光滑边界弧相互匹配，就把各块恒等式相加；每条内边界的两个诱导方向相反，因而抵消。

只要连续边界图像已给出有限个分段 $C^1$ 弧参数化，就不必要求图函数在投影端点有有限导数。所需换参数论证如下：对下边界令 $H(x)=\int_a^xP(s,g_1(s))ds$，其被积函数连续。沿 $x=x(t)$ 递增的定向正则弧，链式法则给出 $dH(x(t))/dt=P(x(t),g_1(x(t)))x'(t)$。由微积分基本定理，此弧的 $P\,dx$ 积分等于 $\int_a^bP(x,g_1(x))dx$，即使反过来的图参数在端点具有竖直切线。反向行走改变符号；上边界及两个 $Q\,dy$ 图像也同理。这就证明了上面的边界积分辨认，而未假设每个图函数在端点有界导数。

特别地，圆盘 $x^2+y^2\le R^2$、$R>0$ 的界为连续函数 $g_{1,2}(x)=\mp\sqrt{R^2-x^2}$，水平描述同理。半圆可用正则角参数化，所以圆盘属于已证明的区域类。对圆环 $1\le x^2+y^2\le4$，分成四个象限块：第一象限的垂直描述为 $0\le x\le2$、$\sqrt{\max(0,1-x^2)}\le y\le\sqrt{4-x^2}$，交换坐标便得水平描述。这些界连续，边界弧为分段 $C^1$；反射后的区块具有匹配的内边界，故所述有限抵消推广也包括这个圆环。

这证明了双向简单区域及上述已给定有限分割上的公式。定理陈述中的一般区域类还需要额外的分割或近似结果；仅凭此计算，并未证明每个这类区域都存在所需的有限分割。

正则参数化曲面片上的 Stokes 定理

设 $D$ 紧，$r$ 在 $D$ 的开邻域上是 $C^2$ 参数化，在内部一对一，且 $r_s\times r_t\ne0$。假设 $D$ 满足刚证明的 Green 性质，其分段光滑边界映到曲面边界时除端点外不重叠。设 $F$ 在像的邻域内为 $C^1$。曲面以 $r_s\times r_t$ 定向，边界由 $D$ 的正向确定。

令 $A(s,t)=F(r)\cdot r_s$、$B(s,t)=F(r)\cdot r_t$。链式法则与 $r_{st},r_{ts}$ 相等给出

$$B_s-A_t=(DF(r)r_s)\cdot r_t-(DF(r)r_t)\cdot r_s =(\operatorname{curl}F)(r)\cdot(r_s\times r_t).$$

最后一个等式可展开三个旋度分量与叉积得到。边界线积分拉回为 $\oint_{\partial D}A\,ds+B\,dt$。Green 定理将它化为 $B_s-A_t$ 的积分，恰为有定向的旋度曲面积分，从而证明该曲面片上的 Stokes 定理。对有限个相容曲面片，将恒等式相加并抵消成对的内部边界曲线；要使这些定向相反，法向必须相容。

三维证明所用的切片积分基础

先明确散度证明需要的积分事实。设 $D\subset\mathbb R^2$ 紧且 Jordan 可测，$a\le b$ 为 $D$ 上的连续实函数，并令

$$E=\{(x,q):q\in D,\ a(q)\le x\le b(q)\},\qquad q=(y,z).$$

若 $f$ 在包含 $E$ 的长方体上连续，则

$$\iiint_E f(x,q)\,dx\,dq =\iint_D\left(\int_{a(q)}^{b(q)}f(x,q)\,dx\right)dq.$$

先证明区域 Jordan 可测。 $D$ 紧且两个界函数连续，故 $E$ 紧。其边界包含在两个图面及 $\partial D$ 上方的竖直侧壁中。对任一图面，在底面用细正方形网格覆盖：每个与 $D$ 相交的底面格中，一致连续性把高度变化控制在同一个 $\omega(h)\to0$ 以内；以高度至多 $\omega(h)+2h$ 的薄层覆盖图面值，总覆盖体积至多为固定底面外接矩形面积乘这个高度。因此两个图面均为 Jordan 零集。对侧壁，以总面积可任意小的有限矩形覆盖 $\partial D$，再与固定的有界 $x$ 区间取积，即得任意小总体积覆盖。由 Jordan 边界判据，$E$ 可测。

再证明两侧积分存在。 写 $g(q)=\int_{a(q)}^{b(q)}f(x,q)dx$。若 $H$ 为共同区间长度，$M$ 为 $|f|$ 的界，则

$$|g(q)-g(q_0)|\le H\sup_x|f(x,q)-f(x,q_0)| +M\bigl(|a(q)-a(q_0)|+|b(q)-b(q_0)|\bigr).$$

所以 $g$ 在 $D$ 上连续。由边界单元论证，紧 Jordan 集上的连续函数零延拓后为 Riemann 可积。这既适用于 $E$ 上的 $f$，也适用于 $D$ 上的 $g$。

最后用有限和辨认两侧的值。 在长方体内把 $f$ 在 $E$ 外置零。对由 $x$ 区间 $J_i$ 及底面格 $C_j$ 构成的矩形网格，令 $m_{ij},M_{ij}$ 为此零延拓在 $J_i\times C_j$ 上的下、上确界。对每个固定的 $q\in C_j$，沿 $x$ 积分各单元不等式得

$$\sum_i m_{ij}|J_i|\le g_0(q)\le\sum_i M_{ij}|J_i|,$$

其中 $g_0$ 在 $D$ 外为零。再对底面格积分并相加，累次积分值便位于与 $\iiint_Ef$ 相同的三维下和、上和之间。由可积性，这个差可任意小，故两侧相等；没有预先假设三维 Fubini 交换。三维 Darboux 判据本身仍用同一有限公共加细证明：加细使下和上升、上和下降，公共网格比较任意一对和；下和的上确界等于上和的下确界，等价于可以得到任意小的差。

散度定理的场最初只在 $\overline E$ 的开邻域 $U$ 上属 $C^1$，未必在整个外接长方体上有定义；这并非隐藏的延拓假设。用有限个开半立方体覆盖 $\overline E$，使对应的完整闭立方体都包含在 $U$。在每个立方体取 $C^1$ 乘积截断函数 $\chi_i$，在半立方体上为一、完整立方体外为零。一维截断可用 $3t^2-2t^3$ 连接常数零与一，因为两端导数均为零；再按坐标取乘积即可。于是

$$\chi=1-\prod_i(1-\chi_i)$$

在 $\overline E$ 附近为一，支集紧包含在 $U$ 内。把 $\chi F$ 在 $U$ 外零延拓。由于支集远离 $U$ 的边界，延拓属于全局 $C^1$，并且在 $\overline E$ 附近，其值及所有一阶导数都与 $F$ 一致。它的分量导数在外接长方体上连续，因此下面使用的 $P_x,Q_y,R_z$ 可应用已证明的切片公式。这里并未声称任意不连续被积函数都有这种延拓。

每个坐标方向均为简单立体的散度定理

设 $E$ 为紧立体，可在紧 Jordan 平面区域上描述为 $x$ 方向两张有序、连续且分段 $C^1$ 图像之间的区间，在 $y$ 和 $z$ 方向也可类似描述。假设相应边界图像公式除有限条棱边外均适用，且 $F=(P,Q,R)$ 在其闭包附近为 $C^1$。边界取向外定向。

还要求每个坐标描述中的 $a<b$ 在投影的某个 Jordan 零集以外成立，且两图像在异常边以外表示互不重叠的实际边界面。这样排除了投影面积为正、上下表面重合的零厚度部分。切片积分引理本身允许 $a=b$，但这种退化集合不能提供通量证明所需的两个向外边界面。

将 $x$ 方向的描述写为 $a(y,z)\le x\le b(y,z)$，其投影区域为 $D_{yz}$。微积分基本定理与累次积分给出

$$\iiint_E P_x\,dV=\iint_{D_{yz}}[P(b(y,z),y,z)-P(a(y,z),y,z)]\,dy\,dz.$$

在右侧图像上，向外向量面积的 $x$ 分量为 $+dy\,dz$；在左侧为 $-dy\,dz$。平行 $x$ 方向生成的侧面，其法向 $x$ 分量为零。因此右边恰是 $(P,0,0)$ 穿过边界的通量。对其余分量分别使用 $y$ 和 $z$ 方向描述重复论证，相加得到

$$\iiint_E\operatorname{div}F\,dV=\iint_{\partial E}F\cdot n\,dS.$$

有限个此类立体的并仍可通过匹配内部面的抵消得到结论。超出此类的更一般逼近或分解需要额外定理，不能隐藏在“抵消”一词中。

例题：检查长方体各面的符号

对 $[0,a]\times[0,b]\times[0,c]$ 上的 $F=(x,y,z)$，其中 $a,b,c>0$，散度为三，体积分为 $3abc$。三个坐标为零的面上通量为零。在 $x=a$ 上，通量为 $a$ 乘面积 $bc$；另外两个相对面各贡献 $abc$。总和为 $3abc$。如果坐标为零的面上的相应分量非零，其向外法向应带负的坐标方向符号。

分层练习

1. 基础。 对 $[0,2]\times[0,3]$ 上的 $P=0,Q=x$，分别计算两边以证明 Green 公式。
2. 核心。 用 $[0,1]^2$ 上的 $r(s,t)=(s,t,s+t)$ 计算 $r_s\times r_t$ 及与其相容的边界方向。
3. 核心。 对单位立方体上的 $F=(x^2,0,0)$，检查散度和直接向外通量。
4. 证明。 解释相加曲面片公式时为何需要相反定向。若一条内部边以相同方向走过两次，会剩下什么？

完整解答

1. $Q_x=1$ 的面积积分为六。唯一非零的 $x\,dy$ 边界积分在右边界上，此处 $x=2$ 且 $y$ 从零增至三，故得六。左边界有 $x=0$。
2. 切向量为 $(1,0,1)$ 和 $(0,1,1)$，叉积为 $(-1,-1,1)$。参数空间中的正向边界次序为 $(0,0)\to(1,0)\to(1,1)\to(0,1)\to(0,0)$。映射这些顶点便得到相容的空间曲线方向。
3. 散度为 $2x$，其在单位立方体上的积分为一。只有面 $x=1$ 贡献直接通量，值为一；面 $x=0$ 上场分量为零，其余面的法向都与场垂直。
4. 反转线积分方向会改变符号，因此只有遍历方向相反时成对内部贡献才相消。同方向遍历给出该边积分的两倍，成为不属于外边界的额外项。定向一致性是代数要求，不是装饰性记号。

总结与术语定义

拉回将空间积分写成参数坐标中的积分。正则曲面片的切向量叉积非零。向量面积元同时包含法向方向和面积缩放。微积分基本定理证明切片通量恒等式；Green 定理与链式法则恒等式证明参数化 Stokes 定理。推广到更复杂区域时，须有合理的局部化或分解；任何共享的内部边界都必须以正确定向抵消。

超越简单区域：精确的正则类

前面的计算已建立局部恒等式。现在补上从局部恒等式推进到一般正则边界的论证。方法是使用可重叠的局部坐标图及有限单位分解，不假设任意区域都可有限分割成逐坐标简单的区块。

对 Green 定理，设 $D$ 为有界平面开集，其边界是有限条互不相交的简单闭曲线之并，每条由有限个正则 $C^1$ 弧组成；每个弧在端点外仍有正则 $C^1$ 延拓。除有限个接点外，边界局部是 $C^1$ 图像，且 $D$ 恰位于其中一侧。边界取正向，使 $D$ 保持在左侧。对 Stokes 定理，先设 $\Sigma$ 为紧、有定向的嵌入 $C^2$ 曲面，具有 $C^2$ 边界，边界坐标图可正则延拓至边界之外；更一般地，也允许在 $C^2$ 曲面参数坐标图中具有正则 $C^1$ 边界弧，坐标图可正则延拓至弧的另一侧，并允许有限个边界角点，以及有限个此类曲面片之并；各片内部互不重叠、边相互匹配，每条内边恰出现两次且诱导方向相反。对散度定理，设 $E$ 为有界开立体，其紧边界由有限个具有正则延拓的紧正则 $C^1$ 面组成；各面仅沿有限条有限长的正则 $C^1$ 棱边弧及顶点相交。除棱边与顶点外，边界局部是 $C^1$ 图像，且 $E$ 恰位于其中一侧。除各面的边外，这些面对边界恰覆盖一次。光滑边界对应于没有棱边的情形。

三种情形都要求场在定理所用的整个闭集的开邻域上属于 $C^1$；这些闭集分别是 $\overline D$、$\Sigma$ 及 $\overline E$。在上述条件下，三个积分定理的公式均成立。区域可有孔洞、空腔或多个连通分支；曲面也可需要多张坐标图。这些是经典的充分正则性条件；任意非正则 Jordan 曲线、在端点没有正则延拓的尖点、自交曲面及测度论中的弱边界不在本次结论内。

先备结果是通常的链式法则与乘积法则、先前已证明的正常 Riemann 换元及切片积分结果，以及上面明确规定的局部图像描述。下面将实际构造局部化，并估计例外集合的误差。

构造有限单位分解

用可进行所需局部计算的开坐标邻域 $U_i$ 覆盖紧集 $K$。在每个点选两个同心立方体，使大立方体的闭包包含在某个 $U_i$ 中，小立方体包含该点。由紧致性，可取有限个小立方体覆盖 $K$。选非负 $C^1$ 乘积截断函数 $\chi_i$，在小立方体上等于一，大立方体外等于零；前面的三次过渡函数 $3t^2-2t^3$ 即可构造它们。令

$$S=\sum_{i=1}^N\chi_i,\qquad \rho_i=\frac{\chi_i}{S}.$$

商函数定义在包含 $K$ 的开集 $S>0$ 上。若需要环境空间中的延拓，再取一个有限立方体截断函数 $\lambda$，使其支集紧包含在 $S>0$ 中，且在 $K$ 附近为一；把每个商改为 $\lambda\chi_i/S$，并在 $S>0$ 外零延拓。这样的 $\lambda$ 可由覆盖 $K$ 的更小立方体截断函数 $\psi_j$，按 $1-\prod_j(1-\psi_j)$ 构造。因此延拓后的权重为 $C^1$，每个支集都紧包含在所属坐标邻域内，并且在 $K$ 附近有

$$\sum_i\rho_i=1,\qquad \sum_i\nabla\rho_i=0.$$

这里使用的是被积集合上的支集；因支集远离人为的坐标图边缘，每个坐标图项可跨越这些边缘作零延拓。对曲面，只须将环境空间中的截断函数限制于曲面。对场 $F$，由线性与乘积法则，

$$\sum_i\operatorname{curl}(\rho_iF)=\operatorname{curl}F, \qquad \sum_i\operatorname{div}(\rho_iF)=\operatorname{div}F.$$

平面的 $Q_x-P_y$ 也有相同抵消。所以只须对支集包含在单一坐标邻域内的场证明恒等式。重叠覆盖不会引入内部边界；权重的导数以代数方式相消。这里每个积分都可与有限求和交换。

光滑边界坐标图上的 Green 定理

平移并作保持定向的旋转后，可令边界坐标图中的 $D$ 位于 $y=g(x)$ 上方，其中 $g$ 为 $C^1$。设 $G=(p,q)$ 为局部化的场，在坐标矩形的人为侧边及上边附近为零。对任一分量 $h$，令 $H_h(x)=\int_{g(x)}^b h(x,y)\,dy$，其中上边界 $b$ 高于支集。微积分基本定理与链式法则给出

$$H_h'(x)=\int_{g(x)}^b h_x(x,y)\,dy-g'(x)h(x,g(x)).$$

对 $x$ 的微分可直接核实：在紧矩形上，微积分基本定理把 $h$ 的每个差商写成 $h_x$ 的平均值；$h_x$ 的一致连续性使这些差商一致收敛到 $h_x$，因此积分可与此极限交换。再把这个固定积分限的导数与 $y=g(x)$ 处通常的链式法则结合，就证明了上式。保持另一个参数固定的相同论证，也证明下面散度计算中的两个变下限微分公式。

对 $x$ 积分 $H_q'$ 得零，因为 $H_q$ 在人为端点为零。沿竖直方向积分 $-p_y$ 得 $p(x,g(x))$。所以

$$\iint_D(q_x-p_y)\,dA =\int\bigl[p(x,g(x))+g'(x)q(x,g(x))\bigr]\,dx.$$

右边恰是在 $(x,g(x))$ 上沿 $x$ 递增方向的边界积分：上方区域保持在左侧。若 $D$ 位于图像下方，竖直积分与正向遍历的符号同时反转。完全位于 $D$ 内的坐标图没有边界贡献，其面积积分为零，因为积分各导数时端点值均为零。由链式法则，保持定向的刚性坐标变换保持环流积分、面积及标量旋度。将局部化的等式相加，即对可用这些图像覆盖的边界证明 Green 定理；下面的角点步骤处理余下有限个点。特别是，对某个固定坐标方向有无穷多个切点，也不会迫使我们使用尚未证明的有限切片分解。

不需要单一全局参数化的 Stokes 定理

使用有定向的正则 $C^2$ 坐标图 $r(s,t)$：内部坐标图的参数邻域在全平面中；光滑边界坐标图则取 $t\ge0$。把正则 $C^2$ 参数边界拉直，即得这类边界坐标图。对局部化的场，令 $A=G(r)\cdot r_s$、$B=G(r)\cdot r_t$。前面的拉回计算给出

$$B_s-A_t=(\operatorname{curl}G)(r)\cdot(r_s\times r_t).$$

两个系数在人为坐标图边缘附近为零。对内部坐标图，积分两个导数得零。对边界坐标图，将紧支集的系数沿切向及支集上方零延拓，在半平面直接累次积分得

$$\int_{-\infty}^{\infty}\int_0^{\infty}(B_s-A_t)\,dt\,ds =\int_{-\infty}^{\infty}A(s,0)\,ds.$$

这里的无穷积分限只表示包含支集的固定有界矩形，不需要反常积分定理。要先积分 $B_s$，可对连续紧支集被积函数使用先前证明的矩形 Fubini 交换。边界方向是 $s$ 递增方向，因参数区域 $t>0$ 位于左侧，与 $r_s\times r_t$ 相容。因此右边就是所需的局部化边界环流。用上述权重把坐标图恒等式相加，即证明整个光滑有定向曲面上的 Stokes 定理；对闭曲面，没有边界坐标图的贡献。球面需要多张坐标图，本证明仍然适用，不需要无奇点的全局参数化。

若 $C^2$ 曲面坐标图中的参数边界仅为正则 $C^1$，相同结论仍成立。保留原来的 $C^2$ 参数化，在其局部化的参数区域上，对 $A\,ds+B\,dt$ 应用 Green 边界图计算。系数 $A,B$ 为 $C^1$，上面的拉回恒等式也不变。这样便证明了边界坐标图恒等式，无须使用 $C^1$ 边界拉直映射的二阶导数。有限个边界角点在下面处理。

对有限个曲面片，将此结果连同下面的角点论证应用于每一片。每条共享边恰出现两次，诱导线积分方向相反，所以其两个积分和为零。未成对的边恰好构成外部边界。这里需要所述的边匹配结构，没有声称任意奇异曲面都存在三角剖分。

任意光滑边界图像上的散度定理

在边界坐标图中选刚性坐标，使 $E$ 位于 $z=g(x,y)$ 上方。把局部化的场写成 $G=(p,q,r)$，选高于其支集的上界 $b$。分别对 $x$、$y$ 微分变下限积分，并利用它们在人为侧边附近的零值，得

$$\iiint_E p_x\,dV=\iint g_xp(x,y,g)\,dx\,dy, \qquad \iiint_E q_y\,dV=\iint g_yq(x,y,g)\,dx\,dy.$$

竖直方向的微积分基本定理给出

$$\iiint_E r_z\,dV=-\iint r(x,y,g)\,dx\,dy.$$

相加得 $G\cdot(g_x,g_y,-1)$ 的曲面参数积分。它恰是向外通量，因为立体在图像上方，向外向量面积为 $(g_x,g_y,-1)\,dx\,dy$。若立体在图像下方，三个符号反转，向外向量面积为 $(-g_x,-g_y,1)\,dx\,dy$。内部坐标图的散度积分为零。刚性旋转使导数矩阵被正交旋转矩阵共轭，故其迹即散度保持不变；向外通量与体积也保持不变。因此局部计算适用于任意空间方向。用有限权重求和，便证明具有紧 $C^1$ 边界的散度定理，包含所有空腔壁及其各自的向外法向。立体不必在任何固定坐标方向为简单立体。

角点和棱边：补齐极限误差论证

现在处理例外集合。对 Green 定理，例外集合 $Z$ 是有限个点；对单个 Stokes 曲面片，它是有限个边界角点；对散度定理，它是有限条有限长棱边弧及顶点之并。构造取值于 $[0,1]$ 的 $C^1$ 函数 $\eta_\varepsilon$，使它在 $Z$ 的某个邻域为零，距离 $Z$ 超过 $C\varepsilon$ 时为一，且 $\lVert\nabla\eta_\varepsilon\rVert\le C/\varepsilon$。所有常数与 $\varepsilon$ 无关。

构造及所需的大小估计如下。取边长 $\varepsilon$ 的立方网格中与 $Z$ 相交的格；在每格周围选乘积截断函数，在稍微放大的格上为一，在固定倍数的进一步放大格外为零。令 $\eta_\varepsilon$ 为各个「一减截断函数」的有限乘积。放大的网格具有一致有界的重叠次数，故乘积法则给出梯度界 $C/\varepsilon$。有限点集只需要有界数目的格。长度为 $L$ 的可求长弧可按弧长分割，用至多 $1+L/\varepsilon$ 个半径 $\varepsilon$ 的球覆盖；每球只与有界数目的网格相交。因此棱边附近的格数为 $O(1/\varepsilon)$，总空间体积为 $O(\varepsilon^2)$。有限点附近的平面面积为 $O(\varepsilon^2)$。在充分小的紧正则曲面坐标图上，映射及其局部逆映射都有有界 Lipschitz 常数，面积密度也有界。于是有限点附近的曲面面积为 $O(\varepsilon^2)$，位于各面上的有限条正则棱边弧附近的曲面面积为 $O(\varepsilon)$，边界角点附近的边界长度为 $O(\varepsilon)$。有限坐标图覆盖使常数一致。这些事实也说明立体和平面区域是 Jordan 可测的，且棱边的曲面面积为零：由前面的图像覆盖论证，有界正则图像片在环境空间中的体积为零，而更低维的例外集合具有刚构造的立方体覆盖。

对 $G_\varepsilon=\eta_\varepsilon F$ 应用局部化证明。它在 $Z$ 附近为零，因此只须用内部坐标图及与其支集相交的光滑边界坐标图。每个新增导数项都有明确控制：平面的额外标量旋度项为 $(\eta_\varepsilon)_xQ-(\eta_\varepsilon)_yP$；Stokes 曲面的额外项为 $\nabla\eta_\varepsilon\times F$。若 $M$ 是场的界，相应面积误差至多为 $CM\varepsilon^{-1}\varepsilon^2=CM\varepsilon$。对散度，

$$\operatorname{div}(\eta_\varepsilon F) =\eta_\varepsilon\operatorname{div}F+\nabla\eta_\varepsilon\cdot F, \qquad \left|\iiint_E\nabla\eta_\varepsilon\cdot F\,dV\right| \le CM\varepsilon.$$

带 $\eta_\varepsilon$ 的项收敛到原来的体积或曲面积分，因为有界被积函数只在体积或面积趋于零的集合上有差别。边界环流在有限个角点附近至多损失 $CM\varepsilon$；边界通量在有限条棱边附近至多损失 $CM\varepsilon$。所以每个误差都趋于零。这就证明了所述有限角点下的 Green 定理、逐片处理角点再抵消内边的 Stokes 定理，以及所述有限面及棱边边界下的散度定理。全程没有使用未指定的多面体近似收敛。

核对一个超出逐坐标简单立体的例子

设 $E$ 为主半径 $R$、管半径 $a$ 的实心环面，其中 $R>a>0$，取 $F=(x,y,z)$。它有光滑紧边界，但并非在三个坐标方向均为简单立体。现在已证明的定理适用。其体积为 $2\pi^2Ra^2$，散度为三，故通量为 $6\pi^2Ra^2$。体积可直接用柱坐标求得：在圆盘 $(\rho-R)^2+z^2\le a^2$ 上积分 $\rho$，再乘 $2\pi$；奇函数部分 $\rho-R$ 的积分为零。也可独立核对通量。用

$$r(\theta,\phi)=((R+a\cos\phi)\cos\theta,(R+a\cos\phi)\sin\theta,a\sin\phi), \qquad 0\le\theta,\phi\le2\pi,$$

向外向量面积为 $r_\theta\times r_\phi=a(R+a\cos\phi)(\cos\phi\cos\theta,\cos\phi\sin\theta,\sin\phi)$。直接积分得

$$\iint_{\partial E}F\cdot n\,dS =2\pi a\int_0^{2\pi}(R+a\cos\phi)(R\cos\phi+a)\,d\phi =6\pi^2Ra^2.$$

参数接缝的曲面面积为零，在此直接核对中不造成重复计数。一般而言，上面的证明处理了本补充开头所列的全部正则类，并未建立更广的弱边界定理，也不能据此认定某院校的整个 MATH2020 教学大纲已获覆盖。