变数替换与雅可比行列式

同时变换区域与面积元素

坐标映射 $T(u,v)=(x(u,v),y(u,v))$ 可把复杂区域变成简单区域，同时也会伸缩小面积。在正则点，线性近似 $DT$ 把小坐标矩形映成近似平行四边形，其面积为 $|\det DT|\,du\,dv$。行列式的绝对值量度无符号面积比例，符号则记录方向。

定义

雅可比行列式

对 $C^1$ 平面映射 $T(u,v)=(x(u,v),y(u,v))$，其雅可比行列式为

$$J_T(u,v)=\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} =\det\begin{pmatrix}x_u&x_v\\y_u&y_v\end{pmatrix}.$$

定理

二维变数替换

设 $S\subset\mathbb R^2$ 有界且 Jordan 可测，其闭包 $\overline S$ 为紧集，且包含于开集 $U$。假设 $T:U\to V$ 是到开集 $V$ 的 $C^1$ 微分同胚，令 $D=T(S)$，且 $f$ 在 $T(\overline S)$ 上连续。则

$$\iint_D f(x,y)\,dx\,dy =\iint_S f(T(u,v))\,|J_T(u,v)|\,du\,dv.$$

对有界集合，Jordan 可测是指其边界面积为零。$C^1$ 微分同胚是具有 $C^1$ 逆映射的双射 $C^1$ 映射；因此其雅可比行列式非零。这些是充分条件；若映射把 $D$ 的正面积部分覆盖多次，不计重数便不能使用此公式。

证明

行列式的几何原因

对小增量 $\Delta u,\Delta v$，可微性使坐标小格的像近似由 $T_u\Delta u$ 和 $T_v\Delta v$ 生成的平行四边形，其面积为 $|\det(T_u,T_v)|\Delta u\Delta v$。在能控制局部近似及分割误差的假设下，将变换后取样值相加并取极限便得到公式。这是思路，并非任意区域情况的完整证明。

极坐标

令 $x=r\cos\theta$、$y=r\sin\theta$，其中 $r\ge0$。则

$$\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)}\right| =\left|\det\begin{pmatrix}\cos\theta&-r\sin\theta\\\sin\theta&r\cos\theta\end{pmatrix}\right|=r.$$

因此 $dA=r\,dr\,d\theta$。对半径为 $R>0$ 的圆盘和在闭圆盘上连续的被积函数，先限制在 $\varepsilon\le r\le R$、$\delta\le\theta\le2\pi-\delta$，其中 $0<\varepsilon<R$、$0<\delta<\pi$。映射在此矩形的某个开邻域上是微分同胚。先在那里应用定理，再令 $\varepsilon,\delta\to0$：被省去的小圆盘和角形区域的面积趋于零，而被积函数在闭圆盘上连续因而有界；相应的参数被积函数也有界，所以省去的积分趋于零。这样才证明了虽有原点和接缝仍可使用圆盘公式，而不是自动把它们当成例外。长度 $4\pi$ 的角度区间会把几乎每点计算两次。

例题

圆盘与径向被积函数

对圆盘 $D:x^2+y^2\le4$，

$$\iint_D(x^2+y^2)\,dA=\int_0^{2\pi}\int_0^2r^2\,r\,dr\,d\theta=8\pi.$$

第一个 $r^2$ 是变换后的被积函数；额外的 $r$ 是雅可比因子。遗漏它会改变答案及面积元素的量纲。

例题

线性变换

令 $D$ 为平行四边形 $0\le x+y\le2$、$0\le x-y\le1$，计算 $\iint_D(x+y)\,dA$。设 $u=x+y$、$v=x-y$，则 $x=(u+v)/2$、$y=(u-v)/2$。新区域为 $0\le u\le2$、$0\le v\le1$，而 $|\partial(x,y)/\partial(u,v)|=1/2$。故

$$\iint_D(x+y)\,dA=\int_0^2\int_0^1u\cdot\frac12\,dv\,du=1.$$

注意 $\partial(u,v)/\partial(x,y)=-2$ 是反方向的雅可比行列式；此处需要它的绝对值倒数。

比较及检查

若垂直或水平上下限简单，直角坐标通常较好；极坐标适合圆盘、扇形及径向函数；线性替换适合平行四边形和线性组合。务必 (1) 描述新区域，(2) 用新变数表示被积函数，(3) 计算正确方向的雅可比行列式，(4) 检查是否一对一覆盖，(5) 核对边界与符号。雅可比行列式为负，并不会令普通标量面积积分变负。

学习目标与预备知识

证明可微坐标变换保持 Jordan 零测边界，并对每个小立方体得到一致的双侧体积估计。内覆盖论证给出下界，外侧线性化估计给出上界。下一章利用这些估计，在每个有限维空间中证明积分换元定理。

我们使用有限维欧氏空间拓扑、线段上的微积分基本定理、行列式、紧集上的一致连续性，以及盒上的普通 Darboux 积分。体积与积分均通过有限 Jordan 覆盖和 Darboux 和建立。

估计中使用 $\|x\|_\infty=\max_j|x_j|$ 及其诱导矩阵范数。中心为 $c$、边长为 $h$ 的闭立方体满足 $\|x-c\|_\infty\le h/2$。其普通体积为 $h^n$。在有限维空间中改变范数不改变连续性或可微性，但此范数使立方体中的常数清楚可见。

1. Jordan 体积与有限覆盖边界判据

有界集合称为 Jordan 零测集，是指对每个 $\varepsilon>0$，都可用有限个坐标轴平行盒覆盖，且盒的总体积小于 epsilon。还可要求这些盒是边长任意小的立方体：对有限盒覆盖作足够细的剖分，允许盒面处增加任意小的总体积。当集合的示性函数在包含 $E$ 的盒内可积时，其 Riemann 积分称为 Jordan 体积 $v(E)$。

引理：有界 Jordan 集的边界零测，反之亦然

有界集合 $E$ Jordan 可测，当且仅当 $\partial E$ 为 Jordan 零测集。此外，在足够细的规则立方网格上，与 $\partial E$ 相交的立方体总体积趋于零。

由 Darboux 和证明。 内部同时与 $E$ 及其补集相交的网格单元上，示性函数的振幅为一；不与边界相交的单元上，振幅为零。若边界零测，由其闭包的紧性，可取总体积任意小的有限开盒覆盖。将一个零测覆盖略作扩大，在保持总体积小的同时使其开。足够细的网格中，所有边界单元均位于这一开覆盖内；否则直径趋零的单元将给出任意接近紧边界、却位于其邻域之外的点，产生矛盾。因此这些单元的总体积很小，Darboux 判据得证。

反过来，选择示性函数的上、下和之差小于 epsilon 的网格。任何不在网格面上的边界点都属于一个同时与两集合相交的单元，因此属于这些振幅非零的单元。有限多个网格面本身零测：用厚度任意小的薄片覆盖每个有界面。振幅非零的单元与这些薄片共同覆盖整个边界，其总体积可任意小，从而证明零测。前述开覆盖论证随即给出规则网格边界单元的估计；这也是下文要用的估计。

有界 Jordan 集的有限并、交与差仍为 Jordan 集，因为其边界包含在原有边界的并中。Jordan 体积与 Riemann 积分在交叠部分零测的分块上具有有限可加性。为说明这一点，对各个盒近似共同细分；在有限多个零测边界的覆盖之外，相应的示性函数恰好相加，其余误差由覆盖总体积控制。同一论证也证明，在 Jordan 零测集上改变有界被积函数的值，不改变其积分。

若函数在紧 Jordan 集 $K$ 上连续，将它在包含该集的盒内作零延拓后可积。在完全位于 $K$ 内的立方体中，一致连续性控制振幅；与边界相交的立方体总体积任意小，函数的统一界控制其贡献；在 $K$ 外延拓函数为零。这也表明，完全位于 $K$ 内的网格立方体上的带标记和收敛到其积分，因为被遗漏的边界立方体总体积趋于零。

2. 仿射盒的体积

引理：平行多面体的体积

对于可逆实矩阵 $A$ 和坐标轴平行盒 $Q$，

$$v(AQ+b)=|\det A|\,v(Q).$$

盒的像是平行多面体。

初等几何证明。 高斯消元把 $A$ 表成坐标置换、非零坐标缩放以及将某一坐标的倍数加到另一坐标上的剪切的乘积。置换保持盒覆盖的体积。坐标缩放将体积乘以缩放因子的绝对值：对盒先有精确等式，再推广到有限盒近似。剪切保持平行多面体的体积：平行于被改变坐标的切片仍是长度相同的区间，只是按其他坐标决定的量平移。

所需的多面体切片原理可由 Darboux 和直接得到。有界多面体的边界位于有限多个超平面内，每个超平面均零测。对有界超平面片，选一个系数非零的坐标解出，并将其余坐标剖分为边长 $h$ 的立方体；每个柱上高度变化为 $O(h)$，故总体覆盖体积为 $O(h)$。多面体的切片长度在有限多个区域上分片仿射，因此 Riemann 可积。对逐单元的示性函数下和与上和积分，可把切片长度积分夹在相同的两个和之间；边界零测判据使其差趋于零。这证明体积等于这些多面体的切片长度积分。因此剪切前后切片长度不变，体积也不变。

依次将这些初等操作作用于 $Q$。每个中间像仍是平行多面体，因此切片论证持续适用。置换和剪切的体积因子均为一，缩放的因子是对角缩放量的绝对值。由行列式代数，其乘积为 $|\det A|$。平移保持有限盒近似，故引理得证。

普通体积必须取绝对值：坐标反射改变行列式的符号，却不能把非负体积变为负数。

3. 局部 Lipschitz 映射将紧零测集映为零测集

引理：有限覆盖下的零测保持

设 $N$ 是开集 $U$ 内的紧 Jordan 零测子集，且 $F:U\to\mathbb R^n$ 为 $C^1$，则 $F(N)$ 是 Jordan 零测集。

证明。 在 $U$ 内选取 $N$ 的紧邻域，并在其中以某个 $L>0$ 控制 $\|DF\|_\infty$。用该邻域内足够小的有限多个立方体覆盖 $N$，使总体积任意小。在每个立方体内，连接两点的线段仍留在邻域中。沿线段应用微积分基本定理得到 $\|F(x)-F(y)\|_\infty\le L\|x-y\|_\infty$。因此中心为 $c$、边长为 $h$ 的立方体的像包含在中心为 $F(c)$、边长为 $Lh$ 的立方体内。这些包围像的立方体总体积至多是原覆盖总体积的 $L^n$ 倍。令原总体积小于 $\varepsilon/L^n$，即可得到所需的有限像覆盖。需要时可把 $L$ 增大至至少一。逐个立方体的估计保证每条线段都位于开定义域内。

同一结论适用于这样一个紧零测集的任何有界子集，因为其像包含在该零测像的覆盖中。它也适用于 $C^1$ 微分同胚的逆映射在目标空间紧子集上的作用。

现令 $T:U\to V$ 为 $\mathbb R^n$ 的两个开子集之间的 $C^1$ 微分同胚。若 $K\subset U$ 紧且 Jordan 可测，则 $T(K)$ 亦紧且 Jordan 可测。事实上，开邻域之间的同胚将边界映为边界：

$$\partial T(K)=T(\partial K).$$

这是因为 $T$ 及其逆都是开映射，故在两个方向上都将 $K$ 的内部映为 $T(K)$ 的内部；紧性使两集合均闭。由集合减去各自的内部即得边界恒等式。对 $\partial K$ 应用零测保持引理，再应用 Jordan 边界判据即可。

对闭包位于 $U$ 内的有界 Jordan 子集，同样的局部边界论证也成立。这将用于处理由目标空间有限网格切出的各块。

4. 一致立方体畸变：证明两个包含关系

固定紧集 $K\subset U$，在 $U$ 内选取 $K$ 的紧邻域 $K_*$。在该邻域上，$DT$ 和其逆矩阵均有界，因为矩阵元素连续且每个行列式均非零。以 $\kappa$ 表示 $\|DT(x)^{-1}\|_\infty$ 的一个界，以 $J_*$ 表示 $J(x)=|\det DT(x)|$ 的一个界。

一致连续性给出一个模函数 $\omega(h)\to0$：当 $x,y\in K_*$ 且 $\|x-y\|_\infty\le h$ 时，它控制 $\|DT(x)-DT(y)\|_\infty$。考虑任一与 $K$ 相交、边长为 $h$ 的充分小闭网格立方体 $Q$；选择足够小的尺度，使整个 $Q$ 位于 $K_*$ 内。令 $c$ 为其中心，$A=DT(c)$。线段上的微积分基本定理给出

$$T(x)=T(c)+A(x-c)+R(x),\qquad \|R(x)\|_\infty\le\omega(h)h/2\quad(x\in Q).$$

令 $\delta(h)=\kappa\omega(h)/2$，并将像归一化为

$$H(x)=c+A^{-1}[T(x)-T(c)].$$

于是 $H(c)=c$，且在整个 $Q$ 上有 $\|H(x)-x\|_\infty\le\delta(h)h$。令 $Q^+$ 和 $Q^-$ 分别为同心、边长 $h(1+2\delta)$ 与 $h(1-2\delta)$ 的立方体，并取足够小的 $h$ 使 $\delta<1/4$。

外侧包含。 坐标误差界直接给出 $H(Q)\subseteq Q^+$。

内侧包含。 边界点 $x\in\partial Q$ 的某个坐标距中心为 $h/2$，故其在 $H$ 下的像的该坐标距中心至少为 $h/2-\delta h$。因此 $H(\partial Q)$ 与内部和 $Q^-$ 相同的开立方体不相交。由于 $H$ 在一个开邻域上为同胚，$\partial H(Q)=H(\partial Q)$，且 $c$ 是 $H(Q)$ 的内点。

如果该开内立方体有一点在闭集 $H(Q)$ 之外，那么连接该点与 $c$ 的线段完全位于此内立方体中，并且离开该集合时必与 $\partial H(Q)$ 相交。这与刚证明的边界排除矛盾。因此开内立方体包含于 $H(Q)$，由闭性得到 $Q^-\subseteq H(Q)$。这就是线段从闭集内点首次离开的初等性质。

撤销仿射归一化。线性体积引理与集合包含关系给出双侧估计

$$J(c)(1-2\delta(h))^n h^n \le v(T(Q))\le J(c)(1+2\delta(h))^n h^n.$$

因此存在单一的 $\beta(h)\to0$，与在 $K$ 附近选取的立方体无关，使

$$|v(T(Q))-J(c)v(Q)|\le\beta(h)v(Q).$$

例如可取 $\beta(h)=J_*\max((1+2\delta)^n-1,\ 1-(1-2\delta)^n)$。此外，对这些小立方体，有 $v(T(Q))\le C v(Q)$，其中固定常数 $C=J_*(3/2)^n$。仿射体积引理将两个包围关系转化为上述体积界。

一致相对误差使各单元误差能够在不断细化的网格上求和；同一组常数也控制边界立方体。

学习目标与精确范围

利用上一章的有限 Jordan 覆盖和一致双侧立方体变形估计，证明有限维 $C^1$ 变量替换定理，再通过有限 Darboux 阶梯函数夹逼将连续情形扩展至有界 Riemann 可积函数。以下定理明确了有界 Jordan/Riemann 情形及覆盖条件。

全文中，$n$ 是有限正整数。若有界 Jordan 集上的函数向包含它的长方体作零延拓后在那里 Riemann 可积，就称其在该集合上 Riemann 可积；不同的包含长方体给出相同积分。零测边界上可赋予任意有界值。上一章给出了 Jordan 边界与零测集像的引理及一致小立方体估计。

1. 定理及全部假设

定理：有界 $C^1$ Jordan/Riemann 变量替换

设 $U,V\subseteq\mathbb R^n$ 为开集，$T:U\to V$ 为 $C^1$ 微分同胚：它是双射，$T$ 及其逆映射连续可微，尤其有 $\det DT(x)\ne0$，对每个 $x\in U$ 成立。设 $K\subset U$ 为紧 Jordan 可测集，$f:T(K)\to\mathbb R$ 在 $T(K)$ 上有界且 Riemann 可积。则 $T(K)$ 是 Jordan 可测的，函数 $x\mapsto f(T(x))|\det DT(x)|$ 在 $K$ 上 Riemann 可积，且

$$\int_{T(K)}f(y)\,dy =\int_K f(T(x))J(x)\,dx, \qquad J(x)=|\det DT(x)|.$$

允许空集或 Jordan 零测情形。逐点取行列式绝对值可涵盖两种取向及不连通定义域。若有界 Jordan 区域 $D$ 满足 $\overline D\subset U$，同样适用：以其紧闭包替代并在边界赋有界值，因为边界及其像均为零测。

紧包含条件不可省略：它提供导数和逆矩阵的一致界，并使所有足够小的边界网格格子留在映射的开定义域内。**范围。**这是有界区域上的 Riemann 定理。无界或非紧极限需要收敛估计；多对一映射需要计算覆盖次数。一般 Lebesgue 公式和低维曲面面积公式是另外的结果。

2. 准备统一网格，包括边界层

若 $K$ 为空，两边积分均为零，故设其非空。基础章已证明 $E=T(K)$ 是紧 Jordan 可测集：其边界是 $\partial K$ 的零测像。

选取 $K_*$ 为 $K$ 在 $U$ 内的紧邻域。对所有足够小且与 $K$ 相交的规则网格立方体，上一章给出共同常数 $L,C$ 和函数 $\beta(h)\to0$，使得对立方体 $Q$（边长为 $h$、中心为 $c$），

$$\|T(x)-T(z)\|_\infty\le L\|x-z\|_\infty\quad(x,z\in Q),$$ $$|v(T(Q))-J(c)h^n|\le\beta(h)h^n,\qquad v(T(Q))\le Ch^n.$$

这里沿每个立方体内的线段取导数界。

令 $\mathcal I_h$ 为完全包含于 $K$ 的有限网格立方体集合，令 $\mathcal B_h$ 为与 $K$ 相交但不完全包含于其中的立方体。第二类每个立方体都与 $\partial K$ 相交，由 Jordan 边界判据，

$$b_h:=\sum_{Q\in\mathcal B_h}v(Q)\longrightarrow0$$

立方体可以共面，但面及其在 $T$ 下的像均为零测。因此全局单射保证不同内部格子的像仅在零测的面像上重叠，其体积与积分可用有限可加性。

$E$ 中未被内部格子像覆盖的部分包含在边界立方体的像中。其体积至多为 $Cb_h$，因为 $v(T(Q))\le Cv(Q)$ 且覆盖有限。它本身也 Jordan 可测：从 Jordan 集 $E$ 中减去有限 Jordan 集并即可。这便给出了目标边界层误差界。

3. 先对连续 f 证明定理

设 $f$ 在紧集 $E$ 上连续。它以 $M$ 为界且一致连续；以 $\omega_f(\eta)\to0$ 表示 $E$ 上的共同连续模。对每个内部立方体 $Q$，$T(Q)$ 上的目标积分与 $f(T(c))v(T(Q))$ 之差至多为 $\omega_f(Lh)v(T(Q))$。未覆盖的目标边界层贡献至多为 $MCb_h$。

由于内部格子像的内部除零测集外互不相交，其总体积不超过 $v(E)$。因此

$$\left|\int_Ef-\sum_{Q\in\mathcal I_h}f(T(c))v(T(Q))\right| \le\omega_f(Lh)v(E)+MCb_h\longrightarrow0.$$

现在把每个像的体积替换为 $J(c)h^n$。对固定长方体 $B$（包含 $K$），额外总误差至多为

$$M\beta(h)\sum_{Q\in\mathcal I_h}h^n\le M\beta(h)v(B)\longrightarrow0.$$

所得和是 $f(T(x))J(x)$ 在 $K$ 上的内部格子标记和。该函数在紧集 $K$ 上连续，前面的 Jordan/Darboux 引理证明这些和趋于其积分：一致连续性控制内部格子，而 $b_h\to0$ 控制被省略的边界格子。因此连续 $f$ 的两个积分相等。

共同的格子相对误差界使体积替换的总误差消失，而独立的边界估计控制被省略的格子。

4. 得出 Jordan 部分集的体积恒等式

在已证明的连续情形中取 $f\equiv1$，得到

$$v(T(S))=\int_SJ(x)\,dx$$

对每个紧 Jordan 集 $S\subset U$ 成立。它也适用于有界 Jordan 集 $S$（闭包包含于 $U$）：用 $\overline S$ 替代即可。新增部分包含于 $\partial S$，其像为零测，因此体积和积分都不变。

我们需要将此恒等式用于以有限网格切割目标集所得的部分。令 $C$ 为一个网格长方体，$S=K\cap T^{-1}(C)$。其边界包含于

$$\partial K\ \cup\ T^{-1}(\partial C\cap E).$$

第一部分为零测。第二部分也为零测，因为目标网格面的这一部分是 $V$ 内紧零测集的有界子集，而逆映射为 $C^1$，在紧集 $E$ 的邻域上成立。对该逆映射应用有限覆盖零测像引理即可。因此 $S$ 是 Jordan 可测的，且其闭包紧包含于 $U$。

若需要严格不相交的划分，可对网格格子采用一致的半开边界归属。这些部分的边界仍包含在同一有限零测集合中。其像恰为采用相应归属的 $E\cap C$。因此体积恒等式结合有限线性性，证明了目标网格上每个有限阶梯函数的变量替换公式。

于是连续定理的常数函数推论已经建立了有限目标阶梯函数的替换公式。

5. 利用有限阶梯夹逼处理有界 Riemann 可积函数

取包含 $E$ 的目标长方体，令 $f_0$ 为 $f$ 的零延拓。其 Riemann 可积性意味着对每个 $\varepsilon>0$，存在有限网格，使其下、上阶梯函数 $\ell,u$ 满足

$$\ell\le f_0\le u,\qquad \int(u-\ell)<\varepsilon.$$

在每个格子上取 $f_0$ 在其闭包上的下确界和上确界，并一致地指定面上的值。Darboux 判据恰给出上述差距。将非负差函数限制到 $E$ 上不会增加其积分。

源函数 $p(x)=\ell(T(x))J(x)$ 和 $q(x)=u(T(x))J(x)$ 在 $K$ 上向外作零延拓后均 Riemann 可积。它们分别是连续函数 $J$ 与刚建立的 Jordan 原像部分集的示性函数之积的有限和。这样的有界乘积由 Darboux 乘积估计可积，也可在这些零测部分边界之外直接利用一致连续性证明。由于 $J\ge0$，

$$p(x)\le f(T(x))J(x)\le q(x),$$

阶梯函数恒等式给出

$$\int_K(q-p)=\int_E(u-\ell)<\varepsilon.$$

如果有界函数有积分差任意小的可积上下夹逼，则它 Riemann 可积。事实上其下积分至少为下夹逼的积分，上积分至多为上夹逼的积分，因此两者之差小于每个正 epsilon。

这证明了变换后被积函数可积。它的积分与原积分 $\int_Ef$ 均位于同一对数值 $\int_E\ell=\int_Kp$ 和 $\int_Eu=\int_Kq$ 之间，而它们的差小于 epsilon。因此两个积分之差为零。定理包括有界 Riemann 情形，证毕。

有限 Darboux 夹逼和 Jordan 体积恒等式完成了有界 Riemann 推广。

练习

1. 用极坐标求 $x^2+y^2\le9$ 的面积。
2. 对 $D:x^2+y^2\le1$，计算 $\iint_D e^{x^2+y^2}\,dA$。
3. 设 $x=2u$、$y=3v$。求 $[0,1]^2$ 的像，并用雅可比行列式求其面积。
4. 解释为何 $0\le r\le1$、$0\le\theta\le4\pi$ 不是单位圆盘除边界外的一对一极坐标参数化。

详解

1. $\int_0^{2\pi}\int_0^3r\,dr\,d\theta=9\pi$。
2. $\int_0^{2\pi}\int_0^1e^{r^2}r\,dr\,d\theta=\pi(e-1)$。
3. 像为 $[0,2]\times[0,3]$，雅可比行列式为 $6$。面积是 $\int_0^1\int_0^1 6\,du\,dv=6$。
4. 除可忽略的接缝外，每个非零内点有两个角度相差 $2\pi$ 的表示，积分因此把面积计算两次。

总结

替换变数时，坐标、被积函数、区域和测度都要一起变换。雅可比行列式反映局部面积比例；一对一性或明确的覆盖次数控制，避免重复计算。