线积分与保守向量场

两种线积分

设分段 $C^1$ 曲线 $\mathbf r(t)$，$a\le t\le b$，描绘 $C$。对曲线上的标量密度 $f$，

$$\int_C f\,ds=\int_a^b f(\mathbf r(t))\|\mathbf r'(t)\|\,dt.$$

对向量场 $\mathbf F$，定向功的积分为

$$\int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r=\int_a^b\mathbf F(\mathbf r(t))\cdot\mathbf r'(t)\,dt.$$

反转方向不改变标量弧长积分，却会改变功积分的符号。两式都把每次走过的路径计算在内：绕两圈便算两次。

例题

同一曲线，不同积分

在 $\mathbf r(t)=(t,t^2)$、$0\le t\le1$ 上，设 $f(x,y)=x$、$\mathbf F=(y,x)$。弧长积分为

$$\int_C x\,ds=\int_0^1t\sqrt{1+4t^2}\,dt=\frac{5\sqrt5-1}{12}.$$

功积分为

$$\int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r=\int_0^1(t^2,t)\cdot(1,2t)\,dt=1.$$

两者量度不同的量，不能互相替代。

势函数与路径无关性

定义

保守向量场

若定义域上存在$C^1$ 标量势函数 $\phi$，使 $\mathbf F=\nabla\phi$，则称向量场 $\mathbf F$ 为保守场。

定理

线积分基本定理

若 $C$ 是由 $A$ 到 $B$ 的分段 $C^1$ 曲线，$\phi$ 在包含 $C$ 的开邻域上属 $C^1$，且在那里 $\mathbf F=\nabla\phi$，则

$$\int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r=\phi(B)-\phi(A).$$

特别地，该邻域内每条分段 $C^1$ 闭曲线的积分为零，且这类积分只依赖端点。

证明

沿路径应用链式法则

在每段光滑曲线上，$\nabla\phi(\mathbf r(t))\cdot\mathbf r'(t)=\frac{d}{dt}\phi(\mathbf r(t))$。积分并把各段相加，中间端点的贡献互相抵消。

反过来，若 $\mathbf F$ 在路径连通开定义域上连续，且沿分段 $C^1$ 路径的积分与路径无关，则从固定基点积分可定义 $C^1$ 势函数。对 $C^1$ 平面向量场 $(P,Q)$，有势函数必有 $P_y=Q_x$。在单连通开定义域及标准假设下，这等式亦是充分条件；若缺少定义域条件，它只是局部判别。

证明

由路径无关构造势函数

设 $\Omega\subset\mathbb R^m$ 非空、开且路径连通，$F:\Omega\to\mathbb R^m$ 连续。从基点可由折线路径到达的点构成 $\Omega$ 的相对开子集：取包含在 $\Omega$ 内的小球，便可追加一条线段。其补集也相对开，否则该小球内的一个可达点会使球心也可达。由连通性，每点都可达；折线路径属于分段 $C^1$ 路径。

固定 $x_0\in\Omega$，以任意这类从 $x_0$ 到 $x$ 的路径上 $F$ 的积分定义 $\phi(x)$。路径无关使此数唯一。对 $x\in\Omega$，取完全包含在 $\Omega$ 内的邻域小球。设 $e_i$ 为第 $i$ 个坐标向量；当 $h$ 充分小时，追加坐标线段可得

$$\phi(x+he_i)-\phi(x)=\int_0^h F_i(x+te_i)\,dt.$$

除以 $h\ne0$ 后，连续性使左右两侧的 $h\to0$ 极限均为 $F_i(x)$，故 $\partial_i\phi(x)=F_i(x)$。因 $F$ 连续，这些偏导数也连续，所以 $\phi$ 属 $C^1$ 且 $\nabla\phi=F$。这个逆命题不要求 $F$ 可微。若 $F$ 属 $C^1$，则势函数属 $C^2$；在平面上，混合偏导相等给出 $P_y=Q_x$。

这个论证并未证明零旋度判据的完整单连通版本：还必须先证明该向量场的路径积分与路径无关。向量场补充篇完整证明了具体的星形定义域充分条件，并明确保留正则性假设。

例题

有洞定义域中的零旋度场

在 $\mathbb R^2\setminus\{0\}$，$\mathbf F=(-y/(x^2+y^2),x/(x^2+y^2))$ 满足 $Q_x-P_y=0$。但在逆时针单位圆 $\mathbf r(t)=(\cos t,\sin t)$、$0\le t\le2\pi$ 上，积分为 $\int_0^{2\pi}1\,dt=2\pi$。因此在去掉原点的平面上不存在全局单值势函数。缺少原点是关键；该向量场在原点无定义。

方法比较

对任意向量场或曲线，可直接参数化并注意方向。有势函数时，可把功化为端点差。旋度测试只有在检查定义域拓扑及可微性后，才可用来帮助寻找势函数。标量密度用 $ds$，不是 $d\mathbf r$。

练习

1. 沿任意分段 $C^1$ 路径从 $(0,0)$ 到 $(2,1)$，计算 $\int_C(x,y)\cdot d\mathbf r$。
2. 求从 $(0,0)$ 到 $(3,4)$ 的线段上 $\int_C1\,ds$。
3. $(2xy,x^2+1)$ 在 $\mathbb R^2$ 上是否保守？求势函数及从 $(0,0)$ 到 $(1,2)$ 的积分。
4. 若反向走过一条定向路径，功积分如何改变？

详解

1. 势函数可取 $\phi=(x^2+y^2)/2$，故积分为 $\phi(2,1)-\phi(0,0)=5/2$。
2. 它是弧长，即 $5$。
3. 取 $\phi=x^2y+y$，其梯度正是所给向量场。积分为 $\phi(1,2)-\phi(0,0)=4$。
4. 反向参数化 $\tilde{\mathbf r}(t)=\mathbf r(a+b-t)$。其导数是原导数在反向参数值的相反数；变数替换后得到原积分的相反数。

总结

标量线积分沿长度累加；向量线积分记录定向功。势函数可把路径计算化为端点差，但局部导数测试本身不能消除全局定义域障碍。