6.7 矩阵子空间、基与维数

矩阵本身也可以是向量空间中的向量。这里使用的运算是矩阵加法与数乘，所以参与讨论的矩阵必须具有相同大小。本节的标量和元素均为实数，$m,n$ 是正整数，$M_{m,n}(\mathbb R)$ 表示所有实 $m\times n$ 矩阵所成的空间。

我们仍然要回答熟悉的问题：一个列表能生成哪些矩阵，哪些生成矩阵是冗余的，一组基需要多少个矩阵？有时元素约束会直接揭示答案；如果生成列表的关系不明显，可以先把元素堆叠起来，再用行化简处理。

把矩阵视为向量

定义 6.7.1

（矩阵的张成与基）

对 $A_1,\ldots,A_q\in M_{m,n}(\mathbb R)$，它们的张成为

$$\operatorname{Span}\{A_1,\ldots,A_q\} =\{c_1A_1+\cdots+c_qA_q:c_1,\ldots,c_q\in\mathbb R\}.$$

子空间 $W$ 中的一个矩阵列表是 $W$ 的基，当且仅当它张成 $W$ 且线性无关：等式 $c_1A_1+\cdots+c_qA_q=0$ 迫使每个 $c_j=0$。$W$ 的维数是一组基所含矩阵的个数。零子空间以空集为基，维数为零。

矩阵的张成是子空间：零系数给出零矩阵，而线性组合相加或数乘后，仍是原矩阵的线性组合。基为子空间中的每个矩阵提供唯一的系数列表。张成保证表示存在；将两个表示相减，再利用线性无关性，便得到唯一性。反过来，唯一表示保证张成，也迫使零矩阵的表示只有零系数。

概念视角代数

整个矩阵是一个向量

在 $M_{2,3}(\mathbb R)$ 中，一个向量有六个元素，排列成矩形。这个形状并不表示空间的维数是二或三。维数计算生成空间需要多少个独立矩阵，而矩阵的秩研究的是某一个矩阵的列空间，两者回答不同的问题。例如，二阶单位矩阵的秩是二，但由这个非零矩阵单独张成的子空间维数是一，因为其中每个元素都是单位矩阵的标量倍数。

矩阵子空间只要求对加法与数乘封闭，并不要求对矩阵乘法封闭；长方形矩阵之间甚至未必可以相乘。这里的零向量是固定大小的零矩阵，系数则仍然是实数。

矩阵单元给出坐标

对每个位置 $(i,j)$，令 $E_{ij}$ 为该位置的元素是一、其他位置全为零的矩阵。使用这个记号时，矩阵大小已固定。例如在 $M_{2,2}(\mathbb R)$ 中，

$$E_{11}=\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix},\quad E_{12}=\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix},\quad E_{21}=\begin{bmatrix}0&0\\1&0\end{bmatrix},\quad E_{22}=\begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix}.$$

定理 6.7.2

（全矩阵空间的基与维数）

矩阵 $E_{ij}$，其中 $1\leq i\leq m$ 且 $1\leq j\leq n$，组成 $M_{m,n}(\mathbb R)$ 的一组基。因此

$$\dim M_{m,n}(\mathbb R)=mn.$$

证明

（通过比较元素证明张成与线性无关）

每个矩阵 $A=[a_{ij}]$ 都满足

$$A=\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n a_{ij}E_{ij}.$$

右边的 $(i,j)$ 元素恰好是 $a_{ij}$，所以这证明了张成。若组合 $\sum\limits_{i,j}c_{ij}E_{ij}$ 等于零矩阵，则它的 $(i,j)$ 元素是 $c_{ij}$，因此每个系数都为零。这证明了线性无关。基中共有 $mn$ 个矩阵，故维数为 $mn$。

这里可以数元素位置，是因为我们已经证明各位置的元素能够独立指定。对于受到约束的子空间，直接数出数组中全部元素，可能会高估真正的自由度。

按列堆叠保留线性关系

把 $A$ 的各列由左至右依次堆叠成一个列向量，记作 $\operatorname{vec}(A)$。例如

$$\operatorname{vec}\!\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}a\\c\\b\\d\end{bmatrix}.$$

每个矩阵必须使用同一种排列次序。结果有 $mn$ 个元素，也能唯一还原为原来的 $m\times n$ 矩阵。

定理 6.7.3

（矩阵基的坐标对应）

对大小相同的矩阵 $A_1,\ldots,A_q,B$ 及实系数 $c_j$，有

$$B=\sum_{j=1}^q c_jA_j \quad\Longleftrightarrow\quad \operatorname{vec}(B)=\sum_{j=1}^q c_j\operatorname{vec}(A_j).$$

特别地，一个矩阵列表线性无关，当且仅当堆叠后的列向量列表线性无关。对一个子空间 $W$，记 $\operatorname{vec}(W)=\{\operatorname{vec}(A):A\in W\}$。$W$ 中的一个列表是 $W$ 的基，当且仅当堆叠后的列向量组成 $\operatorname{vec}(W)$ 的基。

证明

（重新排列元素不会丢失方程）

矩阵等式在每个位置断言 $b_{rs}=\sum\limits_j c_j(A_j)_{rs}$。堆叠只是按固定次序排列同一组标量方程，所以两个方向都成立。取 $B=0$ 时，这个对应保留全部齐次系数关系，因此保留线性无关性。对每个 $B\in W$ 应用它，则保留张成关系。同一个等式说明 $\operatorname{vec}(W)$ 对线性组合封闭且包含零，所以它是子空间。合起来便证明了关于基的结论。

要从给定矩阵列表的张成中找基，先形成

$$U=[\,\operatorname{vec}(A_1)\ \cdots\ \operatorname{vec}(A_q)\,].$$

这个矩阵有 $mn$ 行、$q$ 列。将 $U$ 化简，记录主元列的编号，再选取相同编号的原矩阵。6.6 列空间、行空间与秩 的原列定理便可通过上述对应应用到这里。若给定矩阵全为零，就没有主元列，所得基为空集。

例题 6.7.4

（从线性相关的矩阵列表中抽取基）

设

$$A_1=\begin{bmatrix}0&-1\\0&2\end{bmatrix},\quad A_2=\begin{bmatrix}1&-2\\0&7\end{bmatrix},\quad A_3=\begin{bmatrix}-2&3\\0&-12\end{bmatrix}.$$

按列堆叠给出

$$U=\begin{bmatrix}0&1&-2\\0&0&0\\-1&-2&3\\2&7&-12\end{bmatrix}.$$

先交换第一、第三行，把第一行乘以负一，再从第四行减去第一行的两倍。然后交换第二、第三行：

$$U\longrightarrow \begin{bmatrix}1&2&-3\\0&1&-2\\0&0&0\\0&3&-6\end{bmatrix}.$$

从第一行减去第二行的两倍，并从第四行减去第二行的三倍，得到

$$\operatorname{rref}(U)= \begin{bmatrix}1&0&1\\0&1&-2\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}.$$

主元列的编号是一和二。因此 $A_1,A_2$ 是原矩阵张成的一组基，其维数为二。第三列记录了关系

$$A_3=A_1-2A_2 =\begin{bmatrix}-2&3\\0&-12\end{bmatrix}.$$

所以每个组合都可以改写为

$$c_1A_1+c_2A_2+c_3A_3=(c_1+c_3)A_1+(c_2-2c_3)A_2.$$

也可以直接检查 $A_1,A_2$ 的线性无关性：若它们的组合为零，左上角元素先迫使 $A_2$ 的系数为零，右上角元素再迫使 $A_1$ 的系数为零。

常见错误

（把化简后的列还原会改变矩阵）

RREF 的第二个主元列为 $(0,1,0,0)^T$，还原后得到 $E_{21}$。它却不属于原张成，因为所有原生成矩阵的左下角元素都是零。行化简保留列之间的线性关系，但未必保留列空间。正确做法是按主元编号回到 $A_1,A_2$，而不是把化简后的列还原成矩阵。

上三角与对角矩阵子空间

令 $UT_n(\mathbb R)$ 为所有主对角线下方元素为零的方阵。这些零约束在加法与数乘下保持成立，零矩阵也满足约束，所以它是子空间。一般元素可以展开为

$$A=\sum_{1\leq i\leq j\leq n}a_{ij}E_{ij}.$$

允许位置上的矩阵单元张成该空间；与前面一样，比较元素即可证明线性无关。计算允许位置的数目，得到

$$\dim UT_n(\mathbb R)=n+(n-1)+\cdots+1=\frac{n(n+1)}2.$$

对角矩阵只保留 $E_{11},\ldots,E_{nn}$，故维数为 $n$。下三角矩阵空间的维数与上三角相同：转置把基矩阵 $E_{ij}$ 变为 $E_{ji}$。

例题 6.7.5

（读出上三角矩阵的六个坐标）

$UT_3(\mathbb R)$ 中的一般元素为

$$\begin{bmatrix}a&b&c\\0&d&e\\0&0&f\end{bmatrix} =aE_{11}+bE_{12}+cE_{13}+dE_{22}+eE_{23}+fE_{33}.$$

六个参数各自任意，并占据不同的允许位置。若这个组合为零，则六个系数全为零，所以这六个矩阵组成一组基。对于 $(a,b,c,d,e,f)=(1,-2,3,4,0,5)$ 的矩阵，按上面列出的基次序，坐标列表就是 $(1,-2,3,4,0,5)$。这个特定矩阵中 $E_{23}$ 的系数为零，并不表示可以从整个子空间的一组基中删去 $E_{23}$。

对称与反对称矩阵子空间

令 $Sym_n(\mathbb R)$ 为满足 $A^T=A$ 的矩阵，$Skew_n(\mathbb R)$ 为满足 $A^T=-A$ 的矩阵。两者都是子空间：转置对加法与数乘满足分配性质，所以线性组合仍然满足相应的定义方程。

对称矩阵中，下方元素重复上方元素，对角元素仍然任意。因此

$$A=\sum_{i=1}^n a_{ii}E_{ii} +\sum_{i\lt j}a_{ij}(E_{ij}+E_{ji}).$$

这些矩阵张成 $Sym_n(\mathbb R)$。在一个等于零的组合中，对角元素分别读出第一组系数，每个对角线上方元素又恰好读出一个其余系数，因此全部系数必须为零。这就给出一组基，且

$$\dim Sym_n(\mathbb R)=n+\frac{n(n-1)}2=\frac{n(n+1)}2.$$

例题 6.7.6

（二阶对称矩阵的一组基）

每个二阶对称矩阵都有形式

$$\begin{bmatrix}a&b\\b&c\end{bmatrix} =a\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix} +b\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix} +c\begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix}.$$

上式中的三个矩阵张成该空间。若它们以系数 $\alpha,\beta,\gamma$ 组成的组合为零，比较位置 $(1,1),(1,2),(2,2)$，便得 $\alpha=\beta=\gamma=0$。所以它们是一组基，维数为三。虽然 $b$ 在原数组中出现两次，对称约束使这两个元素只对应一个选择。

下方图解把三个参数逐一分离为对应的固定基矩阵。

反对称性固定对角线并配对元素

对实反对称矩阵，$a_{ii}=-a_{ii}$ 给出 $2a_{ii}=0$，所以 $a_{ii}=0$。下方每个元素都是对应上方元素的相反数。因此

$$A=\sum_{i\lt j}a_{ij}(E_{ij}-E_{ji}).$$

比较对角线上方元素，同样可证明线性无关，故

$$\dim Skew_n(\mathbb R)=\frac{n(n-1)}2.$$

特别地，$Skew_3(\mathbb R)$ 中每个矩阵都可写成

$$\begin{bmatrix}0&a&b\\-a&0&c\\-b&-c&0\end{bmatrix},$$

其基为 $E_{12}-E_{21},E_{13}-E_{31},E_{23}-E_{32}$，维数为三。当 $n=1$ 时，该空间为零子空间，基列表为空，维数也确实为零。

方阵的对称部分与反对称部分唯一

定理 6.7.7

（唯一的对称与反对称分解）

对每个 $A\in M_{n,n}(\mathbb R)$，恰好存在一对 $S\in Sym_n(\mathbb R)$ 与 $K\in Skew_n(\mathbb R)$ 使 $A=S+K$。它们为

$$S=\frac{A+A^T}{2},\qquad K=\frac{A-A^T}{2}.$$

证明

（用公式证明存在，用零交集证明唯一）

转置的线性性质与 $(A^T)^T=A$ 给出 $S^T=S$ 和 $K^T=-K$。将两个公式相加，得到 $S+K=A$，所以分解存在。若 $A=S_1+K_1=S_2+K_2$，则 $X=S_1-S_2=K_2-K_1$ 同时对称且反对称。因此 $X=X^T=-X$，从而 $2X=0$，即 $X=0$。两个部分分别相等，唯一性成立。本节在实数域上讨论，所以可以除以二。

这个证明比数值等式 $n(n+1)/2+n(n-1)/2=n^2$ 更强：每个矩阵确实可以由这两个子空间的元素相加得到，而且两个子空间只在零处重叠。单凭维数相加的数值，并不能证明其中任何一点。

例题 6.7.8

（算出一个矩阵的两个部分）

对矩阵

$$A=\begin{bmatrix}0&3&6\\1&2&4\\2&6&5\end{bmatrix},$$

公式给出

$$S=\begin{bmatrix}0&2&4\\2&2&5\\4&5&5\end{bmatrix},\qquad K=\begin{bmatrix}0&1&2\\-1&0&-1\\-2&1&0\end{bmatrix}.$$

例如位置 $(1,2),(2,1)$ 上的三和一，在 $S$ 中贡献平均值二，在 $K$ 中贡献一与负一这一对相反数。逐项检查可得 $S+K=A$。反对称部分相对于基 $E_{12}-E_{21},E_{13}-E_{31},E_{23}-E_{32}$ 的系数为 $(1,2,-1)$，所以也能通过前面的基展开检查各元素的符号。

维数界限通过坐标对应转移

堆叠保留基，因此也保留维数。特别地，$M_{m,n}(\mathbb R)$ 的矩阵子空间维数至多为 $mn$。同样大小的矩阵若多于 $mn$ 个，就必定线性相关：堆叠所得的系数矩阵列数多于行数，齐次系统必有自由变量，因而有非零解。同一组系数便给出原矩阵的一个非平凡零组合。

更准确地说，若已知 $W$ 的维数为 $d$，且一个列表恰有 $d$ 个属于 $W$ 的矩阵，那么证明线性无关或证明张成，任何一项都足以确立它是一组基。这来自堆叠子空间上的相应基定理。“属于 $W$”这个假设不可省略：在 $W$ 外选取 $d$ 个独立矩阵，不能只因数目符合维数，就称它们为 $W$ 的基。

这些事实也澄清了“维数计算参数个数”的含义。完整参数化证明张成，但仍可能有几个参数列表给出同一个矩阵。要把参数个数认作维数，必须检查唯一性，例如比较元素或解齐次系数方程。前面的对称与三角展开通过了检查，三个生成矩阵的相关列表却没有。

如何选择方法

对于由元素约束定义的空间，先写出一般矩阵，分离真正自由的参数，再证明所得固定矩阵张成且线性无关。对于给定的生成列表，则堆叠各列、化简坐标矩阵，并回到主元编号对应的原矩阵。这是处理同一个基问题的两种方法。

常见错误

（未证明独立就计算参数个数）

参数化也可能冗余。相关列表例子有三个系数，但空间维数只有二。只有证明参数对应的矩阵线性无关后，参数个数才能确定维数。反过来，某个矩阵的许多系数恰好为零，也不会降低它所在子空间的维数。

快速检查

快速检查

（所有两行三列实矩阵所成空间的维数是多少？）

使用矩阵单元。

解答 · 答案

共有 $2\cdot3=6$ 个基矩阵 $E_{ij}$，所以 $\dim M_{2,3}(\mathbb R)=6$。

快速检查

（为什么实反对称矩阵的主对角线必须为零？）

在对角元素处应用定义方程。

解答 · 答案

转置不移动 $a_{ii}$，所以 $a_{ii}=-a_{ii}$。于是 $2a_{ii}=0$，在实数域上便有 $a_{ii}=0$。

练习

快速检查

（求所有三阶对角矩阵的一组基与维数。）

写出一般对角矩阵。

解答 · 引导解答

每个对角矩阵都是 $aE_{11}+bE_{22}+cE_{33}$。三个矩阵单元张成该空间，比较对角元素又可证明线性无关。因此它们是一组基，维数为三。

快速检查

（在相关矩阵列表的例子中，把第一个生成矩阵的两倍加上第三个，用前两个生成矩阵组成的基表示。）

使用第三个化简列给出的关系。

解答 · 引导解答

由 $A_3=A_1-2A_2$，得到 $2A_1+A_3=3A_1-2A_2$。基坐标为 $(3,-2)$，所得矩阵为 $\begin{bmatrix}-2&1\\0&-8\end{bmatrix}$。

快速检查

（若一个实矩阵同时对称与反对称，它是什么矩阵？这两个子空间的交集维数是多少？）

比较两个转置方程。

解答 · 引导解答

两个方程给出 $A=A^T=-A$，所以 $A=0$。交集是零子空间，基为空集，维数为零。

相关笔记

本节使用 6.5 基与维数 和 3.3 转置、对称矩阵与反对称矩阵。坐标计算使用 6.6 的原列规则；这里增加的一步，是把答案转回原大小的矩阵。