1.2 读懂定理与证明语言

定理把明确的假设与结论联系起来，证明则须说明：每个满足假设的对象为什么都满足结论。只看公式，容易忽略蕴含的方向、量词的范围，或存在性与唯一性的区别。

命题、假设与结论

本课很多定理都有相同的逻辑形状：

定理 1.2.1

（定理常见的形状）

假设 $P$ 满足，则结论 $Q$ 成立。

定理不是单独宣称假设一定成立。它说的是：每当某个情况满足假设，该情况便同时满足结论。

例如，实数 $x,y$ 若满足 $x=y$，则 $x^2=y^2$。这并不是说任意两个实数都相等，也没有证明逆命题：$x=1$、$y=-1$ 的平方相等，两个数却不相等。

后面关于矩阵的定理也有同样的逻辑形式：

若一个方阵可逆，则它的 RREF 是单位矩阵。

这并不是说每个方阵都可逆。逆命题“RREF 是单位矩阵的方阵可逆”需要独立的理由，不能仅把原命题的方向倒过来就当作证明。

定义 1.2.2

（条件命题）

条件命题的形式是“若 $P$，则 $Q$”。其中 $P$ 是假设，$Q$ 是结论。

读定理时，先把以下四件事分清楚：

1. 讨论的是什么对象？
2. 这些对象被加上了什么假设？
3. 定理保证的结论是什么？
4. 你现在是正向使用定理、反向使用定理，还是在使用一个等价定理？

证明透视

选择证明方法之前，先拆开命题

考虑命题：若 $u,v$ 是同一个方程组 $Ax=b$ 的解，则 $A(u-v)=0$。首先固定对象：$A$ 是 $m\times n$ 实矩阵，$b\in\mathbb R^m$，$u,v\in\mathbb R^n$。假设是两个等式 $Au=b$ 与 $Av=b$，结论则涉及两解的差，不是任意一个解本身。

“是同一个方程组的解”这个定义把文字变成上述两个等式，再由分配律得到

$$A(u-v)=Au-Av=b-b=0.$$

每个等号都有理由：第一个使用矩阵运算律，第二个同时使用两个假设，最后一个是向量相减。我们没有假设任何一个解为零，也没有假设解唯一；更没有要求矩阵是方阵或可逆。这些更强条件都不是这段论证所需要的。

反向读证明时，可以问：删去哪一个假设会令计算失效？若只有 $Au=b$ 与 $Av=c$，且右端不同，同样计算只给出 $A(u-v)=b-c$，未必为零。这就准确找到了“同一个方程组”在证明中的作用。读懂证明，应能指出假设在哪一步被使用，而不只是记住开头列出了哪些条件。

读清“且”“或”的作用范围

说一个矩阵对称且可逆，就要求两个性质同时成立；只验证对称并不够。数学里的或通常是包含兼有情形的：说“$u=0$ 或 $v=0$”，也容许两者都为零。当假设同时含有几个条件时，括号用来说明分组。例如“$A$ 是方阵，且 $A$ 奇异或对称”要求无论后面哪种情况成立，矩阵都必须是方阵。

结论也要这样读。要证明两个结论同时成立，必须分别给出依据；要否定保证两个结论的命题，则须找出满足全部假设、却至少违反一个结论的对象。只列举几个互不相关的计算例子，既不构成完整证明，也不构成合格反例。

逆命题是另一个命题

“若 $P$，则 $Q$”的逆命题是“若 $Q$，则 $P$”。两者不是同一个命题，一个可以为真而另一个为假。

例题 1.2.3

（不要自动把定理倒转）

命题

$$\text{若 } A \text{ 可逆，则 } Ax=0 \text{ 只有零解}$$

的逆命题是

$$\text{若 } Ax=0 \text{ 只有零解，则 } A \text{ 可逆。}$$

对方阵而言，这两句都在可逆矩阵字典中为真。但那是另一个定理提供的额外信息，不是因为前一句看似合理便可以自动倒转。

这就是为何 MATH1030 常把结果写成字典：

定理 1.2.4

（等价命题格式）

以下命题互相逻辑等价：

1. $P$;
2. $Q$;
3. $R$.

这表示几个命题同真同假。实际解题时，你可以用其中一个推出另一个。但若要证明整个字典，就要写出足够的蕴涵，把所有命题连起来，而不是只把它们列成清单。

逆否命题与直接证明

“若 $P$，则 $Q$”的逆否命题是“若非 $Q$，则非 $P$”。条件命题与其逆否命题逻辑等价。

不过，在本课中，很多论证最适合直接证明。矩阵与向量证明通常牵涉等式，而等式最容易在“由假设出发，逐步推出结论”的写法中保持清楚。

定义 1.2.5

（直接证明）

直接证明从假设出发，使用定义、已证定理与计算，一步一步推出目标结论。

例如要证明某矩阵的零空间是子空间，可从 $Au=0$ 与 $Av=0$ 出发，检查封闭性：

$$A(u+v)=Au+Av=0+0=0, \qquad A(cu)=cAu=c0=0.$$

论证有效，是因为每一步计算都紧扣零空间的定义条件。

定义不是定理

定义引入一个名称或一个条件。它不是需要证明的真伪命题。一旦定义被引入，后续论证便可以使用它。

定义 1.2.6

（阅读定义的习惯）

读定义时，要找出：

1. 定义适用于哪些对象；
2. 被引入的名称是什么；
3. 定义条件是什么；
4. 要理解该条件，还需要哪些已引入的定义。

例如“矩阵 $A$ 对称”的定义是 $A^T=A$。要证明一个具体矩阵对称，便计算其转置并核对这个条件；要在后文使用对称性，则可根据定义把 $A^T$ 换成 $A$。

量词、存在与唯一

“对所有”、“存在”、“至多一个”、“唯一”这些字眼都带有数学内容，不是修饰词。

固定矩阵 $A$。“对每个 $b$，存在 $x$ 使 $Ax=b$”容许所选的解依赖右端向量。它的意思是：任意给出目标之后，都能找到一个解。调换顺序所得的“存在 $x$，使对每个 $b$ 都有 $Ax=b$”，却要求一个固定的解同时对应所有目标。虽然出现的是同一个等式，两个命题的要求完全不同。

取一维单位矩阵 $A=[1]$。前一句是真的，因为给定任意实数 $b$ 后，选择 $x=b$ 即可。后一句是假的，因为同一个数不可能同时满足 $x=0$ 与 $x=1$。这个例子无需复杂矩阵计算，就能显示选择顺序的意义。写存在性证明时，应先引入任意给定的右端，再构造解；否则读者无法判断构造出来的对象是否容许依赖该右端。

否定命题时，量词也须改变。要否定“每个目标都有解”，应给出一个完全没有解的目标；尝试猜解却没有猜到，并不足够。要否定“所有解都是零”，则应给出一个非零解，并核对它满足原方程。两种情况中，否定的逻辑形式都明确指出了应该提供什么对象，以及还要验证什么性质。

定理 1.2.7

（存在唯一命题的两部分）

“存在唯一一个满足性质 $P$ 的对象”包含两部分：

1. 存在性：至少有一个对象满足 $P$；
2. 唯一性：至多有一个对象满足 $P$。

在线性代数中这个拆分很重要。当我们说某向量相对于有序基的坐标唯一，存在性说每个向量都能用该基表示；唯一性说同一个向量不可能有两组不同系数。

例题 1.2.8

（至多一个通常怎样证明）

要证明至多有一个对象满足某性质，不要一开始就寻找该对象。应先假设有两个对象都满足该性质，再证明它们必须相等。

例如要证明坐标唯一，假设

$$x=a_1b_1+\cdots+a_pb_p \qquad\text{且}\qquad x=c_1b_1+\cdots+c_pb_p.$$

相减得

$$0=(a_1-c_1)b_1+\cdots+(a_p-c_p)b_p.$$

若 $b_1,\ldots,b_p$ 线性无关，则所有系数都必须为零。因此每个 $a_i=c_i$。

反例用来否定全称命题

很多错误命题可由反例推翻。反例必须满足原命题的假设，但不满足其结论。

定义 1.2.9

（反例）

对“若 $P$，则 $Q$”而言，反例是一个具体对象或情况，使得 $P$ 为真而 $Q$ 为假。

准备反例往往是最难的部分；正式写出来时，则要清楚完成三步：

1. 指定那个具体对象；
2. 验证它满足假设；
3. 验证它不满足结论。

例题 1.2.10

（一个线性代数反例）

考虑错误命题：

若两个 $2\times 2$ 矩阵有相同行列式，则它们相等。

取

$$A= \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \qquad B= \begin{bmatrix} 2 & 0\\ 0 & \frac12 \end{bmatrix}.$$

两者都是 $2\times 2$ 矩阵，且

$$\det(A)=1,\qquad \det(B)=1.$$

所以假设成立。但 $A\ne B$，因此结论失败。这一个例子已足以推翻该全称命题。

反例模式

漏掉一个假设，命题就变了

考虑下面这条规则：只要 $Ax=0$ 只有零解，每个方程组 $Ax=b$ 就都有解。这里漏掉了可逆矩阵字典中的方阵假设。要检验这个扩大后的命题，取

$$A=\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix},\qquad b=\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}.$$

未知数 $x$ 是一个实数。齐次方程要求 $x=0$ 与 $0=0$，所以确实只有零解；但 $Ax=b$ 要求 $x=0$ 与 $0=1$ 同时成立，因此没有解。我们已经逐项验证：所提规则的假设成立，结论却不成立。

这个例子不反驳关于方阵的定理，因为矩阵有两行一列。它说明删去维数假设必须有依据。另给一个规则成立的可逆方阵，也不能挽救这个全称命题；一个合格的失败例子就足以否定它。同样，若所选矩阵的齐次方程有非零解，它就不满足这里的假设，不能充当这条规则的反例。修正后的命题必须恢复方阵假设：对于实方阵，若齐次系统只有零解，则每个维数相容的右端向量都对应唯一解。后面的可逆矩阵定理会证明这个蕴含。

存在与唯一需要不同的证据

“至多一个”的证明不会自动构造对象。实数方程 $x^2=-1$ 在逻辑上至多有一个实数解，因为根本不存在两个不同的实数解；但它其实一个实数解也没有。要声称恰好一个，必须同时证明存在与至多一个。反过来，写出一个解只能证明存在，不能排除另一个解。

重读前面的坐标论证时，也应区分这两个任务。线性无关保证两次表示不会给出不同的系数列表；要保证所讨论的向量至少有一次表示，还需要另一个张成假设。后面的基理论恰好把这两个条件结合起来。这说明拆开命题的逻辑结构，可以帮助我们理解一个数学定义为何需要不止一个条件。

之后应如何读笔记

实际阅读时，可按以下流程：

1. 每读一个定理，先标出假设与结论；
2. 除非有等价定理，否则不要倒转蕴涵；
3. 把定义当作可检查、可使用的判准；
4. 把存在性与唯一性分开；
5. 面对错误的全称命题时，用反例推翻。

快速检查

（若定理说“若 $P$，则 $Q$”，哪一个命题一定与它等价？）

先分清楚逆命题与逆否命题。

解答 · 答案

逆否命题“若非 $Q$，则非 $P$”一定与原命题等价。逆命题“若 $Q$，则 $P$” 是另一个命题，需要独立证明。

练习

练习 1

某结果说：

若方阵 $A$ 的各列线性无关，则 $A$ 可逆。

写出它的逆命题。原命题本身是否已经证明逆命题？

解答 · 练习 1 导引解答

逆命题是：

若 $A$ 可逆，则 $A$ 的各列线性无关。

原命题本身没有证明逆命题。在 MATH1030 中，逆命题确实为真，但它需要可逆矩阵字典中的定理支持，而不能靠自动倒转原命题得到。

练习 2

推翻以下命题：

若实数 $x$ 满足 $x^2>0$，则 $x>0$。

解答 · 练习 2 导引解答

取 $x=-1$。则 $x$ 是实数，且 $x^2=1>0$，所以假设成立。但 $x>0$ 为假。因此这个 $x$ 是反例，原命题为假。

练习 3：否定命题需要什么证据？

固定实矩阵 $A$，否定命题：“对每个大小相容的右端 $b$，恰好存在一个 $x$ 使 $Ax=b$。”解释命题可以怎样失败，并用一维零矩阵分别说明两种情况。

解答 · 练习 3 的解答

否定命题说：至少存在一个大小相容的右端，使方程并非恰好有一个解。对这个右端，要么没有解，要么至少有两个不同的解。要对具体矩阵给出完整论证，就应明确指出这样的右端，并验证其中一种失败情况。

取 $A=[0]$。当 $b=1$ 时，方程是 $0x=1$，没有解；当 $b=0$ 时，方程是 $0x=0$，$x=0$ 与 $x=1$ 都是解。任何一个右端已经足以否定原命题，但它们揭示的失败不同：前者违反存在性，后者违反唯一性。不需要同一个右端同时违反两者；无解与多解本来就是互不相容的情况。

练习 4：核对完整的等价链

已证明 $P\Rightarrow Q$ 与 $Q\Rightarrow R$，是否足以说明三个命题等价？再证明哪一个蕴涵就足够？

解答 · 练习 4 的解答

还不够。已有的只是正向链条，不能从 $R$ 返回 $P$。再证明 $R\Rightarrow P$，便形成循环，从每个命题都能沿循环推出其他两个。例如，先用 $Q\Rightarrow R$，再用 $R\Rightarrow P$，就得到 $Q\Rightarrow P$。这说明较长的矩阵定理字典不必逐对写出全部蕴涵，却仍必须提供比单向清单更完整的证明。