MATH1030
线性代数 I
从方程组与行化简开始，逐步把矩阵计算连接到张成空间、线性无关、基与维数，再用行列式、特征向量和内积理解计算背后的代数与几何结构。
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下一节: 1.1 方程与解集
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MATH1030 笔记里的内容
- 定理卡
- 140
- 定义
- 68
- 反例
- 13
- 概念视角
- 12
- 思想史
- 3
- 证明透视
- 5
数字只算这门课 35 节公开笔记里写了什么，不是网上已记录的关系。目前其中 3 节已细致地记录到网上。
在网上定理卡 140 · 定义 68 · 反例 13 · 概念视角 12 · 思想史 3 · 证明透视 5
第 1 章 · 2 节
方程组
学习把方程读成完整的解集。
第 2 章 · 5 节
矩阵与消元
建立矩阵直觉，并有目的地使用行化简。
- 2.1
矩阵基础
在做行化简前先建立矩阵直觉：大小、元素、行、列，以及运算意义。
- 2.2
增广矩阵与行变换
把方程组翻译成增广矩阵，并理解每种行变换保留了什么。
- 2.3
高斯消元与最简行阶梯形
把高斯消元看成一连串有目的的操作，而不只是死记步骤。
- 2.4
解集的种类
通过最简形式判断方程组有唯一解、无限多解，还是无解。
- 2.5
行阶梯形的存在性
阅读可选的归纳证明：每个矩阵都与某个 REF 行等价，并可再到达 RREF。
第 3 章 · 6 节
矩阵代数
矩阵算术、乘法、转置、特殊与初等矩阵，以及分块结构。
- 3.1
矩阵加法、减法与数乘
学会哪些矩阵运算是逐格进行、为何大小必须配合，以及零矩阵如何充当加法单位元。
- 3.2
矩阵乘法、单位矩阵与线性方程组
理解何时可以做矩阵乘法、行乘列规则怎样运作，以及单位矩阵为何在解线性方程组时重要。
- 3.3
转置、对称矩阵与反对称矩阵
用转置、对称性、反对称性与交换乘积去读懂矩阵结构，而不是把公式当成零散技巧。
- 3.4
特殊矩阵
认识对角矩阵、三角矩阵、单位矩阵与初等矩阵，并理解它们的特殊形状为何能令后面的论证更短。
- 3.5
初等行变换矩阵
把初等行变换表示成左乘初等矩阵，再用反向行变换理解可逆性。
- 3.6
分块矩阵
把大型矩阵分成较小部分，让加法与乘法可以逐块进行，同时保持原来的数学意思。
第 4 章 · 2 节
解的结构
齐次方程组、零空间与完整解集的结构。
第 5 章 · 2 节
可逆性
理解什么情况下矩阵可以被反转，以及这件事的重要性。
- 5.1
可逆矩阵
把逆矩阵、行化简与非奇异矩阵的实际意义连接起来。
- 5.2
RREF 唯一性与秩的良定性
证明简化行阶梯形的唯一性，并用它说明秩不依赖所选行化简路径。
第 6 章 · 8 节
向量空间
由矩阵程序走向空间结构、张成、无关与基底。
- 6.1
向量空间
由熟悉例子开始，理解向量空间公理到底想保护什么结构。
- 6.2
子空间
用子空间测试把真正的线性结构，和那些缺少封闭性或零向量的集合分开。
- 6.3
线性组合与张成
把线性组合看成有控制的搭建指令，再把张成理解成所有能这样搭出来的向量。
- 6.4
线性相依与线性无关
把相依看成冗余，把无关看成每个系数都真正有作用的情况。
- 6.5
基底与维数
看清基底为何是空间最小而完整的坐标系统，以及维数为何是在数真正需要多少个方向。
- 6.6
列空间、行空间与秩
把行化简与基底观念结合起来，读懂列空间、行空间与秩，并分清楚行变换到底保留什么。
- 6.7
矩阵子空间、基与维数
把张成、基与维数由列向量子空间推广到矩阵子空间，例如全矩阵空间、上三角矩阵与反对称矩阵。
- 6.8
基底延伸与基变换
用基底存在性、替换定理与基变换矩阵，严谨比较不同坐标系统。
第 7 章 · 3 节
行列式
行列式、余因子公式，以及把行变换、转置与可逆性连起来的结构化代数。
- 7.1
行列式与余因子展开
先用子式与余因子仔细定义行列式，再理解余因子展开如何把一个标量变成方阵结构的精确摘要。
- 7.2
行变换、乘积与可逆性
精确追踪行变换如何改变行列式，再把这种行为连到乘积公式、逆矩阵与可逆性测试。
- 7.3
转置、列变换与克拉默法则
用转置与列变换从第二个角度去读行列式，再以伴随矩阵、逆矩阵公式与克拉默法则收束整章。
第 8 章 · 3 节
特征值与对角化
特征值、特征空间、相似与对角化，作为行列式之后的下一层结构。
- 8.1
特征值、特征向量与特征空间
由方程 Av=λv 定义特征值与特征向量，再把同一个概念改写成零空间与行列式问题，让整个结构变得可计算。
- 8.2
对角化与相似
把对角化理解成由特征向量组成的基变换，再用相似关系说明何时矩阵可以在不改变核心特征值资料的情况下被简化。
- 8.3
特征多项式与对角化测试
用特征多项式、代数与几何重数，以及“互异特征值”测试去判断何时特征值资料已足够推出可对角化。
第 9 章 · 4 节
内积与正交性
内积、正交性、标准正交基与 Gram-Schmidt，作为特征值之后的几何层次。
- 9.1
内积、范数与夹角
定义 R^m 上的标准内积与范数，再把这些公式连到长度、夹角与最基本的不等式结构。
- 9.2
正交集与标准正交基
利用正交性建立正交基与标准正交基，然后在不每次重解线性系统的情况下直接读出坐标系数。
- 9.3
Gram-Schmidt 正交化
把 Gram-Schmidt 过程用来把一组基底转成正交基或标准正交基，同时保持张成空间不变。
- 9.4
Cauchy-Schwarz 与三角不等式
把 Cauchy-Schwarz 与三角不等式当作内积空间中控制长度、夹角与等号条件的两条核心估计。