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章节 1
方程组
学习把方程读成完整的解集。
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1.2 读懂定理与证明语言
在课程进入较多证明前，学习如何阅读定义、定理陈述、等价命题、唯一性主张与反例。
章节 2
矩阵与消元
建立矩阵直觉，并有目的地使用行化简。
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2.2 增广矩阵与行变换
把方程组翻译成增广矩阵，并理解每种行变换保留了什么。
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2.3 高斯消元与最简行阶梯形
把高斯消元看成一连串有目的的操作，而不只是死记步骤。
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2.5 行阶梯形的存在性
阅读可选的归纳证明：每个矩阵都与某个 REF 行等价，并可再到达 RREF。
章节 3
矩阵代数
矩阵算术、乘法、转置、特殊与初等矩阵，以及分块结构。
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3.1 矩阵加法、减法与数乘
学会哪些矩阵运算是逐格进行、为何大小必须配合，以及零矩阵如何充当加法单位元。
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3.2 矩阵乘法、单位矩阵与线性方程组
理解何时可以做矩阵乘法、行乘列规则怎样运作，以及单位矩阵为何在解线性方程组时重要。
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3.3 转置、对称矩阵与反对称矩阵
用转置、对称性、反对称性与交换乘积去读懂矩阵结构，而不是把公式当成零散技巧。
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3.5 初等行变换矩阵
把初等行变换表示成左乘初等矩阵，再用反向行变换理解可逆性。
章节 4
解的结构
齐次方程组、零空间与完整解集的结构。
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4.1 齐次方程组与零空间
仔细研究齐次方程组，再用零空间把所有解描述成有结构的集合，而不是零散例子。
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4.2 集合语言与解集
仔细使用集合记号、属于关系、解集、零空间、张成与集合相等，支撑线性代数中的论证。
章节 5
可逆性
理解什么情况下矩阵可以被反转，以及这件事的重要性。
章节 6
向量空间
由矩阵程序走向空间结构、张成、无关与基底。
章节 7
行列式
行列式、余因子公式，以及把行变换、转置与可逆性连起来的结构化代数。
章节 8
特征值与对角化
特征值、特征空间、相似与对角化，作为行列式之后的下一层结构。
章节 9
内积与正交性
内积、正交性、标准正交基与 Gram-Schmidt，作为特征值之后的几何层次。