3.2 矩阵乘法、单位矩阵与线性方程组

矩阵乘法记录两次线性计算依次进行的结果。把第一次计算的输出代入第二次计算，就会得到行乘列规则。

动机

矩阵加法与数乘都是逐项进行。矩阵乘法则不同：输出中的一个元素，是由左边矩阵的一整行与右边矩阵的一整列共同决定。

这个大小条件也有结构上的原因。一个 $n \times p$ 矩阵把具有 $p$ 个元素的向量送到具有 $n$ 个元素的向量，而一个 $m \times n$ 矩阵恰好可以接收这个结果，再把它送到具有 $m$ 个元素的向量。因此先做 $B$、再做 $A$ 的复合作用大小为 $m \times p$，正好就是 $AB$ 的大小。相同的内侧维数表示两个作用能够衔接，外侧维数则记录复合作用的输入与输出。

例如，先计算 $y_1=4x_1$ 与 $y_2=5x_1+x_2$，再计算 $z_1=y_1+2y_2$ 与 $z_2=3y_1-y_2$。代入后得到

$$\begin{aligned} z_1&=(1\cdot4+2\cdot5)x_1+(1\cdot0+2\cdot1)x_2=14x_1+2x_2,\\ z_2&=(3\cdot4-1\cdot5)x_1+(3\cdot0-1\cdot1)x_2=7x_1-x_2. \end{aligned}$$

每个系数都把第二次计算的一行与第一次计算的一列结合起来。把第一次计算的系数矩阵记为 $B$，第二次的记为 $A$，复合计算的系数矩阵就是 $AB$；最右边的因子先作用。

返回当前讲解与白板

定义 3.2.1

（矩阵乘积何时有定义）

若 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，$B$ 是 $n \times p$ 矩阵，则乘积 $AB$ 有定义，且结果是 $m \times p$ 矩阵。

若 $A$ 的列数不等于 $B$ 的行数，则 $AB$ 未定义。

内侧大小必须配对；外侧大小则给出结果矩阵的大小。

行乘列规则

定义 3.2.2

（矩阵乘法）

设 $A = [a_{ij}]$ 是 $m \times n$ 矩阵，$B = [b_{jk}]$ 是 $n \times p$ 矩阵。

则 $AB$ 的 $(i,k)$ 元素为

$$(AB)_{ik} = a_{i1}b_{1k} + a_{i2}b_{2k} + \cdots + a_{in}b_{nk}.$$

也就是说，输出中的一个元素，是 $A$ 的第 $i$ 行与 $B$ 的第 $k$ 列按位相乘后再相加。

这个定义同时说明三件事：

• 矩阵乘法不是逐项相乘；
• 内侧大小必须吻合；
• 一个输出元素会用到整行与整列中所有对应位置。

返回逐步计算

例题 3.2.3

（细算一个矩阵乘积）

令

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & -1 \end{bmatrix}, \qquad B = \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 5 & 1 \end{bmatrix}.$$

由于两者都是 $2 \times 2$，所以 $AB$ 有定义。其元素为

$$(AB)_{11} = 1 \cdot 4 + 2 \cdot 5 = 14,$$$$(AB)_{12} = 1 \cdot 0 + 2 \cdot 1 = 2,$$$$(AB)_{21} = 3 \cdot 4 + (-1) \cdot 5 = 7,$$$$(AB)_{22} = 3 \cdot 0 + (-1) \cdot 1 = -1.$$

因此

$$AB = \begin{bmatrix} 14 & 2 \\ 7 & -1 \end{bmatrix}.$$

返回白板当前选择的元素

矩阵乘向量就是方程组语言

若 $x$ 是列向量，那么 $Ax$ 只是矩阵乘法的特例，但它刚好把线性方程组的左边全部打包起来。

对

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 3 & -1 & 5 \end{bmatrix}, \qquad x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix},$$

有

$$Ax = \begin{bmatrix} x_1 + 2x_2 - x_3 \\ 3x_1 - x_2 + 5x_3 \end{bmatrix}.$$

所以 $Ax = b$ 并不是纯粹缩写，而是把整个方程组写成一个矩阵乘积。

逐行读出 Ax 对应的方程

$A$ 的每一行提供 $Ax=b$ 中一个方程的系数。

单位矩阵是刻意“什么也不改变”的矩阵

定义 3.2.4

（单位矩阵）

对每个正整数 $n$，$I_n$ 表示 $n \times n$ 单位矩阵：主对角线上全是 $1$，其余位置全是 $0$。

例如

$$I_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \qquad I_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.$$

单位矩阵之所以重要，是因为它对任何大小相容的矩阵都不起改变作用：

$$AI_n = A, \qquad I_m A = A.$$

例题 3.2.5

（为什么乘上单位矩阵不会改变矩阵）

若

$$A = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 4 & 3 \end{bmatrix},$$

则

$$AI_2 = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 4 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 4 & 3 \end{bmatrix}.$$

因为 $I_2$ 的第一列会抽出 $A$ 的第一列，第二列会抽出 $A$ 的第二列。

这正是往后定义逆矩阵的原因：若 $A^{-1}$ 存在，就要求 $AA^{-1} = I$。

看行乘列规则与单位矩阵的作用

$AB$ 的一个元素由一行与一列共同决定；乘上单位矩阵则保留相容的行或列。

乘法一般不交换

一般而言，

$$AB \ne BA.$$

有时两个乘积都定义，但结果不同；有时其中一个有定义，另一个根本未定义。所以次序同时影响“能不能做”与“做出来是什么”。

反例模式

大小相容并不保证交换

“任意两个同样大小的方阵都满足 $AB=BA$”是错误命题，即使两种次序的乘积都有定义且大小相同。取

$$A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix},\qquad B=\begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix}.$$

两者都是 $2\times2$ 实矩阵，满足所提命题的假设。直接按行乘列计算，得到

$$AB=\begin{bmatrix}0&2\\0&4\end{bmatrix},\qquad BA=\begin{bmatrix}0&0\\3&4\end{bmatrix}.$$

例如，$(AB)_{12}=1\cdot0+2\cdot1=2$，但 $(BA)_{12}=0\cdot2+0\cdot4=0$。只要一对对应元素不同，就足以证明 $AB\ne BA$。失败的结构原因是：右乘这个 $B$ 会保留第二列、把第一列归零；左乘它则保留第二行、把第一行归零。

一个正确的修订是：方阵与同样大小的单位矩阵的任意标量倍都可交换。事实上，若 $B=cI$，则 $AB=A(cI)=cA=(cI)A=BA$。对于任意方阵，交换性需要另行论证；大小相容只保证乘法有定义，并不保证因子可以调换。

下面的图可以帮你直接看到：一个输出元素，是如何由一行与一列构成的。

用列的观点去读乘积

除了逐格计算之外，矩阵乘法还有另一种非常重要的读法。

如果把 $B$ 的列写成

$$B = [b_1\ b_2\ \cdots\ b_p],$$

那么就有

$$AB = [Ab_1\ Ab_2\ \cdots\ Ab_p].$$

也就是说，乘积的每一列，都可以理解成 $A$ 乘上 $B$ 的对应列向量。

例题 3.2.6

（逐列读取同一个乘积）

令

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & -1 \end{bmatrix}, \qquad B = \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 5 & 1 \end{bmatrix}.$$

把 $B$ 的两列记为

$$b_1 = \begin{bmatrix} 4 \\ 5 \end{bmatrix}, \qquad b_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}.$$

那么

$$Ab_1 = \begin{bmatrix} 14 \\ 7 \end{bmatrix}, \qquad Ab_2 = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \end{bmatrix}.$$

因此

$$AB = \begin{bmatrix} 14 & 2 \\ 7 & -1 \end{bmatrix}.$$

这与逐项使用行乘列规则所得的答案相同。列的观点强调的是：一个矩阵乘积把多个矩阵乘向量的运算并列地组合在一起。

矩阵乘法其实表示复合

矩阵乘法不是随手规定出来的公式，而是用来表达线性映射复合的规则。

如果向量 $x$ 先被送到 $Bx$，再将结果送到 $A(Bx)$，那么整体作用就是

$$(AB)x.$$

所以内侧大小一定要匹配，因为第一个变换的输出，必须是第二个变换可以接收的输入。

定理 3.2.7

（结合律对应重复复合）

只要相关乘积有定义，就有

$$A(BC) = (AB)C.$$

所以一串矩阵乘积可以改变分组方式，而不改变最后的线性变换。

这并不表示可以改变因子的次序。结合律只允许改变括号，而不允许重新排列因子。

例题 3.2.8

（可以改变括号，但不能改变次序）

设 $A$ 是 $2 \times 3$ 矩阵，$B$ 是 $3 \times 4$ 矩阵，$C$ 是 $4 \times 2$ 矩阵。

此时 $AB$ 与 $BC$ 都有定义，所以 $(AB)C$ 与 $A(BC)$ 都有意义；结合律说明它们相等。更具体地说，$AB$ 的大小是 $2 \times 4$，所以 $(AB)C$ 的大小是 $2 \times 2$；$BC$ 的大小是 $3 \times 2$，所以 $A(BC)$ 也是 $2 \times 2$。

但是 $BA$ 根本没有定义，因为它的两个内侧维数 $4$ 与 $2$ 不相等。因此矩阵乘法具有结合律，却一般不具有交换律。

标准基向量解释为什么列的观点这么自然

在 $\mathbb{R}^n$ 中，$e_k$ 是第 $k$ 个位置等于 $1$、其余位置都为 $0$ 的向量。如果 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，那么 $Ae_k$ 就恰好是 $A$ 的第 $k$ 列。

因此单位矩阵一点都不神秘。$I_n$ 的各列就是 $e_1, e_2, \ldots, e_n$，所以右乘 $I_n$，其实就是逐列把 $A$ 自己原封不动地重建出来。

同样的基本检验也适用于零矩阵。如果右边矩阵每一列都是零向量，那么乘积的每一列也都会变成零向量，所以任何大小相容的 $A0$ 都一定是零矩阵。

定理 3.2.9

（矩阵由它对向量的作用唯一确定）

设 $A$ 与 $B$ 都是 $m \times n$ 矩阵。若

$$Ax=Bx \qquad \text{对每个 } x\in\mathbb{R}^n,$$

则 $A=B$。

证明

（利用标准基证明）

对每个 $k=1,\ldots,n$，把标准基向量 $e_k$ 代入假设，得到 $Ae_k=Be_k$。其中 $Ae_k$ 是 $A$ 的第 $k$ 列，而 $Be_k$ 是 $B$ 的第 $k$ 列。因此两个矩阵的第 $k$ 列对每个 $k$ 都相同。它们的所有列、因而所有元素都相同，故 $A=B$。

“对每个 $x$”是不可缺少的条件。两个不同矩阵可以在某一个向量上作用相同；例如，两者都会把零向量送到零向量。上面的证明还给出更强的检验方法：无须逐一检查所有向量，只要检查 $n$ 个标准基向量，就能逐列确定整个矩阵。

最先要记住的代数法则

当乘法有定义之后，下一步就要问：它和你已经熟悉的其他矩阵运算如何配合。

只要大小相容，矩阵乘法满足

$$A(B + C) = AB + AC, \qquad (A + B)C = AC + BC,$$

而标量也可以移进移出：

$$(cA)B = c(AB) = A(cB).$$

零矩阵提供最直接的基本检验。若 $0$ 是大小相容的零矩阵，就有

$$A0 = 0, \qquad 0A = 0.$$

原因是：行乘列时只要其中一边全是零，所有输出元素都只能是零。

这些法则虽然基础，但后面谈逆矩阵、分块矩阵计算和更长乘积推理时都会默认使用。如果不把它们明确掌握，后面的长计算会很难核对。

未知元素与因子的次序

含有未知元素的乘积把三个要点连在一起：相容的大小、决定每个输出元素的行与列，以及因子的次序。先用这些结构信息建立关系，再求解所得的标量方程。

例题 3.2.10

（由部分已知乘积反推出未知数）

令

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 2 & 1 \end{bmatrix}, \qquad B = \begin{bmatrix} a & b \\ 1 & 1 \\ b & a \\ 1 & 2 \end{bmatrix}.$$

假设

$$AB = \begin{bmatrix} 1 & c \\ 3 & d \end{bmatrix}.$$

乘积有定义，因为 $A$ 是 $2 \times 4$，$B$ 是 $4 \times 2$，所以 $AB$ 必定是 $2 \times 2$。只计算需要比较的元素，可得

$$AB = \begin{bmatrix} a+b+5 & a+b+8 \\ a+2b+1 & 2a+b+2 \end{bmatrix}.$$

把第一列与已知矩阵比较，得到

$$a+b+5=1, \qquad a+2b+1=3.$$

因此

$$a+b=-4, \qquad a+2b=2.$$

第二条减第一条得到 $b=6$，再代入得到 $a=-10$。余下元素是

$$c=a+b+8=4, \qquad d=2a+b+2=-12.$$

这类题目的重点，不是把所有元素都盲目乘出来，而是抽出已知乘积元素所强制的少数方程。

例题 3.2.11

（展开乘积时不要假设矩阵可交换）

令 $A$ 与 $B$ 是同大小方阵。则

$$(5A-B)(2A+3B) = 5A(2A+3B)-B(2A+3B).$$

继续分配右边因子：

$$5A(2A+3B)-B(2A+3B) =10A^2+15AB-2BA-3B^2.$$

中间两项是 $15AB$ 与 $-2BA$。除非已知 $AB=BA$，否则不能把它们合并成 $13AB$。

同一个警告也解释了常见错误：

$$(A+B)(A-B) =A^2-AB+BA-B^2.$$

只有在额外知道 $AB=BA$ 时，这才等于 $A^2-B^2$。实数代数会遮住这个问题，因为实数乘法可交换；矩阵代数不会。

例题 3.2.12

（零乘积不代表其中一个因子必定为零）

令

$$A = \begin{bmatrix} 1 & -1 \end{bmatrix}, \qquad B = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}.$$

两个矩阵都不是零矩阵，但

$$AB = \begin{bmatrix} 1 \cdot 1 + (-1) \cdot 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \end{bmatrix}.$$

所以矩阵乘法与实数乘法不同：$AB = 0$ 并不推出 $A = 0$ 或 $B = 0$。

定理 3.2.13

（单位矩阵是唯一的）

如果 $E$ 是一个 $n \times n$ 矩阵，而且对每个相容的 $n \times n$ 矩阵 $A$ 都满足

$$EA = A \qquad \text{且} \qquad AE = A,$$

那么就一定有 $E = I_n$。

证明

（为什么不可能存在第二个单位矩阵）

取 $A = I_n$。由 $E$ 的性质得到 $EI_n = I_n$。但任何矩阵右乘 $I_n$ 都保持不变，所以 $EI_n = E$。因此 $E = I_n$。

常见错误

常见错误

（矩阵乘法不是逐项相乘）

$(AB)_{ik}$ 不是 $a_{ik}b_{ik}$。它来自 $A$ 的第 $i$ 行与 $B$ 的第 $k$ 列。

常见错误

（一个方向可乘，不代表反方向也可乘）

若 $A$ 是 $2 \times 3$、$B$ 是 $3 \times 4$，则 $AB$ 有定义，但 $BA$ 没有。不要自动把顺序反过来。

常见错误

（列的观点是看右边因子的列）

如果 $B=[b_1\ b_2]$，则 $AB=[Ab_1\ Ab_2]$。乘积的各列是 $A$ 的列的线性组合，而权重来自 $B$ 的对应列。不要写成 $AB=[a_1b_1\ a_2b_2]$；这并不符合矩阵乘法的定义。

常见错误

（二项式公式需要可交换假设）

公式 $(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$ 对矩阵不是自动成立。真正展开是

$$(A+B)^2=A^2+AB+BA+B^2.$$

只有在 $AB=BA$ 时，才可以把中间两项合并。

总结

若 $A$ 的大小为 $m \times n$、$B$ 的大小为 $n \times p$，则 $AB$ 的大小为 $m \times p$；内侧维数不相等时，乘积没有定义。每个元素由 $A$ 的一行与 $B$ 的一列计算，而列公式 $AB=[Ab_1\ \cdots\ Ab_p]$ 则把同一运算理解为多个矩阵乘向量的运算。因此，$Ax=b$ 正好能把一个线性方程组写成一个对象。

单位矩阵不会改变大小相容的矩阵。矩阵乘法满足结合律与分配律，但结合律只允许改变括号，并不允许调换因子；一般而言，$AB\ne BA$。最后，等式 $Ae_k=\operatorname{col}_k(A)$ 表明矩阵对标准基的作用会逐列确定这个矩阵。所以若对每个 $x\in\mathbb{R}^n$ 都有 $Ax=Bx$，则必有 $A=B$。

快速检查

快速检查

（若 $A$ 是 $2 \times 3$、$B$ 是 $3 \times 5$，那么 $AB$ 的大小是什么？）

先检查内侧大小，再读外侧大小。

解答 · 答案

$AB$ 有定义，而且大小是 $2 \times 5$。

快速检查

（把一个大小相容的矩阵乘上 $I_n$，会发生什么？）

用一句话回答。

解答 · 答案

矩阵保持不变。

快速检查

（如果 $B$ 的列向量是 $b_1$ 和 $b_2$，怎样读 $AB$ 的各列？）

请用列的观点回答。

解答 · 答案

$AB$ 的各列分别是 $Ab_1$ 和 $Ab_2$。

快速检查

（展开 $(5A-B)(2A+3B)$ 时，$BA$ 的系数是多少？）

请把 $AB$ 与 $BA$ 当作不同项处理。

解答 · 答案

$BA$ 的系数是 $-2$，因为该项来自 $-B(2A)$。

练习

快速检查

（为什么 $Ax = b$ 可以同时代表多条方程？）

请在答案中使用“行”这个字。

解答 · 答案

因为 $A$ 的每一行与列向量 $x$ 配对后都会产生一条方程，所以 $Ax$ 会把整个方程组一起打包。

快速检查

（为什么 $Ax = 0$ 不论 $A$ 是什么，都至少有一个解？）

把 $x$ 看成列向量来回答。

解答 · 引导解答

取零向量 $x = 0$。由于 $A0$ 的每个元素都是把 $0$ 的元素做线性组合，所以全部都是 $0$。因此 $A0 = 0$，齐次系统永远至少有平凡解。

快速检查

（为什么有时 $AB$ 有定义，但 $BA$ 却没有定义？）

请用内侧大小条件作答。

解答 · 引导解答

$AB$ 有定义，要求 $A$ 的列数等于 $B$ 的行数；而 $BA$ 有定义，要求 $B$ 的列数等于 $A$ 的行数。这两个条件不同，所以一个方向可以做，反方向未必可以做。

快速检查

（令 $A$、$B$ 为上面含未知数例题中的矩阵。若 $AB$ 的第一列是 $[1,3]^T$，求 $a$ 和 $b$。）

只使用第一列给出的方程。

解答 · 引导解答

$AB$ 的第一列给出

$$a+b+5=1, \qquad a+2b+1=3.$$

所以

$$a+b=-4, \qquad a+2b=2.$$

相减得 $b=6$，再代入 $a+b=-4$ 得 $a=-10$。

快速检查

（如果 $A$ 的第一行是 $(4, -1, 2)$，而 $x = (x_1, x_2, x_3)^T$，那么 $Ax$ 的第一个元素是什么？）

请直接用行乘列规则写出。

解答 · 引导解答

第一个元素是 $4x_1 - x_2 + 2x_3$。

相关笔记

本节建立在 2.1 矩阵基础 之上。下一节可读 3.3 转置、对称矩阵与反对称矩阵，或直接跳到 5.1 可逆矩阵。

有限实矩阵乘法法则的证明

设 $m,n,p,q$ 为正整数，$A\in\mathbb R^{m\times n}$、$B\in\mathbb R^{n\times p}$、$C\in\mathbb R^{p\times q}$。以下只用行乘列定义与实数的有限求和。对任意输出位置 $(i,\ell)$，

$$\begin{aligned} ((AB)C)_{i\ell} &=\sum_{k=1}^{p}\left(\sum_{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk}\right)c_{k\ell}\\ &=\sum_{j=1}^{n}a_{ij}\left(\sum_{k=1}^{p}b_{jk}c_{k\ell}\right) =(A(BC))_{i\ell}. \end{aligned}$$

中间等号只交换两个有限和的求和次序，并使用实数分配律。两边同为 $m\times q$ 矩阵，每个位置相等，便证明结合律；没有调换矩阵因子的次序。

对 $D\in\mathbb R^{n\times p}$，同一定义给出

$$[A(B+D)]_{ik}=\sum_{j=1}^{n}a_{ij}(b_{jk}+d_{jk}) =(AB)_{ik}+(AD)_{ik}.$$

对 $E\in\mathbb R^{m\times n}$，则有

$$[(A+E)B]_{ik}=\sum_{j=1}^{n}(a_{ij}+e_{ij})b_{jk} =(AB)_{ik}+(EB)_{ik}.$$

所以在所写的相容大小下，两条分配律均成立。对任意实标量 $c$，

$$[(cA)B]_{ik}=\sum_j(ca_{ij})b_{jk} =c\sum_j a_{ij}b_{jk} =\sum_j a_{ij}(cb_{jk})=[A(cB)]_{ik},$$

逐项相等便证明 $(cA)B=c(AB)=A(cB)$。特别地，对 $x,y\in\mathbb R^n$ 与实数 $s,t$，

$$[A(sx+ty)]_i=\sum_j a_{ij}(sx_j+ty_j) =s(Ax)_i+t(Ay)_i.$$

这证明了比较同一线性系统的解时所用的矩阵乘向量线性性质。所有恒等式都只针对大小相容的有限实矩阵，不声称任意矩阵因子可交换或可消去。

补充练习与完整解答

第 3 题

本题的矩阵及未另行说明的标量参数均取实数。矩阵尺寸为正整数；O 表示相应尺寸的零矩阵。

题目

$$A=\begin{pmatrix}-2&-5&2&0\\a&0&1&a\\1&-2&c&-1\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}2&a\\-3&1\\1&a\\c&1\end{pmatrix},\quad C=\begin{pmatrix}13&-5\\-11&0\\b&d\end{pmatrix},\quad AB=C.$$

参数均为实数。(a) 求 b。(b) 写出逐项比较所得、显式含 a,c,d 中至少一个而不含 b 的全部简化等式。(c) 在 a≠0 下求 a,c,d。

解答

$$AB=\begin{pmatrix}13&-5\\a(c+2)+1&a^2+2a\\8&a(c+1)-3\end{pmatrix}.$$ $$\text{(a)}\ b=8;\qquad \text{(b)}\ a(c+2)=-12,\quad a(a+2)=0,\quad d=a(c+1)-3.$$ $$\text{(c)}\quad a=-2,\qquad c=4,\qquad d=-13.$$

按行乘列得到所列乘积。第一行的两个等式恒成立，其余元素恰好给出上述三个等式及 b=8。由 a≠0 和 a(a+2)=0 得 a=−2，依次代入得 c=4、d=−13；这些数值在每个位置均满足 AB=C。

第 8 题

本题的矩阵及未另行说明的标量参数均取实数。矩阵尺寸为正整数；O 表示相应尺寸的零矩阵。

题目

$$A=\begin{pmatrix}1\\2\\3\\4\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}1&2&3&4\end{pmatrix}.$$

计算 AB 与 BA。

解答

$$AB=\begin{pmatrix}1&2&3&4\\2&4&6&8\\3&6&9&12\\4&8&12&16\end{pmatrix},\qquad BA=\begin{pmatrix}1+4+9+16\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}30\end{pmatrix}.$$

AB 为 4×4 矩阵，其第 (i,j) 元素为 ij。BA 为 1×1 矩阵，唯一的元素是该行与该列的内积。两种乘积的尺寸不同。

第 9 题

本题的矩阵及未另行说明的标量参数均取实数。矩阵尺寸为正整数；O 表示相应尺寸的零矩阵。

题目

$$A=\begin{pmatrix}3&0\\-1&2\\1&1\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}4&-1\\0&2\end{pmatrix},\quad C=\begin{pmatrix}1&4&2\\3&1&5\end{pmatrix}.$$

计算 (AB)C 与 A(BC)。

解答

$$AB=\begin{pmatrix}12&-3\\-4&5\\4&1\end{pmatrix},\qquad BC=\begin{pmatrix}1&15&3\\6&2&10\end{pmatrix}.$$ $$(AB)C=\begin{pmatrix}12-9&48-3&24-15\\-4+15&-16+5&-8+25\\4+3&16+1&8+5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&45&9\\11&-11&17\\7&17&13\end{pmatrix}.$$ $$A(BC)=\begin{pmatrix}3&45&9\\-1+12&-15+4&-3+20\\1+6&15+2&3+10\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&45&9\\11&-11&17\\7&17&13\end{pmatrix}.$$

先分别求出 3×2 与 2×3 的中间乘积，再按所列行列内积计算。两个最终乘积均为 3×3，且逐项相等。

第 10 题

本题的矩阵及未另行说明的标量参数均取实数。矩阵尺寸为正整数；O 表示相应尺寸的零矩阵。

题目

$$A=\begin{pmatrix}2&0&2&1\\2&8&1&0\end{pmatrix},\ B=\begin{pmatrix}a&2\\1&b\\b&a\\-1&5\end{pmatrix},\ C=\begin{pmatrix}3&c\\4&d\end{pmatrix},\quad AB=C.$$

求实数 a,b,c,d。

解答

$$AB=\begin{pmatrix}2a+2b-1&9+2a\\2a+b+8&4+8b+a\end{pmatrix}.$$ $$a+b=2,\quad 2a+b=-4\ \Longrightarrow\ a=-6,\ b=8;\qquad c=9+2a=-3,\quad d=4+8b+a=62.$$

比较第一列得两个线性方程，相减得 a=−6，再得 b=8；第二列确定 c,d。将四个值代回乘积，恰好得到 C，因此没有遗漏条件。

第 11 题

本题的矩阵及未另行说明的标量参数均取实数。矩阵尺寸为正整数；O 表示相应尺寸的零矩阵。

题目

$$A=\begin{pmatrix}1&-2&1\\2&1&-3\\-5&2&3\end{pmatrix},\ B=\begin{pmatrix}2&5&-1&-7\\-2&1&3&4\\3&2&1&2\end{pmatrix},\ C=\begin{pmatrix}3&6&0&-6\\-1&2&4&5\\4&3&2&3\end{pmatrix}.$$

(a) 判断 B=C 是否成立并说明理由；(b) 计算 AB、AC；(c) 判断 AB=AC 是否成立并说明理由。

解答

$$\text{(a)}\quad b_{11}=2\ne3=c_{11},\quad B\ne C.$$ $$\text{(b)}\quad AB=AC=\begin{pmatrix}9&5&-6&-13\\-7&5&-2&-16\\-5&-17&14&49\end{pmatrix}.$$ $$C-B=\begin{pmatrix}1&1&1&1\\1&1&1&1\\1&1&1&1\end{pmatrix},\qquad A\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}.$$

例如 AB 的首元素为 1·2+(−2)(−2)+1·3=9，其他元素同样按行乘列计算。另作验证：C−B 的每一列都是 (1,1,1)ᵀ，而 A 将此向量映为零，故 AC−AB=0。因此 (c) 成立而 (a) 不成立，一般矩阵不能直接约去。

第 15 题

本题的矩阵及未另行说明的标量参数均取实数。矩阵尺寸为正整数；O 表示相应尺寸的零矩阵。

题目

$$A,B\in M_{n\times n}(\mathbb R),\qquad (2A+3B)(A-B)=aA^2+bAB+cBA+dB^2.$$

给出适当的实数 a,b,c,d。

解答

$$(2A+3B)(A-B)=2A^2-2AB+3BA-3B^2,\qquad (a,b,c,d)=(2,-2,3,-3).$$

使用分配律，并保持每个乘积中因子的先后次序。一般 AB 与 BA 不相等，故须分别保留其系数。展开式说明这些数对所有符合尺寸的 A,B 都适用。

第 16 题

本题的矩阵及未另行说明的标量参数均取实数。矩阵尺寸为正整数；O 表示相应尺寸的零矩阵。

题目

$$A=\begin{pmatrix}a&0&0\\d&b&0\\e&f&c\end{pmatrix},\qquad a,b,c,d,e,f\in\mathbb R.$$

验证 (aI₃−A)(bI₃−A)(cI₃−A)=O₃×₃。

解答

$$(aI_3-A)(bI_3-A)=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\df+e(c-b)&f(c-a)&(a-c)(b-c)\end{pmatrix},\quad cI_3-A=\begin{pmatrix}c-a&0&0\\-d&c-b&0\\-e&-f&0\end{pmatrix}.$$ $$\begin{aligned}t_{31}&=[df+e(c-b)](c-a)-df(c-a)-e(a-c)(b-c)=0,\\t_{32}&=f(c-a)(c-b)-f(a-c)(b-c)=0,\\t_{33}&=0.\end{aligned}$$

第一次相乘后只有最后一行可能非零。第二次相乘时，利用 (a−c)(b−c)=(c−a)(c−b)，所列最后一行的元素均抵消；其余两行本来为零，故全矩阵为零。不需要假设 a,b,c 两两不同。

第 17 题

本题的矩阵及未另行说明的标量参数均取实数。矩阵尺寸为正整数；O 表示相应尺寸的零矩阵。

题目

$$\text{(a)}\quad [x\ y\ 1]\begin{pmatrix}a&h&g\\h&b&f\\g&f&c\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}. \qquad \text{(b.i)}\ x^2+9xy+y^2+8x+5y+2=0;\quad \text{(ii)}\ \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{16}=1;\quad \text{(iii)}\ xy=25;\quad\text{(iv)}\ y^2=12x.$$

所有标量均为实数。(a) 计算乘积。(b) 由此将四个方程分别写成矩阵表达式等于零的形式。

解答

$$\text{(a)}\quad x(ax+hy+g)+y(hx+by+f)+(gx+fy+c)=ax^2+by^2+c+2hxy+2gx+2fy.$$ $$z=\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix},\qquad \text{(b)}\quad z^TM_i z=0\quad(i=1,2,3,4),$$ $$M_1=\begin{pmatrix}1&9/2&4\\9/2&1&5/2\\4&5/2&2\end{pmatrix},\quad M_2=\begin{pmatrix}1/9&0&0\\0&1/16&0\\0&0&-1\end{pmatrix},$$ $$M_3=\begin{pmatrix}0&1/2&0\\1/2&0&0\\0&0&-25\end{pmatrix},\quad M_4=\begin{pmatrix}0&0&-6\\0&1&0\\-6&0&0\end{pmatrix}.$$

对称的非对角元素各贡献两次。(b) 先将全部项移到左边，再用 (a) 的公式匹配各系数；代入四个矩阵分别得到原来的四个方程。

第 19 题

本题的矩阵及未另行说明的标量参数均取实数。矩阵尺寸为正整数；O 表示相应尺寸的零矩阵。

题目

$$\text{(a)}\quad A=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&1\\3&1&2\end{pmatrix}. \qquad\text{(b)}\quad A\in M_{m\times n}(\mathbb R),\ a_{ij}=1,\quad B\in M_{n\times n}(\mathbb R),\ b_{ij}=1+((i+j-2)\bmod n).$$

m,n 为正整数。(a) 求 AB。(b) B 的第一行为 1,2,…,n，以后每行循环左移一格。证明 AB=αA，并明确求出 α。

解答

$$\text{(a)}\quad AB=\begin{pmatrix}6&6&6\\6&6&6\end{pmatrix}.$$ $$\text{(b)}\quad (AB)_{ij}=\sum_{k=1}^n1\cdot b_{kj}=1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}2,\quad \alpha=\frac{n(n+1)}2,\quad AB=\alpha A.$$

循环矩阵的每一列恰好包含一次 1 到 n。将此和与反序排列的同一个和相加，得到两倍和为 n(n+1)。A 每个元素均为 1，所以常数元素矩阵就是 αA；(a) 对应 n=3。

第 20 题

本题的矩阵及未另行说明的标量参数均取实数。矩阵尺寸为正整数；O 表示相应尺寸的零矩阵。

题目

$$A=\begin{pmatrix}0&1\\0&1\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}-1&-1\\0&0\end{pmatrix}.$$

判断并证明真伪：(a) (A+B)²=A²+2AB+B²；(b) (A+B)³=A³+3A²B+3AB²+B³。

解答

$$A^2=A^3=A,\quad B^2=-B,\quad B^3=B,\quad AB=O,\quad BA=\begin{pmatrix}0&-2\\0&0\end{pmatrix},\quad A+B=\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}.$$ $$\text{(a)}\quad (A+B)^2=I_2\ne \begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}=A-B=A^2+2AB+B^2.$$ $$\text{(b)}\quad (A+B)^3=A+B=A^3+3A^2B+3AB^2+B^3.$$

先直接相乘得到所列 2×2 恒等式。(a) 两边右上角元素不同，故为假。(b) 中 A²B=AB=0 且 AB²=−AB=0；对角矩阵 A+B 的三次幂仍为自身，所以两边均为 A+B，结论为真。这里没有使用一般矩阵的交换二项式公式。

第 27 题

本题的矩阵及未另行说明的标量参数均取实数。矩阵尺寸为正整数；O 表示相应尺寸的零矩阵。

题目

$$A\in M_{m\times n}(\mathbb R),\quad B\in M_{n\times p}(\mathbb R),\quad 1\le k,\ell\le m,\quad a_{kr}=a_{\ell r}\ (1\le r\le n).$$

证明 AB 的第 k、ℓ 行相同。提示：可用适当的行或列分块来组织乘法。

解答

$$(AB)_{kj}=\sum_{r=1}^n a_{kr}b_{rj}=\sum_{r=1}^n a_{\ell r}b_{rj}=(AB)_{\ell j}\qquad(1\le j\le p).$$

由假设，两行在每个内部坐标 r 上相同，所以它们与 B 的任意固定第 j 列相乘时，各加项相同。因每个输出列位置均相同，两条输出行相等。

第 28 题

本题的矩阵及未另行说明的标量参数均取实数。矩阵尺寸为正整数；O 表示相应尺寸的零矩阵。

题目

$$A\in M_{m\times n}(\mathbb R),\quad B\in M_{n\times p}(\mathbb R),\quad C\in M_{m\times p}(\mathbb R),\quad x=\sum_{j=1}^p B_{:j},\quad y=\sum_{j=1}^p C_{:j}.$$

m,n,p 为正整数。(a) 证明 AB=C 蕴含 Ax=y。提示：用矩阵乘法联系 B 与 x、C 与 y。(b) 判断 Ax=y 是否蕴含 AB=C，并给出证明或反例。

解答

$$\text{(a)}\quad \mathbf1_p=\begin{pmatrix}1\\\vdots\\1\end{pmatrix},\quad x=B\mathbf1_p,\quad y=C\mathbf1_p,\quad Ax=A(B\mathbf1_p)=(AB)\mathbf1_p=C\mathbf1_p=y.$$ $$\text{(b)}\quad m=n=1,\ p=2,\quad A=(1),\quad B=\begin{pmatrix}0&0\end{pmatrix},\quad C=\begin{pmatrix}1&-1\end{pmatrix}.$$ $$x=(0),\quad y=(0),\quad Ax=y,\qquad AB=\begin{pmatrix}0&0\end{pmatrix}\ne C.$$

全一列向量将矩阵各列相加，故 (a) 的两个表示成立，再由结合律得结论。反例的尺寸满足全部假设；列之和相等不能确定各列，而所列不相等的乘积明确否定了 (b)。

第 31 题

本题的矩阵及未另行说明的标量参数均取实数。矩阵尺寸为正整数；O 表示相应尺寸的零矩阵。

题目

$$P=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix},\quad Q=\begin{pmatrix}a^\prime&b^\prime\\c^\prime&d^\prime\end{pmatrix},\quad R=\begin{pmatrix}aa^\prime&bb^\prime\\cc^\prime&dd^\prime\end{pmatrix},\quad PQ=R.$$

八个参数均为实数。(a) 证明 bc′=0、ab′+bd′=bb′、ca′+dc′=cc′、cb′=0。备注：通常的矩阵乘法一般不同于对应元素直接相乘。(b) 若另有 P=Q，证明 b=c=0，或 b=0 且 a+d=c，或 c=0 且 a+d=b。

解答

$$\text{(a)}\quad PQ=\begin{pmatrix}aa^\prime+bc^\prime&ab^\prime+bd^\prime\\ca^\prime+dc^\prime&cb^\prime+dd^\prime\end{pmatrix}=R.$$ $$bc^\prime=0,\quad ab^\prime+bd^\prime=bb^\prime,\quad ca^\prime+dc^\prime=cc^\prime,\quad cb^\prime=0.$$ $$\text{(b)}\quad bc=0,\quad b(a+d)=b^2,\quad c(a+d)=c^2.$$ $$b=c=0\quad\text{或}\quad [b=0\ \text{且}\ a+d=c]\quad\text{或}\quad[c=0\ \text{且}\ a+d=b].$$

(a) 比较四个元素，对角等式分别减去 aa′、dd′ 即得结论。(b) 代入 a′=a、b′=b、c′=c、d′=d。实数满足 bc=0，故分为 b=c=0、b=0 而 c≠0、c=0 而 b≠0 三种穷尽情形。第二种将 c(a+d)=c² 除以非零 c，第三种将 b(a+d)=b² 除以非零 b，恰好得到所需析取。