3.2 矩阵乘法、单位矩阵与线性方程组

矩阵乘法是第一个真正把“行”与“列”结合起来的矩阵运算。它也是矩阵之所以 能表达复合、线性方程组与逆矩阵的核心原因。所以这条规则不能只靠死记；你 要明白每一步的大小条件到底在做什么。

动机

矩阵加法与数乘都是逐项进行。矩阵乘法则不同：输出中的一个元素，是由左边 矩阵的一整行与右边矩阵的一整列共同决定。

这个大小条件也有结构上的原因。一个 $n \times p$ 矩阵把具有 $p$ 个元素的 向量送到具有 $n$ 个元素的向量，而一个 $m \times n$ 矩阵恰好可以接收这个 结果，再把它送到具有 $m$ 个元素的向量。因此先做 $B$、再做 $A$ 的复合作用 大小为 $m \times p$，正好就是 $AB$ 的大小。相同的内侧维数表示两个作用能够 衔接，外侧维数则记录复合作用的输入与输出。

定义

矩阵乘积何时有定义

若 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，$B$ 是 $n \times p$ 矩阵，则乘积 $AB$ 有定义，且结果是 $m \times p$ 矩阵。

若 $A$ 的列数不等于 $B$ 的行数，则 $AB$ 未定义。

内侧大小必须配对；外侧大小则给出结果矩阵的大小。

行乘列规则

定义

矩阵乘法

设 $A = [a_{ij}]$ 是 $m \times n$ 矩阵，$B = [b_{jk}]$ 是 $n \times p$ 矩阵。

则 $AB$ 的 $(i,k)$ 元素为

$$(AB)_{ik} = a_{i1}b_{1k} + a_{i2}b_{2k} + \cdots + a_{in}b_{nk}.$$

也就是说，输出中的一个元素，是 $A$ 的第 $i$ 行与 $B$ 的第 $k$ 列按位相 乘后再相加。

这个定义同时说明三件事：

• 矩阵乘法不是逐项相乘；
• 内侧大小必须吻合；
• 一个输出元素会用到整行与整列中所有对应位置。

例题

细算一个矩阵乘积

令

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & -1 \end{bmatrix}, \qquad B = \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 5 & 1 \end{bmatrix}.$$

由于两者都是 $2 \times 2$，所以 $AB$ 有定义。其元素为

$$(AB)_{11} = 1 \cdot 4 + 2 \cdot 5 = 14,$$$$(AB)_{12} = 1 \cdot 0 + 2 \cdot 1 = 2,$$$$(AB)_{21} = 3 \cdot 4 + (-1) \cdot 5 = 7,$$$$(AB)_{22} = 3 \cdot 0 + (-1) \cdot 1 = -1.$$

因此

$$AB = \begin{bmatrix} 14 & 2 \\ 7 & -1 \end{bmatrix}.$$

矩阵乘向量就是方程组语言

若 $x$ 是列向量，那么 $Ax$ 只是矩阵乘法的特例，但它刚好把线性方程组的左 边全部打包起来。

对

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 3 & -1 & 5 \end{bmatrix}, \qquad x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix},$$

有

$$Ax = \begin{bmatrix} x_1 + 2x_2 - x_3 \\ 3x_1 - x_2 + 5x_3 \end{bmatrix}.$$

所以 $Ax = b$ 并不是纯粹缩写，而是把整个方程组写成一个矩阵乘积。

逐行读出 Ax 对应的方程

下面的图解保留同一个符号化的 $2 \times 3$ 乘 $3 \times 1$ 乘积，同时把 $A$ 的每一行读成 $Ax = b$ 里的方程。它的角色是连接上面的公式和本页稍后的可编辑乘法工具。

观看行乘列乘法如何把 Ax = b 变成完整方程组：每一行读出一条方程。

1. 先检查大小

   2 x 3 矩阵可以乘 3 x 1 向量，因为 A 的每一行刚好有三个元素与 x 配对。

2. 读第 1 行

   第一个输出元素是 A 的第 1 行与 x 配对：a11*x1 + a12*x2 + a13*x3。

3. 设成 b1

   当 Ax = b，这个第一输出元素就成为方程组的第一条方程。

4. 读第 2 行

   第 2 行给出第二条方程：a21*x1 + a22*x2 + a23*x3 = b2。

5. 叠成方程组

   Ax = b 就是把所有按行读出的方程上下叠起，再用一条矩阵方程写出。

6. 推广到 AB

   若 B = [u v]，则 AB = [Au Av]。一般矩阵乘积就是多个 Ax 式乘积并排。

行乘列规则解释了为什么一条紧凑的 Ax = b 可以保存整个线性方程组。A 的每一行提供一条方程；完整乘积 AB 则对 B 的每一列重复同一想法。

单位矩阵是刻意“什么也不改变”的矩阵

定义

单位矩阵

对每个正整数 $n$，$I_n$ 表示 $n \times n$ 单位矩阵：主对角线上全是 $1$， 其余位置全是 $0$。

例如

$$I_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \qquad I_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.$$

单位矩阵之所以重要，是因为它对任何大小相容的矩阵都不起改变作用：

$$AI_n = A, \qquad I_m A = A.$$

例题

为什么乘上单位矩阵不会改变矩阵

若

$$A = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 4 & 3 \end{bmatrix},$$

则

$$AI_2 = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 4 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 4 & 3 \end{bmatrix}.$$

因为 $I_2$ 的第一列会抽出 $A$ 的第一列，第二列会抽出 $A$ 的第二列。

这正是往后定义逆矩阵的原因：若 $A^{-1}$ 存在，就要求 $AA^{-1} = I$。

看行乘列规则与单位矩阵的作用

下面的图解分别展示本节最重要的两个机制：$AB$ 的一个元素由一行与一列计算出来，而乘上单位矩阵会保留相容的行或列。比较这些情况后，再用下面的互动工具自己选择不同输出位置。

观看一个矩阵乘积元素如何由行列求和形成，再看单位矩阵为什么会保留原本的行与列。

1. 大小入口

   2 x 3 矩阵可以乘 3 x 2 矩阵，因为内侧大小匹配。外侧大小决定 AB 是 2 x 2 矩阵。

2. 一个元素

   左上角输出元素使用 A 的第 1 行与 B 的第 1 列：c11 = 1*4 + 2*5 + (-1)*6 = 8。

3. 整个乘积

   对每个输出格重复行乘列规则。乘积不是把对应位置逐格相乘而成。

4. 右边单位矩阵

   在 A I_n = A 中，I_n 的列会选出 A 的各列，所以右乘单位矩阵保持 A 不变。

5. 左边单位矩阵

   在 I_m A = A 中，I_m 的行会选出 A 的各行，所以左乘单位矩阵也保持 A 不变。

6. 次序提醒

   单位矩阵是特殊情形。一般而言，AB 与 BA 回答的是不同的行列问题，不必相等。

矩阵乘积由相容的内侧大小决定是否有定义。每个输出元素都是行列求和，而单位矩阵会保持相容矩阵不变，因为它的行和列会选回原本的行与列。

乘法一般不交换

线性代数最早令学生不习惯的地方之一，就是

$$AB \ne BA$$

一般而言就是如此。

有时两个乘积都定义，但结果不同；有时其中一个有定义，另一个根本未定义。 所以次序同时影响“能不能做”与“做出来是什么”。

反例模式

大小相容并不保证交换

“任意两个同样大小的方阵都满足 $AB=BA$”是错误命题，即使两种次序的乘积都有定义且大小相同。取

$$A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix},\qquad B=\begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix}.$$

两者都是 $2\times2$ 实矩阵，满足所提命题的假设。直接按行乘列计算，得到

$$AB=\begin{bmatrix}0&2\\0&4\end{bmatrix},\qquad BA=\begin{bmatrix}0&0\\3&4\end{bmatrix}.$$

例如，$(AB)_{12}=1\cdot0+2\cdot1=2$，但 $(BA)_{12}=0\cdot2+0\cdot4=0$。只要一对对应元素不同，就足以证明 $AB\ne BA$。失败的结构原因是：右乘这个 $B$ 会保留第二列、把第一列归零；左乘它则保留第二行、把第一行归零。

一个正确的修订是：方阵与同样大小的单位矩阵的任意标量倍都可交换。事实上，若 $B=cI$，则 $AB=A(cI)=cA=(cI)A=BA$。对于任意方阵，交换性需要另行论证；大小相容只保证乘法有定义，并不保证因子可以调换。

下面的图可以帮你直接看到：一个输出元素，是如何由一行与一列构成的。

用列的观点去读乘积

除了逐格计算之外，矩阵乘法还有另一种非常重要的读法。

如果把 $B$ 的列写成

$$B = [b_1\ b_2\ \cdots\ b_p],$$

那么就有

$$AB = [Ab_1\ Ab_2\ \cdots\ Ab_p].$$

也就是说，乘积的每一列，都可以理解成 $A$ 乘上 $B$ 的对应列向量。

例题

逐列读取同一个乘积

令

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & -1 \end{bmatrix}, \qquad B = \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 5 & 1 \end{bmatrix}.$$

把 $B$ 的两列记为

$$b_1 = \begin{bmatrix} 4 \\ 5 \end{bmatrix}, \qquad b_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}.$$

那么

$$Ab_1 = \begin{bmatrix} 14 \\ 7 \end{bmatrix}, \qquad Ab_2 = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \end{bmatrix}.$$

因此

$$AB = \begin{bmatrix} 14 & 2 \\ 7 & -1 \end{bmatrix}.$$

这与逐项使用行乘列规则所得的答案相同。列的观点强调的是：一个矩阵乘积把 多个矩阵乘向量的运算并列地组合在一起。

矩阵乘法其实表示复合

矩阵乘法不是随手规定出来的公式，而是用来表达线性映射复合的规则。

如果向量 $x$ 先被送到 $Bx$，再将结果送到 $A(Bx)$，那么整体作用就是

$$(AB)x.$$

所以内侧大小一定要匹配，因为第一个变换的输出，必须是第二个变换可以接收 的输入。

定理

结合律对应重复复合

只要相关乘积有定义，就有

$$A(BC) = (AB)C.$$

所以一串矩阵乘积可以改变分组方式，而不改变最后的线性变换。

这并不表示可以改变因子的次序。结合律只允许改变括号，而不允许重新排列因子。

例题

可以改变括号，但不能改变次序

设 $A$ 是 $2 \times 3$ 矩阵，$B$ 是 $3 \times 4$ 矩阵，$C$ 是 $4 \times 2$ 矩阵。

此时 $AB$ 与 $BC$ 都有定义，所以 $(AB)C$ 与 $A(BC)$ 都有意义；结合律说明 它们相等。更具体地说，$AB$ 的大小是 $2 \times 4$，所以 $(AB)C$ 的大小是 $2 \times 2$；$BC$ 的大小是 $3 \times 2$，所以 $A(BC)$ 也是 $2 \times 2$。

但是 $BA$ 根本没有定义，因为它的两个内侧维数 $4$ 与 $2$ 不相等。因此矩阵 乘法具有结合律，却一般不具有交换律。

标准基向量解释为什么列的观点这么自然

在 $\mathbb{R}^n$ 中，$e_k$ 是第 $k$ 个位置等于 $1$、其余位置都为 $0$ 的向量。 如果 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，那么 $Ae_k$ 就恰好是 $A$ 的第 $k$ 列。

因此单位矩阵一点都不神秘。$I_n$ 的各列就是 $e_1, e_2, \ldots, e_n$，所以 右乘 $I_n$，其实就是逐列把 $A$ 自己原封不动地重建出来。

同样的基本检验也适用于零矩阵。如果右边矩阵每一列都是零向量，那么乘积 的每一列也都会变成零向量，所以任何大小相容的 $A0$ 都一定是零矩阵。

定理

矩阵由它对向量的作用唯一确定

设 $A$ 与 $B$ 都是 $m \times n$ 矩阵。若

$$Ax=Bx \qquad \text{对每个 } x\in\mathbb{R}^n,$$

则 $A=B$。

证明

利用标准基证明

对每个 $k=1,\ldots,n$，把标准基向量 $e_k$ 代入假设，得到 $Ae_k=Be_k$。 其中 $Ae_k$ 是 $A$ 的第 $k$ 列，而 $Be_k$ 是 $B$ 的第 $k$ 列。因此两个 矩阵的第 $k$ 列对每个 $k$ 都相同。它们的所有列、因而所有元素都相同，故 $A=B$。

“对每个 $x$”是不可缺少的条件。两个不同矩阵可以在某一个向量上作用相同； 例如，两者都会把零向量送到零向量。上面的证明还给出更强的检验方法：无须 逐一检查所有向量，只要检查 $n$ 个标准基向量，就能逐列确定整个矩阵。

最先要记住的代数法则

当乘法有定义之后，下一步就要问：它和你已经熟悉的其他矩阵运算如何配合。

只要大小相容，矩阵乘法满足

$$A(B + C) = AB + AC, \qquad (A + B)C = AC + BC,$$

而纯量也可以移进移出：

$$(cA)B = c(AB) = A(cB).$$

零矩阵提供最直接的基本检验。若 $0$ 是大小相容的零矩阵，就有

$$A0 = 0, \qquad 0A = 0.$$

原因是：行乘列时只要其中一边全是零，所有输出元素都只能是零。

这些法则虽然基础，但后面谈逆矩阵、分块矩阵计算和更长乘积推理时都会默认使 用。如果不把它们明确掌握，后面的长计算会很难核对。

未知元素与因子的次序

含有未知元素的乘积把三个要点连在一起：相容的大小、决定每个输出元素的 行与列，以及因子的次序。先用这些结构信息建立关系，再求解所得的标量方程。

例题

由部分已知乘积反推出未知数

令

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 2 & 1 \end{bmatrix}, \qquad B = \begin{bmatrix} a & b \\ 1 & 1 \\ b & a \\ 1 & 2 \end{bmatrix}.$$

假设

$$AB = \begin{bmatrix} 1 & c \\ 3 & d \end{bmatrix}.$$

乘积有定义，因为 $A$ 是 $2 \times 4$，$B$ 是 $4 \times 2$，所以 $AB$ 必定是 $2 \times 2$。只计算需要比较的元素，可得

$$AB = \begin{bmatrix} a+b+5 & a+b+8 \\ a+2b+1 & 2a+b+2 \end{bmatrix}.$$

把第一列与已知矩阵比较，得到

$$a+b+5=1, \qquad a+2b+1=3.$$

因此

$$a+b=-4, \qquad a+2b=2.$$

第二条减第一条得到 $b=6$，再代入得到 $a=-10$。余下元素是

$$c=a+b+8=4, \qquad d=2a+b+2=-12.$$

这类题目的重点，不是把所有元素都盲目乘出来，而是抽出已知乘积元素所强制 的少数方程。

例题

展开乘积时不要假设矩阵可交换

令 $A$ 与 $B$ 是同大小方阵。则

$$(5A-B)(2A+3B) = 5A(2A+3B)-B(2A+3B).$$

继续分配右边因子：

$$5A(2A+3B)-B(2A+3B) =10A^2+15AB-2BA-3B^2.$$

中间两项是 $15AB$ 与 $-2BA$。除非已知 $AB=BA$，否则不能把它们合并成 $13AB$。

同一个警告也解释了常见错误：

$$(A+B)(A-B) =A^2-AB+BA-B^2.$$

只有在额外知道 $AB=BA$ 时，这才等于 $A^2-B^2$。实数代数会遮住这个问题， 因为实数乘法可交换；矩阵代数不会。

例题

零乘积不代表其中一个因子必定为零

令

$$A = \begin{bmatrix} 1 & -1 \end{bmatrix}, \qquad B = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}.$$

两个矩阵都不是零矩阵，但

$$AB = \begin{bmatrix} 1 \cdot 1 + (-1) \cdot 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \end{bmatrix}.$$

所以矩阵乘法与实数乘法不同：$AB = 0$ 并不推出 $A = 0$ 或 $B = 0$。

定理

单位矩阵是唯一的

如果 $E$ 是一个 $n \times n$ 矩阵，而且对每个相容的 $n \times n$ 矩阵 $A$ 都满足

$$EA = A \qquad \text{and} \qquad AE = A,$$

那么就一定有 $E = I_n$。

证明

为什么不可能存在第二个单位矩阵

取 $A = I_n$。由 $E$ 的性质得到 $EI_n = I_n$。但任何矩阵右乘 $I_n$ 都保 持不变，所以 $EI_n = E$。因此 $E = I_n$。

常见错误

常见错误

矩阵乘法不是逐项相乘

$(AB)_{ik}$ 不是 $a_{ik}b_{ik}$。它来自 $A$ 的第 $i$ 行与 $B$ 的第 $k$ 列。

常见错误

一个方向可乘，不代表反方向也可乘

若 $A$ 是 $2 \times 3$、$B$ 是 $3 \times 4$，则 $AB$ 有定义，但 $BA$ 没有。不要自动把顺序反过来。

常见错误

列的观点是看右边因子的列

如果 $B=[b_1\ b_2]$，则 $AB=[Ab_1\ Ab_2]$。乘积的各列是 $A$ 的列的线性 组合，而权重来自 $B$ 的对应列。不要写成 $AB=[a_1b_1\ a_2b_2]$；这并不 符合矩阵乘法的定义。

常见错误

二项式公式需要可交换假设

公式 $(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$ 对矩阵不是自动成立。真正展开是

$$(A+B)^2=A^2+AB+BA+B^2.$$

只有在 $AB=BA$ 时，才可以把中间两项合并。

总结

若 $A$ 的大小为 $m \times n$、$B$ 的大小为 $n \times p$，则 $AB$ 的大小 为 $m \times p$；内侧维数不相等时，乘积没有定义。每个元素由 $A$ 的一行 与 $B$ 的一列计算，而列公式 $AB=[Ab_1\ \cdots\ Ab_p]$ 则把同一运算理解为 多个矩阵乘向量的运算。因此，$Ax=b$ 正好能把一个线性方程组写成一个对象。

单位矩阵不会改变大小相容的矩阵。矩阵乘法满足结合律与分配律，但结合律只允许 改变括号，并不允许调换因子；一般而言，$AB\ne BA$。最后，等式 $Ae_k=\operatorname{col}_k(A)$ 表明矩阵对标准基的作用会逐列确定这个矩阵。 所以若对每个 $x\in\mathbb{R}^n$ 都有 $Ax=Bx$，则必有 $A=B$。

快速检查

思考检查

若 $A$ 是 $2 \times 3$、$B$ 是 $3 \times 5$，那么 $AB$ 的大小是什么？

先检查内侧大小，再读外侧大小。

解答 · 答案

$AB$ 有定义，而且大小是 $2 \times 5$。

思考检查

把一个大小相容的矩阵乘上 $I_n$，会发生什么？

用一句话回答。

解答 · 答案

矩阵保持不变。

思考检查

如果 $B$ 的列向量是 $b_1$ 和 $b_2$，怎样读 $AB$ 的各列？

请用列的观点回答。

解答 · 答案

$AB$ 的各列分别是 $Ab_1$ 和 $Ab_2$。

思考检查

展开 $(5A-B)(2A+3B)$ 时，$BA$ 的系数是多少？

请把 $AB$ 与 $BA$ 当作不同项处理。

解答 · 答案

$BA$ 的系数是 $-2$，因为该项来自 $-B(2A)$。

练习

思考检查

为什么 $Ax = b$ 可以同时代表多条方程？

请在答案中使用“行”这个字。

解答 · 答案

因为 $A$ 的每一行与列向量 $x$ 配对后都会产生一条方程，所以 $Ax$ 会把整个方程组一起打包。

思考检查

为什么 $Ax = 0$ 不论 $A$ 是什么，都至少有一个解？

把 $x$ 看成列向量来回答。

解答 · 引导解答

取零向量 $x = 0$。由于 $A0$ 的每个元素都是把 $0$ 的元素做线性组合，所 以全部都是 $0$。因此 $A0 = 0$，齐次系统永远至少有平凡解。

思考检查

为什么有时 $AB$ 有定义，但 $BA$ 却没有定义？

请用内侧大小条件作答。

解答 · 引导解答

$AB$ 有定义，要求 $A$ 的列数等于 $B$ 的行数；而 $BA$ 有定义，要求 $B$ 的列数等于 $A$ 的行数。这两个条件不同，所以一个方向可以做，反方向 未必可以做。

思考检查

令 $A$、$B$ 为上面含未知数例题中的矩阵。若 $AB$ 的第一列是 $[1,3]^T$，求 $a$ 和 $b$。

只使用第一列给出的方程。

解答 · 引导解答

$AB$ 的第一列给出

$$a+b+5=1, \qquad a+2b+1=3.$$

所以

$$a+b=-4, \qquad a+2b=2.$$

相减得 $b=6$，再代入 $a+b=-4$ 得 $a=-10$。

思考检查

如果 $A$ 的第一行是 $(4, -1, 2)$，而 $x = (x_1, x_2, x_3)^T$，那么 $Ax$ 的第一个元素是什么？

请直接用行乘列规则写出。

解答 · 引导解答

第一个元素是 $4x_1 - x_2 + 2x_3$。

相关笔记

本节建立在 2.1 矩阵基础 之上。 下一节可读 3.3 转置、对称矩阵与反对称矩阵， 或直接跳到 5.1 可逆矩阵。