2.3 高斯消元与最简行阶梯形

为什么要学消元

高斯消元把方程组改写成一系列主元方程，让我们能够读出它的解。每一阶段先选定 主元，清掉它下方的元素，再处理剩余的行与列。每一步都要保持解集不变，同时 让下一个变量更容易分离出来。

本节先说明目标形状，再走完一次计算：先区分 REF 与 RREF，然后用完整例子 观察每个主元如何建立，以及最后的矩阵如何描述全部解。

目标：主元形成阶梯

我们想得到的，不只是“比较简单的矩阵”，而是方便读出结构的矩 阵。

实际操作时，你会不断做下面几件事：

1. 选一个主元，
2. 把它下面的元素清掉，
3. 转到右下角更小的子矩阵，
4. 如果想得到最容易直接阅读的形式，再把主元上面的元素也清掉。

所以，消元其实是在一步一步建立一条主元阶梯。

定义

REF 与 RREF

矩阵属于 行阶梯形（REF），表示：

1. 全 0 行都放在最下面；
2. 每一个非零行的第一个非零元素，都比上一行的第一个非零元素更靠 右。

矩阵属于 最简行阶梯形（RREF），则还要再满足：

1. 每个主元都等于 $1$；
2. 每个主元所在的列，除了那个主元之外，其余位置全部都是 $0$。

每一个非零行最左边的第一个非零元素，叫做 主元。含有主元的列， 叫做 主元列。当增广系统一致时，没有主元的系数列才对应 自由变量；常数列不对应未知量。

这些词汇很重要，因为后面判断“唯一解 / 无限多解 / 无解”时，就是靠 它们。

定理

为什么行化简是安全的？

如果两个增广矩阵是行等价的，那么它们代表的是等价方程组，也就是 说，它们有相同的解集。

所以，行化简不是在改题目，而是在重新排列同一题的信息。

两个问题：合法的路径与有用的终点

概念视角算法

高斯消元是在行等价类中选择一条算法路径

行等价回答哪些改变合法，高斯消元回答怎样选择这些改变，使有限的计算抵达容易读懂的形式。两个问题并不相同。不断交换同一对行，每一步都保留解集，却不会完成求解。一个有效算法既需要保持不变的对象，也需要能够持续前进的指标。

这里的不变量是增广系统的解集。向下消元的进展则是主元逐行下移，并且严格向右移动。一旦某个主元下方已经清零，后续只对更低的行运算，就不会破坏那些零。局部化简能够逐步累积，而不是互相抵消，正是算法成立的关键。

更精确地说，先观察尚未处理的行，寻找其中最靠左且含非零元素的一列。必要时交换行，把可用元素移到未处理部分的第一行，作为主元，并清除它下方的元素。随后转到更低的行，只向右继续寻找。如果某一列在尚未处理的行中全为零，就跳过该列，不必尝试除以零，也不必硬造一个主元。

“最靠左”这一要求有证明上的作用：新的主元出现以前，所有尚未处理的行在更左位置都是零。对这些行取线性组合，仍然保持这个零前缀。因此，新行的首个非零元素不会跑到先前主元的左边。阶梯条件是算法逐步建立的不变量，而不是算完之后碰巧成立的外观。

如果尚未处理的行全部为零，向下消元立即结束。否则，每选一个主元都会占用新的一行和新的一列。行数与列数有限，所以步骤必然终止。这个论证说明阶梯形总能构造出来，而不依赖某个特别简单的数值例子；但它尚未证明阶梯形唯一。不同的合法选择仍可产生不同的主元数值和主元上方元素。

向上清除为何不会破坏已经完成的列

从 REF 开始，先把每个非零主元缩放为一，再从最后一个主元行向上处理。要清除某个主元上方的元素，就减去主元行的适当倍数。主元行在首个非零元素以前全为零，因此不会改变更早的主元列；它右侧已经清理完的主元列，在当前行中也都是零，所以同样不会被破坏。

这样，每完成一列，该列便只有主元位置的 $1$ 非零。逐步向上处理，最后所有主元列都满足这个条件，便得到 RREF。这个证明也说明，按确定次序清除通常比到处任意代换更容易检查。

仅要求 REF 时，不必把主元变成一：二或负三都可以作为首个非零元素。要求 RREF 时，主元必须为一，这是定义中的额外条件。一致的阶梯系统已经可以用回代求解；继续化成简化阶梯形，是为了直接展示所有主变量如何依赖参数。

算法的存在性和最终简化结果的唯一性是两个不同定理。消元过程证明至少能达到某个 RREF；唯一性定理说明，从同一矩阵出发，不同合法路径若都完成了 RREF，所得矩阵必定相同。因此，中间步骤不同并不表示出错，但两个不同的最终 RREF 不能同时正确。后面的专节会给出唯一性证明。

走一次完整的消元路径

消元法的核心做法，是由增广矩阵开始， 然后反复利用主元去清掉它下面的元素。现在我们沿着这个思路看一个 小例子：

$$\begin{aligned} x + 2y + 2z &= 4, \\ x + 3y + 3z &= 5, \\ 2x + 6y + 5z &= 6. \end{aligned}$$

它的增广矩阵是

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 & 4 \\ 1 & 3 & 3 & 5 \\ 2 & 6 & 5 & 6 \end{bmatrix}.$$

例题

把每个行变换都读成一个目的

左上角的 $1$ 已经是一个很方便的主元，所以第一个目标很清楚：

把这个主元下面的元素全部变成 $0$。

做

$$R_2 \leftarrow R_2 - R_1, \qquad R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1.$$

就得到

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & -2 \end{bmatrix}.$$

现在第 1 列已经完成。下一个主元在第 2 行第 2 列，所以用它清掉下面 的 $2$：

$$R_3 \leftarrow R_3 - 2R_2.$$

矩阵变成

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & -4 \end{bmatrix}.$$

到这一步，其实已经是 REF，可以用回代法解题。不过，如果你想得到最 方便直接阅读的形式，就继续做成 RREF。

先把最后一个主元改成 $1$：

$$R_3 \leftarrow -R_3 \quad\Rightarrow\quad \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \end{bmatrix}.$$

然后清掉这个主元上方的元素：

$$R_1 \leftarrow R_1 - 2R_3, \qquad R_2 \leftarrow R_2 - R_3,$$

得到

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & -4 \\ 0 & 1 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \end{bmatrix}.$$

最后，再把第二个主元上方的 $2$ 清掉：

$$R_1 \leftarrow R_1 - 2R_2,$$

就得到 RREF

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \end{bmatrix}.$$

这时解可以直接读出：

$$x = 2,\qquad y = -3,\qquad z = 4.$$

这个例子要你记住的，不是孤立的步骤，而是下面的节奏：

• 清主元下面的元素，建立 REF；
• 清主元上面的元素，建立 RREF；
• 到了 RREF，就可以直接读解。

看主元阶梯如何形成

下面的图解序列沿用同一个例子。你可以把它当成正式行变换与互动步骤器 之间的桥：每一格都先固定一个数学目的，然后才进入下一步计算。

把同一个消元例子看成一段短图解：选主元、清元素，最后从 RREF 读出已解方程组。

1. 由增广矩阵开始

   第一列在第 1 行已有方便的主元。眼前目标是把这个主元下方的元素全部变成 0。

2. 建立主元阶梯

   第一次清下方元素之后，下一个主元出现在第 2 行第 2 列。再清它下方的元素，就得到行阶梯形。

3. 标准化最后主元

   最后一个非零行的 leading entry 是 -1。把整行乘以 -1，主元变成 1，但解集不变。

4. 清主元上方

   只有当每个主元都是所在列唯一的非零元素时，才到达 RREF；因此后半段运算会向上清除。

5. 读出已解变量

   当左边变成单位矩阵，右边一列就可以直接读成 x = 2、y = -3、z = 4。

这个计算不是一堆互不相干的行变换，而是有控制地改变形状：先清主元下方得到 REF，再标准化主元并清主元上方得到 RREF。

用互动步骤器再走一次

下面的步骤器保留同一条消元路径，但刻意放慢节奏。每到一步，都请你 同时观察：

1. 正在处理哪一个主元；
2. 正在做哪一个行变换；
3. 做完之后，哪一部分变得更容易读。

在较大的方程组中追踪主元

在较大的方程组中，同一套主元策略需要贯穿多步计算。每一步开始前， 指出正在清除哪一列、使用哪个主元；完成后，再检查先前主元列的结构 是否保留。

考虑增广矩阵

$$C= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 1 & 1 & 2 & 5 & 1 \\ 5 & 10 & 3 & 2 & 4 & 11 & 8 \end{bmatrix}.$$

第一列已有可用主元。先清掉它下方的元素，得到

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 2 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 3 & -3 & 4 & 1 & 3 \end{bmatrix}.$$

现在第 2 行提供下一个主元。用它清掉下面相同方向的元素：

$$R_3\leftarrow R_3-R_2, \qquad R_4\leftarrow R_4-3R_2.$$

再把之后出现的重复行清掉后，一个清楚的阶梯阶段是

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}.$$

这里要暂停阅读结构：主元列是第 $1$、$3$、$5$ 列；自由列是第 $2$、$4$、$6$ 列。要到 RREF，只需清掉第 $5$ 列主元上方的元素：

$$R_2\leftarrow R_2-R_3.$$

最后的最简形是

$$C'= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & -1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}.$$

令

$$x_2=u,\qquad x_4=v,\qquad x_6=w.$$

三条主元方程读成

$$\begin{aligned} x_1+2x_2+x_4+2x_6 &= 1,\\ x_3-x_4-x_6 &= 5,\\ x_5+x_6 &= -3. \end{aligned}$$

所以所有解可以写成

$$x= \begin{bmatrix} 1\\0\\5\\0\\-3\\0 \end{bmatrix} +u \begin{bmatrix} -2\\1\\0\\0\\0\\0 \end{bmatrix} +v \begin{bmatrix} -1\\0\\1\\1\\0\\0 \end{bmatrix} +w \begin{bmatrix} -2\\0\\1\\0\\-1\\1 \end{bmatrix}.$$

这个例子说明，长消元的目的不只是制造 0，而是暴露主元与自由变量的 结构，然后由这个结构写出完整解集。

怎样读一个 RREF 矩阵

当矩阵已经在 RREF 时，最重要的阅读问题有三个：

• 每个变量列都有主元吗？
• 有没有自由变量？
• 有没有矛盾行？

例题

先读结构，再做计算

假设你最后得到

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 3 & 5 \\ 0 & 1 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}.$$

这里第 1、2 列是主元列，但第 3 列不是，所以第三个变量是自由变量。

因此，这个系统不是唯一解。它会有无限多解，因为你可以先自由选 第三个变量，再回头求出另外两个主元变量。

定理

矛盾行代表什么？

如果行化简后出现

$$\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix},$$

它对应的方程就是 $0 = 1$。这不可能成立，所以原方程组不相容，也就 是无解。

例题

矩阵几乎是 RREF 时

有时矩阵已经很接近 RREF，只差某个主元列还没有清干净。例如

$$\begin{bmatrix} 1 & 3 & 0 & 1 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$

还不是 RREF，因为第 $5$ 列的主元上方仍有一个 $2$。只要做

$$R_1\leftarrow R_1-2R_3$$

就得到

$$\begin{bmatrix} 1 & 3 & 0 & 1 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}.$$

现在各主元列已经清干净，所以矩阵在 RREF。自由变量是 $x_2$ 和 $x_4$；若令 $x_2=s$、$x_4=t$，则解为

$$x= \begin{bmatrix} -2\\0\\-1\\0\\3 \end{bmatrix} +s \begin{bmatrix} -3\\1\\0\\0\\0 \end{bmatrix} +t \begin{bmatrix} -1\\0\\-1\\1\\0 \end{bmatrix}.$$

跳过一列也是数学信息

例题

第一列为零，算法仍能正常结束

把最后一列看作常数列，考虑三个未知量的系统：

$$\left[\begin{array}{ccc|c}0&2&4&6\\0&0&3&3\end{array}\right].$$

第一列全零，因此主元从第二列开始。分别把两行的主元缩放成一，然后清除第二个主元上方的元素：

$$\left[\begin{array}{ccc|c}0&1&2&3\\0&0&1&1\end{array}\right] \xrightarrow{R_1\leftarrow R_1-2R_2} \left[\begin{array}{ccc|c}0&1&0&1\\0&0&1&1\end{array}\right].$$

结果给出 $x_2=1$、$x_3=1$，却没有限制 $x_1$。所以所有解为 $(t,1,1)$，其中 $t\in\mathbb R$。代回原来的两行，得到 $2+4=6$ 和 $3=3$，都与参数无关。跳过第一列并没有遗漏方程或丢失条件，因为这个变量从一开始就没有出现在任何方程中。

这个例子也说明主元不必在主对角线上。阶梯形由每行首个非零元素的位置决定，并不要求第一行一定从第一列开始。在较大的矩阵中，两个相邻主元之间也可以隔着多个非主元列。

处理增广矩阵时，变量列和常数列必须分清。最后一列出现主元，代表的是矛盾，而不是多了一个可求出的变量。因此要先检查一致性，之后才能把非主元系数列解释为可任意指定的解坐标。非主元列也不一定全零：其中的元素可以记录自由变量怎样影响多个主变量。

例如，前面结构例子中含有系数三和负二的列虽然不是零列，却仍然没有主元。相应变量可以自由选值，但主变量要随之调整。“自由”是说它可以作为独立选择，不是说它对其他方程没有影响。

不重算整题，也能分层检查

检查每个箭头时，先核对目标位置是否按计划改变，再核对整条受影响的行，特别是最后一列。随后检查所宣称的形式：REF 要满足阶梯条件并把全零行放在底部；RREF 还要有单位主元和干净的主元列。两类检查针对不同错误。算术完全正确也可能尚未达到 RREF；外观看起来正确的矩阵，也可能来自错误运算。

最后把参数表达式代回化简后的方程。既然每一步都可逆，同一表达式也满足原系统。把自由参数全设成零只能检查一个特殊解；完整检查要保留参数，并核对各参数的系数。否则，方向向量里的负号错误可能被一个恰好正确的特殊解掩盖。

常见错误

常见错误

REF 不等于 RREF

很多人只要看到主元下面全是 $0$ 就停手。那样可能已经足够做回代，但 还没有到 RREF。RREF 要求主元所在的列，其他位置也全部是 $0$。

常见错误

做操作时没有明确目标

不要因为“好像要减一下”就随便做行变换。每一步之前，先把目的说清 楚：

• 你现在用的是哪个主元？
• 你想消去哪一个元素？
• 为什么这一步是最自然的下一步？

这个习惯会让你的计算更稳定，也更容易检查符号错误。

快速检查

思考检查

什么情况下应该先换行，再继续消元？

想一想当前的主元位置。如果那个位置是 $0$，但同一列更下面有非零元 素，会怎样处理？

解答 · 答案

当当前的主元位置不能用，例如它是 $0$，但同一列下面有非零元素时， 就应该先换行，把可用的主元移上来，然后再继续消元。

思考检查

$\left[\begin{array}{ccc|c}0&0&0&1\end{array}\right]$ 是一行无害的数据吗？

先把它翻译回一条方程，再决定答案。

解答 · 答案

不是。它代表 $0 = 1$，是矛盾，所以方程组不相容，也就是无解。

思考检查

在上面的长消元例子中，为什么 $x_2$、$x_4$、$x_6$ 是自由变量？

看最后的 RREF $C'$。哪些变量列含有首 1？

解答 · 答案

首 1 位于第 $1$、$3$、$5$ 列。因此第 $2$、$4$、$6$ 列没有主元， 所以 $x_2$、$x_4$、$x_6$ 是自由变量。

练习

练习 1

由

$$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 5 & 8 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \end{bmatrix}$$

开始，如果你的目标是清掉第一个主元下面的元素，最自然的第一步行变 换是什么？

解答 · 练习 1 引导解答

第一个主元已经是第 1 行第 1 列的 $1$。它下面的元素是 $2$，所以最自 然的做法是

$$R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1.$$

这一步可以一次把第 1 列主元下方的元素清掉。

练习 2

考虑矩阵

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right].$$

它代表的系统有唯一解、无限多解，还是无解？

解答 · 练习 2 引导解答

这里没有矛盾行，所以不是无解。但第 3 列没有主元，因此存在自由变 量。只要有自由变量，解就不是唯一，而是无限多解。

练习 3

由

$$\begin{bmatrix} 1 & 3 & 0 & 1 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$

开始，哪一个单步行变换可以把它化成 RREF？

解答 · 练习 3 引导解答

第 $5$ 列的主元是第 3 行的 $1$。同一主元列中唯一还没有清掉的非零 元素，是第 1 行的 $2$，所以应该从第 1 行减去两倍第 3 行：

$$R_1\leftarrow R_1-2R_3.$$

练习 4

对于 RREF

$$\left[\begin{array}{cccccc|c} 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & -1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right],$$

令 $x_2=u$、$x_4=v$、$x_6=w$。把 $x_1$、$x_3$、$x_5$ 写成 $u$、 $v$、$w$ 的式子。

解答 · 练习 4 引导解答

读出三条非零行：

$$\begin{aligned} x_1+2u+v+2w &= 1,\\ x_3-v-w &= 5,\\ x_5+w &= -3. \end{aligned}$$

因此

$$x_1=1-2u-v-2w,\qquad x_3=5+v+w,\qquad x_5=-3-w.$$

先读这一页

这一页直接建立在 2.2 增广矩阵与行变换 之上。如果你对“为什么行变换不会改变解集”仍然觉得不稳，请先回去 重读那一页，再练这里的长消元路径。