1.1 方程与解集

线性方程组的求解目标，是找出同时满足全部方程的所有有序数组。 找到一个解只回答了存在性；完整求解还要说明有没有其他解，以及它们是什么。

这个解集可以只有一个点，可以完全没有，也可以是一整族无限多个点。 本节先把这种语言立清楚，因为后面的代入、消去、矩阵、行化简和零 空间，其实都只是在更有效率地描述同一个解集。

哪些方程是线性的？

先固定未知数的顺序 $x_1,\ldots,x_n$，并规定它们都取实数值。关于这些未知数的线性方程具有形式

$$a_1x_1+\cdots+a_nx_n=b,$$

其中系数 $a_1,\ldots,a_n$ 与右端常数 $b$ 都是固定实数。线性方程组就是使用同一列未知数的有限条这类方程。某个未知数在某条方程中的系数可以为零，但它在未知数列表中的位置仍须保留。系数是题目给定的数据，未知数才是我们要选择的数值。

例如，$3x-2y=7$ 关于 $x,y$ 是线性的；$xy=7$ 与 $x^2+y=7$ 则不是，因为前者含未知数的乘积，后者含未知数的平方。若 $a$ 是固定参数，$ax+y=1$ 关于 $x,y$ 仍是线性的；若把 $a$ 也列为未知数，乘积 $ax$ 就不再符合定义。因此，“线性”必须相对于指定的未知数来判断，不能只凭公式中出现哪些字母。

允许零系数对消元尤其重要。$0x+0y=0$ 对平面中的每个有序数对都成立，而 $0x+0y=1$ 对任何有序数对都不成立。两者都不是要求我们除以零，而是仍须解释的条件。这正是全零行与矛盾行具有完全不同意义的原因。

解集记录什么

定义

解集

解集是所有同时满足整个方程组的数字或向量组成的集合。

如果方程组有未知数 $x_1, x_2, \ldots, x_n$，一个解就是一个有序 $n$ 元组 $(s_1, s_2, \ldots, s_n)$，使得把每个 $x_i$ 都换成 $s_i$ 之后， 每条方程都变成真命题。

次序是重要的。$(2, 3)$ 和 $(3, 2)$ 是不同的有序数对。解也不是一 个集合，所以若真解是 $(2, 3)$，我们不会写成 $\{2,3\}$。

整个方程组可以理解为多个条件的交集：

• 第一条方程先筛出满足它的有序元组；
• 第二条方程再筛出满足它的有序元组；
• 解集就是全部条件的交集。

所以只要其中一条方程不成立，该有序元组就不是解。

概念视角结构

方程描述哪些有序元组可以被保留

先固定所在空间 $\mathbb R^n$。一条方程从中选出满足条件的元组，整个方程组则只保留同时通过每条方程的元组。因此，找到一个合适的元组只证明了解存在；真正解方程组，还须描述全部合适元组组成的集合。

增加一条方程，相当于让原解集再与一个条件取交集。结果可以不变，也可以缩小，却不可能产生新的解。例如，在 $x+y=4$ 后面增加 $2x+2y=8$，解集不变；增加 $x=1$，只剩下 $(1,3)$；增加 $x+y=5$，便没有任何元组留下。同样是多写一条方程，却有三种不同效果，所以不能单凭方程条数判断解的情况。

反过来，删去一条方程可能扩大解集。要保证删除后答案不变，就必须说明其余方程已经蕴含被删去的方程。“冗余”指的是这种逻辑关系，而不只是两条方程看起来相似。判断操作是否合理时，应追问每一个旧解与每一个新解能否互相对应。

一致与不一致

定义

一致与不一致方程组

一个线性方程组若至少有一个解，就叫一致。

若完全没有解，就叫不一致。

这个定义很短，但含义很大。

• 一致方程组可以只有一个解。
• 一致方程组也可以有无限多个解。
• 不一致方程组没有任何解，所以其解集是空集。

课程后面会证明，这就是全部可能。

定理

线性方程组只有三种可能的解集

对一个线性方程组而言，解集只可能是：

1. 单一元素集合，因此有唯一解；
2. 空集，因此是不一致方程组；
3. 无限集合，因此有无限多解。

这不是凭空假设。后面会用消去法和行化简去证明。现在先记住： 一旦出现自由变量，就有无限多个选择；一旦出现矛盾，就没有解。

只有一个解的例子

例题

一个只有唯一解的小例子

解

$$x + y = 4, \qquad x - y = 0.$$

第二条方程说 $x = y$。代入第一条：

$$y + y = 4.$$

因此 $2y = 4$，所以 $y = 2$，再得 $x = 2$。

解集是

$$\{(2, 2)\}.$$

这是最简单的一种一致方程组：只有一个有序数对可行。

完全没有解的例子

例题

矛盾会导致空解集

考虑

$$x + y = 1, \qquad x + y = 3.$$

如果某个 $(x, y)$ 同时满足两条方程，同一个左边就要等于两个不同的数。 把第一条从第二条减去，得到

$$0 = 2,$$

这是不可能的。

所以这个方程组不一致，解集是空集：

$$\varnothing.$$

不一致不等于“很多解”。不一致就是“没有解”。

常见错误

不一致不等于有多个解

有些同学看到“不一致”，会以为只是方程很多或者太难。其实定义很 直接：不一致就是不存在任何同时满足全部方程的有序元组。

无限多解的例子

例题

同一条直线可以写成不同方程

考虑

$$x + y = 4, \qquad 2x + 2y = 8.$$

第二条只是第一条乘 $2$，没有增加新条件。所有满足 $x + y = 4$ 的点都同时满足两条方程。

若令 $x = t$，便有 $y = 4 - t$，其中 $t \in R$。所以解集是

$$\{(t, 4 - t) \mid t \in R\}.$$

因为每个实数 $t$ 都会给出不同的有序数对，所以这里有无限多解。

这个现象在更多未知数的方程组中仍然成立。差别只在于参数会变得更 多，写法也更长。

例题

一个四变量方程组的完整解集

解

$$x_1 - 2x_2 - x_3 + x_4 = 1, \qquad x_2 + x_3 - x_4 = 2, \qquad x_3 + 2x_4 = 3.$$

先由第三条得

$$x_3 = 3 - 2x_4.$$

代入第二条：

$$x_2 + (3 - 2x_4) - x_4 = 2,$$

所以

$$x_2 = -1 + 3x_4.$$

再把两个式子代回第一条：

$$x_1 - 2(-1 + 3x_4) - (3 - 2x_4) + x_4 = 1.$$

化简得

$$x_1 = 2 + 3x_4.$$

令 $x_4 = t$，则所有解都写成

$$(x_1, x_2, x_3, x_4) = (2 + 3t, -1 + 3t, 3 - 2t, t),$$

因此解集是

$$\{(2 + 3t, -1 + 3t, 3 - 2t, t) \mid t \in R\}.$$

这种答案才是课程想要的完整描述：不是只给一个样本解，而是把全部 解都写出来。

参数形式必须双向核对

上面的四元计算说明：任何一个解都必须具有所写的形式。这是完整性方向：先取任意一个解，把它的第四坐标命名为 $t$，再由方程推出其余三个坐标。这样便证明，没有解会落在所列的解族之外。

但还须反向检查：对每个实数 $t$，所写的元组都应满足原来的全部方程。按原来的顺序代入，得到

$$\begin{aligned} (2+3t)-2(-1+3t)-(3-2t)+t&=1,\\ (-1+3t)+(3-2t)-t&=2,\\ (3-2t)+2t&=3. \end{aligned}$$

这些是对所有实数参数成立的恒等式，所以解族中的每个元组确实都是解。最后，不同的 $t$ 会产生不同的第四坐标。因此，这里有无限多个不同的解，而不只是同一个解有无限种写法。

这种双向核对适用于任何由计算得到的候选解集。代入检查保证没有多算不合要求的答案，完整性论证则保证没有漏解。只代入几个参数值，既不能证明所有参数都有效，也不能证明已经找齐答案。参数也可以改名而不改变解集：对 $x+y=4$，$(t,4-t)$ 与 $(4-s,s)$ 描述同一集合，因为令 $s=4-t$ 可把前者改成后者，反向代换也成立。解集相等并不要求参数字母或公式外观完全相同。

为什么要谈等价方程组

两个方程组若有完全相同的解集，就叫等价。

定义

等价方程组

两个线性方程组若且唯若有完全相同的解集，便互相等价。

这个定义比“看起来差不多”更严格，也比“方程条数一样”更严格。 等价与否只看解集。

常见错误

方程条数一样，不代表等价

两个方程组可以有相同条数但不同解集；也可以有不同条数但仍然等 价。等价的关键是解集，不是外观。

保持解集不变的基本方程操作有三种：

1. 交换两条方程；
2. 把某条方程乘上一个非零常数；
3. 用一条方程的倍数加到另一条方程上。

这些操作就是后面增广矩阵行运算的方程版。

定理

基本方程操作不会改变解集

若一个方程组可以经过有限次基本方程操作变成另一个方程组，则两者 等价。

证明

为什么三种基本方程操作都安全

每一步都可以逆转。行替换中的来源方程与目标方程必须不同，这样来源方程才会保留，供逆操作使用。

• 交换两条方程，只是把条件的次序改写。
• 将一条方程乘上一个非零常数，仍然是等价方程；逆操作是乘回它 的倒数。
• 把第 $i$ 条方程的 $\alpha$ 倍加到第 $j$ 条方程上，逆操作就是把 $\alpha$ 倍的第 $i$ 条方程从新的第 $j$ 条方程减回来。

既然每一步都能逆转，解集就不会改变。

这就是消去法可以合法使用的原因：我们不是改题目，而是把同一个题 目改写得更容易读。

二元情形的几何图像

当只有两个未知数时，只要 $a,b$ 不同时为零，方程 $ax+by=c$ 就表示平面上的一条直线。对两条这样的方程，解集就是两条直线的交集。

• 两条直线在一点相交，便有唯一解。
• 两条直线平行而不同，便不一致。
• 两条直线完全重合，便有无限多解。

零系数情形须另作解释：$0x+0y=0$ 选出整个平面，而右端非零的 $0x+0y=c$ 选出空集，两者都不表示直线。若有三条或更多方程，两两相交也不保证有共同解。例如 $x=0$、$y=0$、$x+y=1$ 两两相交，却没有一个点同时位于三条直线上。解的定义要求全部方程同时成立，不能把这个要求改成只检查任意两条。

这个几何图像很有用，因为它把三种可能看得很自然，不像是硬记。

用直线交集例子，把解集看成条件交集，再把可逆方程改写接到增广矩阵探索器。

1. 条件交集

   方程组是一叠同时成立的条件。有序元组只有通过每条方程，才属于解集。

2. 一个点

   在 x+y=5 与 2x-3y=-5 中，两条线交于 (2,3)，所以解集是单一元素集合 {(2,3)}。

3. 没有交点

   平行而不同的直线交集为空。在二元图像中，这表示方程组不相容。

4. 整条线

   重合直线产生无限多解。参数记录的是整个解族，而不是某一个样本点。

5. 等价改写

   三种基本方程操作是安全的，因为每一种都有逆操作。它们改写方程组，但保留解集。

6. 矩阵桥接

   增广矩阵只是把同一批条件压缩记录：每一行仍然是一条方程。

眼前方程可以改写，但我们真正保护的是完整解集：所有同时满足每条方程的有序元组。

为什么本节先讲解集

后面的矩阵语言不是要取代这一节，而是要把这一节正式化。

当我们引入系数矩阵和增广矩阵后，同一个方程组可以用更精简的方式 记录。当我们引入行运算后，就可以把一个方程组变成另一个等价方程 组。当我们到达阶梯形或简化阶梯形时，解集就更容易直接读出。

所以，若解集是主角，后面所有方法都只是不同的观察角度。

如果你已经熟悉如何把小型方程组理解为一组条件，可以先试试下面这 个互动预览。

常见错误与细微处

常见错误

解是有序元组，不是数字袋

$(2, 3)$ 是二元方程组的一个解，但 $\{2,3\}$ 不是同一回事。次序有 意义，因为第一个数对应 $x_1$，第二个数对应 $x_2$。

常见错误

出现矛盾行，表示没有解

若消去后出现 $0 = 1$ 之类的式子，方程组就是不一致。这不是仍然 可以“继续算下去”的有效方程。

常见错误

自由变量也是答案的一部分

当解集用参数表示时，参数不是缺失答案，而是描述整个解族的正确方 法。

快速检查

思考检查

哪一个有序数对同时满足 $x + y = 4$ 和 $x - y = 0$？

把候选答案代入两条方程。

解答 · 答案

$(2, 2)$。

思考检查

方程组 $x + y = 1$、$x + y = 3$ 是否一致？

请直接用一致性的定义。

解答 · 答案

不一致，因为两条方程互相矛盾。

思考检查

若两个方程组有完全相同的解集，我们称它们什么？

这是课程中的定义。

解答 · 答案

等价方程组。

思考检查

为什么交换两条方程不会改变解集？

想一想“解”的定义。

解答 · 引导解答

解必须同时满足每一条方程。方程出现的次序不影响哪一个有序元组 会同时满足全部条件，所以交换次序不会改变解集。

练习

思考检查

把 $x_1 - 5x_4 = 1$、$x_2 + x_4 = 2$、$x_3 + 3x_4 = 3$ 写成参数式解集。

只用一个自由参数。

解答 · 引导解答

令 $x_4 = t$。则

$$x_1 = 1 + 5t, \qquad x_2 = 2 - t, \qquad x_3 = 3 - 3t.$$

所以解集是

$$\{(1 + 5t, 2 - t, 3 - 3t, t) \mid t \in R\}.$$

思考检查

找出 $c$，使 $x + 2y - 5z = 6$、$2x + 3y - 2z = 7$、$x + cy + z = 0$ 没有解。

可以先消去 $x$。

解答 · 引导解答

先用第二条减去第一条的 $2$ 倍：

$$-y + 8z = -5.$$

再用第三条减去第一条：

$$(c - 2)y + 6z = -6.$$

要没有解，这两条新方程必须平行但不同，所以它们的系数列要成倍 数关系。解

$$\frac{c - 2}{-1} = \frac{6}{8},$$

得

$$c = \frac{5}{4}.$$

当 $c = 5/4$ 时，两条方程平行但不重合，所以方程组没有解。

核对特殊值，并排除遗漏的情况

上面的系数比较只找出一个候选特殊值；完整论证还应检查它确实是唯一的特殊值。由 $-y+8z=-5$ 得 $y=5+8z$，代入剩余方程可得

$$(8c-10)z=4-5c.$$

当 $c=5/4$ 时，式子变成 $0=-9/4$，矛盾十分明确。对其他所有 $c$，系数 $8c-10$ 非零，故唯一确定 $z$；随后唯一确定 $y$，原来的第一条方程再确定 $x=6-2y+5z$。每一步代换都可逆，所以这个三元组确实满足原方程组。这就同时核实了特殊值，并证明没有遗漏其他情形。

这个例子也区分了题目参数与自由变量。这里 $c$ 是给定方程组的一部分，改变它就是改变问题。固定一个非特殊的 $c$ 后，$x,y,z$ 都没有自由选择。前面四元例子的 $t$ 则是在同一个固定方程组的解中变化。引入分类讨论之前，应先判断字母表示不同题目，还是同一题目的不同解。

先看这里

本节是后面矩阵法的起点。接下来最有用的页面是：

• 2.2 增广矩阵与行运算
• 2.3 高斯消去与简化阶梯形
• 4.1 齐次方程组与零空间