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把线性方程组看成一组同时成立的条件，清楚分类其解集，并理解为什么方程操作不会改变解集。
线性方程组的求解目标，是找出同时满足全部方程的所有有序数组。找到一个解只回答了存在性；完整求解还要说明有没有其他解，以及它们是什么。
可以只有一个点，可以是空集，也可以包含无限多个点。完整求解要求确定哪些有序数组属于这个集合。
先固定未知数的顺序 ，并规定它们都取实数值。关于这些未知数的线性方程具有形式
其中系数 与右端常数 都是固定实数。线性方程组就是使用同一列未知数的有限条这类方程。某个未知数在某条方程中的系数可以为零，但它在未知数列表中的位置仍须保留。系数是题目给定的数据，未知数才是我们要选择的数值。
例如， 关于 是线性的； 与 则不是，因为前者含未知数的乘积，后者含未知数的平方。若 是固定参数， 关于 仍是线性的；若把 也列为未知数，乘积 就不再符合定义。因此，“线性”必须相对于指定的未知数来判断，不能只凭公式中出现哪些字母。
允许零系数对消元尤其重要。 对平面中的每个有序数对都成立，而 对任何有序数对都不成立。两者都不是要求我们除以零，而是仍须解释的条件。这正是全零行与矛盾行具有完全不同意义的原因。
（解集）
是所有同时满足整个方程组的数字或向量组成的集合。
如果方程组有未知数 ，一个解就是一个有序 元组 ，使得把每个 都换成 之后，每条方程都变成真命题。
次序是重要的。 和 是不同的有序数对。解也不是一个集合，所以若真解是 ，我们不会写成 。
整个方程组可以理解为多个条件的交集：
所以只要其中一条方程不成立，该有序元组就不是解。
概念视角结构
先固定所在空间 。一条方程从中选出满足条件的元组，整个方程组则只保留同时通过每条方程的元组。因此，找到一个合适的元组只证明了解存在；真正解方程组，还须描述全部合适元组组成的集合。
增加一条方程，相当于让原解集再与一个条件取交集。结果可以不变，也可以缩小，却不可能产生新的解。例如，在 后面增加 ，解集不变；增加 ，只剩下 ；增加 ，便没有任何元组留下。同样是多写一条方程，却有三种不同效果，所以不能单凭方程条数判断解的情况。
反过来，删去一条方程可能扩大解集。要保证删除后答案不变，就必须说明其余方程已经蕴含被删去的方程。“冗余”指的是这种逻辑关系，而不只是两条方程看起来相似。判断操作是否合理时，应追问每一个旧解与每一个新解能否互相对应。
（一致与不一致方程组）
一个线性方程组若至少有一个解，就叫一致。
若完全没有解，就叫不一致。
后面的行化简论证会证明，这就是全部可能。
（线性方程组只有三种可能的解集）
对一个线性方程组而言，解集只可能是：
行化简将给出这个分类的证明。一致方程组中若有自由变量，就有无限多个选择；若出现矛盾，则没有解。
（一个只有唯一解的小例子）
解
第二条方程说 。代入第一条：
因此 ，所以 ，再得 。
是
这是最简单的一种一致方程组：只有一个有序数对可行。
（矛盾会导致空解集）
考虑
如果某个 同时满足两条方程，同一个左边就要等于两个不同的数。把第一条从第二条减去，得到
这是不可能的。
所以这个方程组不一致，是空集：
不一致不等于“很多解”。不一致就是“没有解”。
常见错误
（不一致不等于有多个解）
有些同学看到“不一致”，会以为只是方程很多或者太难。其实定义很直接：不一致就是不存在任何同时满足全部方程的有序元组。
（同一条直线可以写成不同方程）
考虑
第二条只是第一条乘 ，没有增加新条件。所有满足 的点都同时满足两条方程。
若令 ，便有 ，其中 。所以是
因为每个实数 都会给出不同的有序数对，所以这里有无限多解。
这个现象在更多未知数的方程组中仍然成立。差别只在于参数会变得更多，写法也更长。
（一个四变量方程组的完整解集）
解
先由第三条得
代入第二条：
所以
再把两个式子代回第一条：
化简得
令 ，则所有解都写成
因此解集是
每个实数 都指定一个解；要证明这一族就是完整解集，还须核对每个解都具有所写的形式。
上面的四元计算说明：任何一个解都必须具有所写的形式。这是完整性方向：先取任意一个解，把它的第四坐标命名为 ，再由方程推出其余三个坐标。这样便证明，没有解会落在所列的解族之外。
但还须反向检查：对每个实数 ，所写的元组都应满足原来的全部方程。按原来的顺序代入，得到
这些是对所有实数参数成立的恒等式，所以解族中的每个元组确实都是解。最后，不同的 会产生不同的第四坐标。因此，这里有无限多个不同的解，而不只是同一个解有无限种写法。
这种双向核对适用于任何由计算得到的候选解集。代入检查保证没有多算不合要求的答案，完整性论证则保证没有漏解。只代入几个参数值，既不能证明所有参数都有效，也不能证明已经找齐答案。参数也可以改名而不改变解集：对 ， 与 描述同一集合，因为令 可把前者改成后者，反向代换也成立。解集相等并不要求参数字母或公式外观完全相同。
（等价方程组）
两个线性方程组若且唯若有完全相同的，便互相等价。
常见错误
（方程条数一样，不代表等价）
两个方程组可以有相同条数但不同解集；也可以有不同条数但仍然等价。等价的关键是解集，不是外观。
保持解集不变的基本方程操作有三种：
这些操作就是后面增广矩阵行运算的方程版。
（基本方程操作不会改变解集）
若一个方程组可以经过有限次基本方程操作变成另一个方程组，则两者等价。
证明
（为什么三种基本方程操作都安全）
每一步都可以逆转。行替换中的来源方程与目标方程必须不同，这样来源方程才会保留，供逆操作使用。
既然每一步都能逆转，解集就不会改变。
这就是消去法可以合法使用的原因：我们不是改题目，而是把同一个题目改写得更容易读。
当只有两个未知数时，只要 不同时为零，方程 就表示平面上的一条直线。对两条这样的方程，就是两条直线的交集。
零系数情形须另作解释： 选出整个平面，而右端非零的 选出空集，两者都不表示直线。若有三条或更多方程，两两相交也不保证有共同解。例如 、、 两两相交，却没有一个点同时位于三条直线上。解的定义要求全部方程同时成立，不能把这个要求改成只检查任意两条。
二元线性方程组的三种几何可能
选择一种情况，对照两条直线与它们的共同解集。
当前：唯一解
交点
无解
平行而不同的直线
无限多解
同一条直线
成立: 两条直线有共同解
两条相交而不同的直线恰有一个共同点；若有两个不同的共同点，两条直线就会重合。
要留意图形只示意位置，没有指定方程或数学坐标。这里每条方程都代表真正的直线；0 = 0 或 0 = 1 等退化方程须另作判断。
这个几何图像很有用，因为它把三种可能看得很自然，不像是硬记。
用直线交集例子，把解集看成条件交集，再把可逆方程改写接到增广矩阵探索器。
条件交集
方程组是一叠同时成立的条件。有序元组只有通过每条方程，才属于解集。
一个点
在 x+y=5 与 2x-3y=-5 中，两条线交于 (2,3)，所以解集是单一元素集合 {(2,3)}。
没有交点
平行而不同的直线交集为空。在二元图像中，这表示方程组不相容。
整条线
重合直线产生无限多解。参数记录的是整个解族，而不是某一个样本点。
等价改写
三种基本方程操作是安全的，因为每一种都有逆操作。它们改写方程组，但保留解集。
矩阵桥接
增广矩阵只是把同一批条件压缩记录：每一行仍然是一条方程。
眼前方程可以改写，但我们真正保护的是完整解集：所有同时满足每条方程的有序元组。
进行方程操作时，改变的是系数与常数，未知数的顺序始终固定。矩阵把这些数放在固定位置，就能简洁地记录同一个方程组。下面的演示把方程与相应的矩阵行并列呈现；三种方程操作因此成为行运算，目的仍是保持完整不变，并使它更容易描述。
把一个方程组翻成矩阵
选一条方程、一行或一列。一条方程是一行，一个未知数的系数是一列。
| 1 | 2 | 5 |
| 3 | −1 | 4 |
实线框：行虚线框：列竖线右边：常数
要留意竖线右边的常数不属于任何未知数；系数矩阵只有竖线左边的部分。
常见错误
（解是有序元组，不是数字袋）
是二元方程组的一个解，但 不是同一回事。次序有意义，因为第一个数对应 ，第二个数对应 。
常见错误
（出现矛盾行，表示没有解）
若消去后出现 之类的式子，方程组就是不一致。这不是仍然可以“继续算下去”的有效方程。
常见错误
（自由变量也是答案的一部分）
当用参数表示时，参数不是缺失答案，而是描述整个解族的正确方法。
（哪一个有序数对同时满足 和 ？）
把候选答案代入两条方程。
。
（方程组 、 是否一致？）
请直接用一致性的定义。
不一致，因为两条方程互相矛盾。
（若两个方程组有完全相同的，我们称它们什么？）
这是课程中的定义。
等价方程组。
（为什么交换两条方程不会改变解集？）
想一想“解”的定义。
解必须同时满足每一条方程。方程出现的次序不影响哪一个有序元组会同时满足全部条件，所以交换次序不会改变解集。
（把 、、 写成参数式。）
只用一个自由参数。
令 。则
所以解集是
（找出 ，使 、、 没有解。）
可以先消去 。
先用第二条减去第一条的 倍：
再用第三条减去第一条：
要没有解，这两条新方程必须平行但不同，所以它们的系数对要成倍数关系。解
得
当 时，两条方程平行但不重合，所以方程组没有解。
上面的系数比较只找出一个候选特殊值；完整论证还应检查它确实是唯一的特殊值。由 得 ，代入剩余方程可得
当 时，式子变成 ，矛盾十分明确。对其他所有 ，系数 非零，故唯一确定 ；随后唯一确定 ，原来的第一条方程再确定 。每一步代换都可逆，所以这个三元组确实满足原方程组。这就同时核实了特殊值，并证明没有遗漏其他情形。
这个例子也区分了题目参数与自由变量。这里 是给定方程组的一部分，改变它就是改变问题。固定一个非特殊的 后， 都没有自由选择。前面四元例子的 则是在同一个固定方程组的解中变化。引入分类讨论之前，应先判断字母表示不同题目，还是同一题目的不同解。
本节是后面矩阵法的起点。接下来最有用的页面是：
先自行作答，再检查答案。你可以修改后重试。
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