3.5 初等行变换矩阵

把行变换记录成一个矩阵

初等行变换最初是矩阵上的操作步骤：交换两行、把一行乘以非零标量、把一行的 倍数加到另一行。在增广矩阵上，只有把操作施加到受影响的整行——包括增广 线右边的常数项——才是在等价地改写方程。此时操作可以逆转，因而保留原方程组 的解集。

但同一件事还有一个更有结构的读法：每一个初等行变换，都等同于左乘某个特别 的方阵。这个观点很重要，因为它把一串初等行变换转成普通的矩阵等式。之后讨论 行化简、可逆性、秩、行列式和基底时，这正是程序性操作和代数结构之间的桥。

这个结构观点也回答一个实际问题：若同一个行变换要同时作用于许多列，怎样只 记录一次规则，而不逐项重做？单位矩阵恰好提供这种编码。它的每一行会记录新行 由哪些旧行组成；随后，矩阵乘法便把这套规则同时施加到相容矩阵的每一列。

从单位矩阵建立初等矩阵

假设一个初等行变换 $\rho$ 作用于有 $p$ 行的矩阵。先从单位矩阵 $I_p$ 开始，对 $I_p$ 做同一个初等行变换，所得矩阵记作 $E_\rho$。 所有标量都属于矩阵所采用的底域；特别地，每个非零倍数 $c$ 在该域中都有倒数 $1/c$。

定义

初等行变换矩阵

与 $p$ 行矩阵上的初等行变换 $\rho$ 对应的初等行变换矩阵，就是把 $\rho$ 作用在 $I_p$ 上所得的 $p \times p$ 矩阵。

这种矩阵也简称初等矩阵；较长的名称可以明确指出它与指定行变换的关系。

换句话说，

$$E_\rho = \rho(I_p).$$

这个定义有用，是因为以下定理。

定理

初等行变换等同于左乘矩阵

设 $A$ 是任何有 $p$ 行的矩阵，$\rho$ 是一个初等行变换，并以 $\rho(A)$ 表示把它作用于 $A$ 后得到的矩阵。则

$$\rho(A) = E_\rho A.$$

所以，对 $A$ 做这个初等行变换，等同于用同一个操作在 $I_p$ 上得到的 初等行变换矩阵左乘 $A$。

这里必须是左乘。初等行变换改变的是行，会把新行写成旧行的线性组合；左乘正是把 $A$ 的新行写成旧行的线性组合。右乘则会混合列，不是同一件事。

维数也说明了同一点。若 $A$ 是 $p \times n$ 矩阵，则 $E_\rho$ 是 $p \times p$ 矩阵，所以 $E_\rho A$ 有定义，而且仍是 $p \times n$。 这里完全不要求 $A$ 是方阵。相反，右乘矩阵必须是 $n \times n$，它会作用于 $n$ 个列。

为什么左乘会执行指定行变换

证明

对三类初等行变换逐行验证

把任意 $p \times n$ 矩阵 $A$ 的各行记作 $a_1,a_2,\ldots,a_p$，并以 $e_k^{\mathsf T}$ 表示 $I_p$ 的第 $k$ 行。 基本等式

$$e_k^{\mathsf T}A=a_k$$

表示左乘矩阵的一行会选取 $A$ 的相应行。现在逐类检查。

1. 对 $R_i\leftrightarrow R_j$，$E_\rho$ 的第 $i$ 行是 $e_j^{\mathsf T}$，第 $j$ 行是 $e_i^{\mathsf T}$，其余第 $k$ 行仍是 $e_k^{\mathsf T}$。因此 $E_\rho A$ 恰好交换 $A$ 的第 $i,j$ 行。

2. 对 $R_i\leftarrow cR_i$（$c\ne0$），$E_\rho$ 的第 $i$ 行是 $c e_i^{\mathsf T}$，其余行不变。因此乘积的第 $i$ 行为

   $$(c e_i^{\mathsf T})A=c a_i,$$

   而每个 $k\ne i$ 的第 $k$ 行仍为 $a_k$。

3. 对 $R_j\leftarrow R_j+cR_i$（$i\ne j$），$E_\rho$ 的第 $j$ 行是 $e_j^{\mathsf T}+c e_i^{\mathsf T}$，其余行不变，所以新的第 $j$ 行为

   $$(e_j^{\mathsf T}+c e_i^{\mathsf T})A=a_j+c a_i,$$

   正是指定的行加法。

三类情形穷尽了初等行变换，因此对每个相容矩阵 $A$ 都有 $E_\rho A=\rho(A)$。这个证明没有声称任意改动行的方式都对应一个初等矩阵； $\rho$ 必须是刚才检查的三类操作之一。

作用于增广矩阵

假设 $Ax=b$ 由增广矩阵 $[A\mid b]$ 表示。初等行变换必须作用于整个增广 矩阵，不能只改其中一边。相应的乘法等式是

$$E_\rho[A\mid b]=[E_\rho A\mid E_\rho b].$$

因此，系数和右端常数会接受完全相同的行组合。向量 $x$ 满足 $Ax=b$，当且仅当 它满足 $E_\rho Ax=E_\rho b$：正向可把原等式左乘 $E_\rho$，反向则施加逆向 初等行变换。这才是解集保持不变的严格理由。

若只改 $A$ 而固定 $b$，或只改 $b$，一般会得到另一个方程组。增广线只是视觉 上的分隔，不是行变换可以中途停止的边界。

分别记录替换、缩放与交换

三种初等行变换，对应三类初等行变换矩阵。

例题

行加法

对有三行的矩阵，考虑

$$\rho:\quad R_2 \leftarrow R_2 + 3R_1.$$

把它作用在 $I_3$ 上：

$$I_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \quad\longmapsto\quad E_\rho = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 3 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.$$

因此，对任何有三行的矩阵 $A$，

$$E_\rho A$$

就是把 $A$ 的第 $2$ 行改成“第 $2$ 行加上 $3$ 倍第 $1$ 行”后所得的矩阵。

例题

行倍乘

对

$$\rho:\quad R_3 \leftarrow -2R_3,$$

对应的初等行变换矩阵是

$$E_\rho = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & -2 \end{bmatrix}.$$

行倍乘要求标量非零，这一点在矩阵上也看得出来：如果倍数是 $0$，所得矩阵会 出现零行，不能反向恢复。

例题

交换两行

对

$$\rho:\quad R_1 \leftrightarrow R_3,$$

我们得到

$$E_\rho = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}.$$

左乘这个矩阵，就会交换任何相容矩阵的第 $1$ 行和第 $3$ 行。

逐步理解初等矩阵的左乘

上面三个例子其实都遵循同一条规则：先把初等行变换作用在单位矩阵上，再把所得 矩阵当成左乘矩阵使用。下面的图解先整理这条规则，然后本页才进入多个初等行变换 矩阵的乘积。

看清初等行变换如何变成左乘矩阵：先把操作作用在单位矩阵上，再用所得矩阵改变任何相容矩阵的行。

1. 由 I 开始

   对 ρ: R₂ ← R₂ + 3R₁，先把操作作用在 I₃ 上。

2. 建立 Eρ

   只有 I₃ 的第 2 行改变，得到第 2 行为 [3,1,0] 的 Eρ。

3. 放在左边相乘

   同一个矩阵会对 A 执行该操作：ρ(A)=Eρ A。

4. 读新行

   新的第 2 行等于旧第 2 行加三份旧第 1 行。

5. 保留乘积顺序

   在 A₃=E₂E₁A₁ 中，E₁ 最靠近 A₁，因为 ρ₁ 最先作用。

6. 反向得到逆矩阵

   R₂ ← R₂ + 3R₁ 的反向操作是 R₂ ← R₂ − 3R₁，所以相应矩阵相乘得到 I。

行变换矩阵是把行变换先作用在单位矩阵上得到的。之后用它左乘任何相容矩阵，就会执行同一个行变换；反向行变换则给出逆矩阵。

比较行变换与矩阵乘积

用下面的步骤工具重温一串行变换。每一步都要同时读成： 在左侧乘上对应的初等矩阵。

一串初等行变换就是一个矩阵乘积

真正的用途不只是表示一个初等步骤，而是把整串初等行变换写成一个矩阵乘积。

定理

一串初等行变换的乘积表示

假设

$$A_1 \xrightarrow{\rho_1} A_2 \xrightarrow{\rho_2} A_3 \xrightarrow{\rho_3} \cdots \xrightarrow{\rho_k} A_{k+1}.$$

则

$$A_{k+1} = E_{\rho_k}E_{\rho_{k-1}}\cdots E_{\rho_2}E_{\rho_1}A_1.$$

这里每个 $\rho_j$ 都必须是作用于同样行数矩阵的初等行变换。这个乘积表示整串 操作，但乘积本身未必仍是单一个初等行变换矩阵。

这个公式中的顺序很重要。第一个行变换最靠近 $A_1$，因为它最先作用：

$$A_2 = E_{\rho_1}A_1, \qquad A_3 = E_{\rho_2}A_2 = E_{\rho_2}E_{\rho_1}A_1.$$

例题

合并两个行变换

令

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1\\ 0 & 2 & 1\\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}.$$

依次做

$$\rho_1:\ R_2 \leftarrow R_2 + R_1, \qquad \rho_2:\ R_1 \leftarrow R_1 + 2R_2.$$

对应的行变换矩阵是

$$E_{\rho_1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}, \qquad E_{\rho_2} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.$$

两个操作完成后，结果就是

$$E_{\rho_2}E_{\rho_1}A = \begin{bmatrix} 3&2&0\\ 1&1&0\\ 0&0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&0&1\\ 0&2&1\\ 1&0&0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3&4&5\\ 1&2&2\\ 1&0&0 \end{bmatrix}.$$

若不想直接相乘 $E_{\rho_2}E_{\rho_1}$，也可以把同一串行变换按同一顺序作用在 $I_3$ 上，所得矩阵就是合并后的左乘矩阵。最后的数值结果也确认：第二步使用的 是已经更新后的第 $2$ 行。

读懂较长的行变换乘积

把一长串初等行变换写成矩阵乘积时，需要先分清三种对象：

• 正在被变换的矩阵 $A_1,A_2,\ldots,A_{k+1}$；
• 每一步对应的初等行变换矩阵 $H_1,H_2,\ldots,H_k$；
• 合并后的单一左乘矩阵 $J=H_k\cdots H_2H_1$。

以下是一个四行矩阵的典型例子。假设

$$\begin{aligned} \rho_1 &: R_2 \leftarrow -\frac12 R_2,\\ \rho_2 &: R_1 \leftrightarrow R_2,\\ \rho_3 &: R_3 \leftarrow R_3-2R_1,\\ \rho_4 &: R_4 \leftarrow R_4-2R_3,\\ \rho_5 &: R_1 \leftarrow R_1-R_3,\\ \rho_6 &: R_1 \leftarrow R_1-R_2. \end{aligned}$$

如果

$$A_1 \xrightarrow{\rho_1} A_2 \xrightarrow{\rho_2} A_3 \xrightarrow{\rho_3} A_4 \xrightarrow{\rho_4} A_5 \xrightarrow{\rho_5} A_6 \xrightarrow{\rho_6} A_7,$$

那么

$$A_7 = H_6H_5H_4H_3H_2H_1A_1.$$

相应的行变换矩阵是

$$\begin{aligned} H_1&= \begin{bmatrix} 1&0&0&0\\ 0&-\frac12&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix}, & H_2&= \begin{bmatrix} 0&1&0&0\\ 1&0&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix},\\[0.8em] H_3&= \begin{bmatrix} 1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ -2&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix}, & H_4&= \begin{bmatrix} 1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&-2&1 \end{bmatrix},\\[0.8em] H_5&= \begin{bmatrix} 1&0&-1&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix}, & H_6&= \begin{bmatrix} 1&-1&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix}. \end{aligned}$$

它们的乘积是

$$J=H_6H_5H_4H_3H_2H_1= \begin{bmatrix} -1&-\frac32&-1&0\\ 1&0&0&0\\ 0&1&1&0\\ 0&-2&-2&1 \end{bmatrix}.$$

有效率的做法，是把六个行变换依次作用在 $I_4$ 上，而不是手动展开六个因子。 矩阵 $J$ 记录了整串步骤对行的总作用：

$$A_7=JA_1.$$

这个等式也可用来检查乘积顺序。如果把第一步放在最左边，所得乘积会描述另一 串不同的操作。

思考检查

在上面六步行变换中，若 $K$ 是由 $A_7$ 反向回到 $A_1$ 的行变换矩阵乘积，$J$ 和 $K$ 应满足什么等式？

把 $K$ 想成抵消 $J$ 总作用的矩阵。

解答 · 答案

矩阵 $J$ 和 $K$ 编码的是每一个四行矩阵上的变换，不只是题中展示的 $A_1$。对任意四行矩阵 $X$，先做正向步骤，再做反向步骤，会得到

$$K(JX)=X.$$

取 $X=I_4$，便有 $KJ=I_4$。反过来，先做反向步骤，再做正向步骤，也会恢复 任意四行矩阵 $Y$，所以 $J(KY)=Y$；取 $Y=I_4$，便有 $JK=I_4$。因此

$$KJ=I_4 \qquad JK=I_4.$$

换句话说，$K=J^{-1}$。

反向行变换与逆矩阵

每个初等行变换都有反向操作：

• $R_j \leftarrow R_j + cR_i$ 的反向操作是 $R_j \leftarrow R_j - cR_i$；
• $R_i \leftarrow cR_i$（其中 $c \ne 0$）的反向操作是 $R_i \leftarrow (1/c)R_i$；
• 交换两行的反向操作仍然是同一次交换。

这给出一个精确的矩阵表述。

定理

初等行变换矩阵都是可逆矩阵

每个初等行变换矩阵都是可逆的。它的逆矩阵，就是反向初等行变换所对应的 初等行变换矩阵。

证明

为什么反向矩阵是双侧逆矩阵

设 $E_\rho$ 表示初等行变换 $\rho$，而 $E_{\rho^{-1}}$ 表示它的反向初等 操作。对每个有 $p$ 行的矩阵 $X$，先做 $\rho$ 再撤销，都会恢复 $X$。由左乘 定理，

$$E_{\rho^{-1}}E_\rho X=X.$$

这个等式对每个这样的 $X$ 都成立；特别取 $X=I_p$，得到 $E_{\rho^{-1}}E_\rho=I_p$。先做反向操作再做 $\rho$，同理得到 $E_\rho E_{\rho^{-1}}=I_p$。因此

$$E_\rho^{-1}=E_{\rho^{-1}}.$$

具体来说，交换两行的逆仍是同一次交换；乘以 $c\ne0$ 的逆是乘以 $1/c$； 把第 $i$ 行的 $c$ 倍加到第 $j$ 行，则由加上 $-c$ 倍第 $i$ 行来撤销。

例如，若

$$E = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 3 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

表示 $R_2 \leftarrow R_2 + 3R_1$，则

$$E^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ -3 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

表示 $R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1$。

这就是初等行变换可逆的代数原因，也解释了为什么行化简和可逆矩阵有密切关系。

证明

先撤销最后一步操作

设 $E_1,\ldots,E_k$ 按时间顺序编码同一组 $p$ 行矩阵上的操作，合并左乘矩阵就是 $J=E_k\cdots E_1$。每个 $E_j^{-1}$ 表示对应初等行变换的反向操作。要恢复输入，首先必须撤销 $E_k$，因为它是最后一次对行所作的改变；然后依次撤销 $E_{k-1},\ldots,E_1$。因此，反向链的合并矩阵为

$$K=E_1^{-1}E_2^{-1}\cdots E_k^{-1}.$$

这里必须区分两种次序：反向操作的时间顺序从 $E_k^{-1}$ 开始；写成乘积时，最先作用的因子却放在最靠近待恢复矩阵的位置。以三步为例，由结合律可得

$$KJ=E_1^{-1}E_2^{-1}(E_3^{-1}E_3)E_2E_1 =E_1^{-1}(E_2^{-1}E_2)E_1=I_p.$$

另一个乘积 $JK$ 则从相邻的 $E_1E_1^{-1}$ 开始消去，最后同样得到 $I_p$。任意有限链都可这样逐对消去。整个论证没有交换因子，也不要求被变换的矩阵本身是方阵。

把这个读法用于前面的两步例子：合并矩阵是 $E_{\rho_2}E_{\rho_1}$，所以逆矩阵是 $E_{\rho_1}^{-1}E_{\rho_2}^{-1}$。从最终矩阵开始，先从第一行减去当前第二行的两倍，第一行便恢复为 $[1\ 0\ 1]$；再从第二行减去刚恢复的第一行，第二行便恢复为 $[0\ 2\ 1]$。撤销操作是在逐个恢复中间状态，乘积次序也就随之确定，无须另背一个口诀。

为什么这个观点之后会有用？

如果 $B$ 与 $A$ 行等价，则存在有限多个初等行变换把 $A$ 变成 $B$。因此存在 某个初等行变换矩阵的乘积 $E$，使得

$$B = EA.$$

由于每个初等行变换矩阵都可逆，乘积 $E$ 也可逆。因此行等价既可以用初等操作 步骤来描述，也可以用左边乘上一个可逆矩阵的等式来描述。反向叙述则要小心： 任意可逆左乘矩阵未必本身只代表一步初等操作。

这个观点会在多个地方使用：

• 一个方阵若行等价于 $I_n$，它就是若干初等行变换矩阵的乘积；
• 初等行变换保留齐次方程组的解信息，因为它等同于左乘可逆矩阵；
• 行列式关于初等行变换的规则，可以通过初等矩阵来表述；
• 秩和基底的论证可以使用行化简，同时清楚知道原矩阵的列本身通常已被改变。

常见错误

常见错误

不要乘错方向

初等行变换由左乘表示。右乘会混合列，而不是混合行。

常见错误

不要把乘积顺序反过来

如果 $\rho_1$ 先于 $\rho_2$ 作用，合并矩阵是 $E_{\rho_2}E_{\rho_1}$，不是 $E_{\rho_1}E_{\rho_2}$。

常见错误

不能把某一行乘以零

行倍乘要求标量非零。把一行乘以 $0$ 不能反向恢复，也不会产生可逆的 初等行变换矩阵。

常见错误

只恢复一个矩阵不足以证明互逆

从某个特定矩阵 $A$ 满足 $KJA=A$，一般不能推出 $KJ=I$，因为 $A$ 的各列 未必能检测所有可能输入。应证明复合行变换会恢复每个相容矩阵，或直接把它们 作用于 $I_p$。所以上面对 $KJ=JK=I_p$ 的论证先使用任意 $p$ 行矩阵，再代入 单位矩阵。

按作用次序理解乘积

要编码有 $p$ 行矩阵上的一个初等行变换，只需把该操作施加到 $I_p$。所得 初等矩阵 $E_\rho$ 会以左乘方式作用于每个相容矩阵；对交换、非零倍乘和行加法 三类情形逐行检查，就得到 $E_\rho A=\rho(A)$。若对象是增广矩阵，操作必须 横跨整行，包括右端常数，方程组才会保持完全相同的解集。

依次施加 $\rho_1,\ldots,\rho_k$ 时，乘积按作用顺序写成 $E_{\rho_k}\cdots E_{\rho_1}$。每个因子都可逆，因为反向初等操作给出它的双侧 逆矩阵。因此，有限的行化简既可以看作逐步操作，也可以看作一次可逆的左乘； 各个因子则继续记录每一步的准确内容。

快速检查

思考检查

对有三行的矩阵，$E = \begin{bmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\5&0&1 \end{bmatrix}$ 表示哪个行变换？

看 $I_3$ 的哪一行被改变。

解答 · 答案

只有第 $3$ 行被改变，而且它变成“第 $3$ 行加上 $5$ 倍第 $1$ 行”。因此

$$R_3 \leftarrow R_3 + 5R_1.$$

思考检查

$R_2 \leftarrow R_2 - 4R_1$ 的反向行变换是什么？

把加上的倍数抵消。

解答 · 答案

反向操作是

$$R_2 \leftarrow R_2 + 4R_1.$$

练习

思考检查

写出有三行矩阵上 $R_1 \leftrightarrow R_2$ 的行变换矩阵。

把这个交换作用在 $I_3$ 上。

解答 · 引导解答

交换 $I_3$ 的前两行，得到

$$\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.$$

这就是左乘时交换第 $1$ 行和第 $2$ 行的矩阵。

思考检查

假设 $B$ 由 $A$ 经以下两步得到：先做 $R_2 \leftarrow R_2 + R_1$，再做 $R_3 \leftarrow 2R_3$。把 $B$ 写成涉及 $A$ 的矩阵乘积。

按照作用顺序命名两个行变换矩阵。

解答 · 引导解答

令 $E_1$ 是 $R_2 \leftarrow R_2 + R_1$ 的行变换矩阵，令 $E_2$ 是 $R_3 \leftarrow 2R_3$ 的行变换矩阵。因为 $E_1$ 先作用，而 $E_2$ 后作用，

$$B = E_2E_1A.$$

思考检查

令 $\beta_1,\beta_2\ne 0$。假设五行矩阵 $A$ 经以下行变换链得到 $B$：先做 $R_3\leftarrow R_3+\alpha_1R_1$，再做 $R_2\leftarrow\beta_1R_2$，再做 $R_1\leftrightarrow R_4$，再做 $R_3\leftarrow R_3+\alpha_2R_2$，最后做 $R_1\leftarrow\beta_2R_1$。写出单一矩阵 $G$，使得 $B=GA$。

把同一串操作作用在 $I_5$ 上，并记住后面的操作使用的是当时的行，不是原来的行。

解答 · 引导解答

把这些操作作用在 $I_5$ 上，得到

$$G= \begin{bmatrix} 0&0&0&\beta_2&0\\ 0&\beta_1&0&0&0\\ \alpha_1&\alpha_2\beta_1&1&0&0\\ 1&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&1 \end{bmatrix}.$$

重点是 $\alpha_2\beta_1$ 这一项。操作 $R_3\leftarrow R_3+\alpha_2R_2$ 发生在第 $2$ 行已经被缩放成 $\beta_1R_2$ 之后，所以来自原来第 $2$ 行的贡献是 $\alpha_2\beta_1R_2$。

思考检查

沿用上一题的矩阵 $G$，假设 $D=GC$。写出矩阵 $H$，使得 $C=HD$。

把行变换按相反顺序逐步撤销。

解答 · 引导解答

反向链是

$$G \xrightarrow{R_1\leftarrow\frac1{\beta_2}R_1} \xrightarrow{R_3\leftarrow R_3-\alpha_2R_2} \xrightarrow{R_1\leftrightarrow R_4} \xrightarrow{R_2\leftarrow\frac1{\beta_1}R_2} \xrightarrow{R_3\leftarrow R_3-\alpha_1R_1} I_5.$$

因此

$$H= \begin{bmatrix} 0&0&0&1&0\\ 0&\frac1{\beta_1}&0&0&0\\ 0&-\alpha_2&1&-\alpha_1&0\\ \frac1{\beta_2}&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&1 \end{bmatrix}.$$

这就是 $G^{-1}$，所以 $D=GC$ 会推出 $C=HD$。

相关笔记

这一页建立在 2.2 增广矩阵与行变换 和 3.2 矩阵乘法、单位矩阵与线性方程组 之上。接着可以读 3.6 分块矩阵，完成第三章。 它也准备了 5.1 可逆矩阵 和 7.2 行变换、乘积与可逆性 中使用的行化简代数观点。