到目前为止，课程大部分都在处理线性结构：张成、线性无关、基底、特征向量与对角化。内积把几何带回来，让我们可以在同一个向量空间里讨论长度、垂直与夹角。
这个运算的输入是两个向量，输出却是一个标量。把对应坐标相乘再相加，所得的实数可以记录两个向量同向、反向或互相垂直的程度。
从一个标量读出长度与夹角
当你写下
⟨ v , w ⟩ = v T w , \langle v,w\rangle=v^Tw, ⟨ v , w ⟩ = v T w , 你是在引入之后会控制正交性、投影、标准正交基与基本不等式的运算。这里要求向量有相同维数而且坐标为实数：若 v v v m m m w w w v T w v^Tw v T w
设 u u u v v v R m \mathbb{R}^m R m m ≥ 1 m\ge1 m ≥ 1 内积 是实数
⟨ u , v ⟩ = ∑ i = 1 m u i v i = u T v . \langle u,v\rangle
=\sum_{i=1}^m u_iv_i
=u^Tv. ⟨ u , v ⟩ = i = 1 ∑ m u i v i = u T v . 它也称为点积 。我们把 1 × 1 1\times1 1 × 1 u T v u^Tv u T v
设
v = [ 1 2 ] , w = [ 3 4 ] . v=\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix},
\qquad
w=\begin{bmatrix}3\\4\end{bmatrix}. v = [ 1 2 ] , w = [ 3 4 ] . 两个向量的维数相同，因此
⟨ v , w ⟩ = v T w = 1 ⋅ 3 + 2 ⋅ 4 = 11. \langle v,w\rangle=v^Tw=1\cdot3+2\cdot4=11. ⟨ v , w ⟩ = v T w = 1 ⋅ 3 + 2 ⋅ 4 = 11. 交换次序所得的标量相同：
⟨ w , v ⟩ = 3 ⋅ 1 + 4 ⋅ 2 = 11. \langle w,v\rangle=3\cdot1+4\cdot2=11. ⟨ w , v ⟩ = 3 ⋅ 1 + 4 ⋅ 2 = 11. 但是外积 v w T vw^T v w T 2 × 2 2\times2 2 × 2
v w T = [ 1 2 ] [ 3 4 ] = [ 3 4 6 8 ] . vw^T=
\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}3&4\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}3&4\\6&8\end{bmatrix}. v w T = [ 1 2 ] [ 3 4 ] = [ 3 6 4 8 ] . 因此 v T w v^Tw v T w 1 × 1 1\times1 1 × 1 v w T vw^T v w T 2 × 2 2\times2 2 × 2
u = [ 1 2 3 ] , z = [ 4 5 6 ] , u=\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix},
\qquad
z=\begin{bmatrix}4\\5\\6\end{bmatrix}, u = 1 2 3 , z = 4 5 6 , 则
⟨ u , z ⟩ = 1 ⋅ 4 + 2 ⋅ 5 + 3 ⋅ 6 = 32. \langle u,z\rangle=1\cdot4+2\cdot5+3\cdot6=32. ⟨ u , z ⟩ = 1 ⋅ 4 + 2 ⋅ 5 + 3 ⋅ 6 = 32. 维数检查是定义的一部分，不是排版习惯。若 u u u R m \mathbb{R}^m R m u T u^T u T m m m m m m v v v 1 × 1 1\times1 1 × 1 v w T vw^T v w T m × 1 m\times1 m × 1 1 × m 1\times m 1 × m 1 1 1 1 1 1 m × m m\times m m × m
概念视角 结构
一个标量同时承载两种信息 固定 v v v w w w w ↦ ⟨ v , w ⟩ w\mapsto\langle v,w\rangle w ↦ ⟨ v , w ⟩ w w w v v v w = v w=v w = v ⟨ v , v ⟩ = ∥ v ∥ 2 \langle v,v\rangle=\|v\|^2 ⟨ v , v ⟩ = ∥ v ∥ 2 ⟨ ( 1 , 0 ) , ( 0 , 1 ) ⟩ = 0 \langle(1,0),(0,1)\rangle=0 ⟨( 1 , 0 ) , ( 0 , 1 )⟩ = 0
内积的基本性质
对 u , v , w ∈ R m u,v,w\in\mathbb{R}^m u , v , w ∈ R m α , β ∈ R \alpha,\beta\in\mathbb{R} α , β ∈ R
对称性：
⟨ u , v ⟩ = ⟨ v , u ⟩ ; \langle u,v\rangle=\langle v,u\rangle; ⟨ u , v ⟩ = ⟨ v , u ⟩ ;
第一变量线性：
⟨ α u + β v , w ⟩ = α ⟨ u , w ⟩ + β ⟨ v , w ⟩ ; \langle \alpha u+\beta v,w\rangle
=\alpha\langle u,w\rangle+\beta\langle v,w\rangle; ⟨ α u + β v , w ⟩ = α ⟨ u , w ⟩ + β ⟨ v , w ⟩ ;
第二变量线性：
⟨ w , α u + β v ⟩ = α ⟨ w , u ⟩ + β ⟨ w , v ⟩ ; \langle w,\alpha u+\beta v\rangle
=\alpha\langle w,u\rangle+\beta\langle w,v\rangle; ⟨ w , α u + β v ⟩ = α ⟨ w , u ⟩ + β ⟨ w , v ⟩ ;
零向量关系：
⟨ 0 , v ⟩ = ⟨ v , 0 ⟩ = 0 ; \langle 0,v\rangle=\langle v,0\rangle=0; ⟨ 0 , v ⟩ = ⟨ v , 0 ⟩ = 0 ;
正定性：
⟨ v , v ⟩ ≥ 0 , \langle v,v\rangle\ge0, ⟨ v , v ⟩ ≥ 0 , 且等号成立当且仅当 v = 0 v=0 v = 0
对称性来自转置 1 × 1 1\times1 1 × 1
⟨ u , v ⟩ = u T v = ( u T v ) T = v T ( u T ) T = v T u = ⟨ v , u ⟩ . \langle u,v\rangle=u^Tv=(u^Tv)^T=v^T(u^T)^T=v^Tu=\langle v,u\rangle. ⟨ u , v ⟩ = u T v = ( u T v ) T = v T ( u T ) T = v T u = ⟨ v , u ⟩ . 利用矩阵乘法的分配律和转置规则，
⟨ α u + β v , w ⟩ = ( α u + β v ) T w = ( α u T + β v T ) w = α u T w + β v T w = α ⟨ u , w ⟩ + β ⟨ v , w ⟩ . \begin{aligned}
\langle\alpha u+\beta v,w\rangle
&=(\alpha u+\beta v)^Tw\\
&=(\alpha u^T+\beta v^T)w\\
&=\alpha u^Tw+\beta v^Tw\\
&=\alpha\langle u,w\rangle+\beta\langle v,w\rangle.
\end{aligned} ⟨ α u + β v , w ⟩ = ( α u + β v ) T w = ( α u T + β v T ) w = α u T w + β v T w = α ⟨ u , w ⟩ + β ⟨ v , w ⟩ . 第二个变量的线性性由对称性得到：
⟨ w , α u + β v ⟩ = ⟨ α u + β v , w ⟩ = α ⟨ w , u ⟩ + β ⟨ w , v ⟩ . \langle w,\alpha u+\beta v\rangle
=\langle\alpha u+\beta v,w\rangle
=\alpha\langle w,u\rangle+\beta\langle w,v\rangle. ⟨ w , α u + β v ⟩ = ⟨ α u + β v , w ⟩ = α ⟨ w , u ⟩ + β ⟨ w , v ⟩ . 零向量关系直接来自坐标和。最后，
⟨ v , v ⟩ = ∑ i = 1 m v i 2 ≥ 0. \langle v,v\rangle=\sum_{i=1}^m v_i^2\ge0. ⟨ v , v ⟩ = i = 1 ∑ m v i 2 ≥ 0. 实数平方的和等于零，当且仅当每个 v i = 0 v_i=0 v i = 0 v = 0 v=0 v = 0
两个线性性质确实是两个方向的陈述：第一条展开左边变量的线性组合，第二条展开右边变量的线性组合。对标准实内积，可以用对称性由第一条推出第二条，但仍应分别写出，因为后面的计算会在两个变量中任意一个展开。
α \alpha α β \beta β
若 v ∈ R m v\in\mathbb{R}^m v ∈ R m
⟨ v , x ⟩ = 0 对每个 x ∈ R m , \langle v,x\rangle=0\quad\text{对每个 }x\in\mathbb{R}^m, ⟨ v , x ⟩ = 0 对每个 x ∈ R m , 则 v = 0 v=0 v = 0
⟨ v , x ⟩ = ⟨ w , x ⟩ 对每个 x ∈ R m , \langle v,x\rangle=\langle w,x\rangle
\quad\text{对每个 }x\in\mathbb{R}^m, ⟨ v , x ⟩ = ⟨ w , x ⟩ 对每个 x ∈ R m , 则 v = w v=w v = w
证明第一个结论时，“对每个 x x x x = v x=v x = v ⟨ v , v ⟩ = 0 \langle v,v\rangle=0 ⟨ v , v ⟩ = 0 v = 0 v=0 v = 0
⟨ v − w , x ⟩ = 0 对每个 x . \langle v-w,x\rangle=0\quad\text{对每个 }x. ⟨ v − w , x ⟩ = 0 对每个 x . 把第一个结论应用于 v − w v-w v − w v = w v=w v = w e j e_j e j
这个检验原则比只检查一个预先选定的向量更强。比如只知道
⟨ v , ( 1 , 0 ) ⟩ = 0 \langle v,(1,0)\rangle=0 ⟨ v , ( 1 , 0 )⟩ = 0 v = 0 v=0 v = 0 x = v x=v x = v x = e j x=e_j x = e j
范数与单位向量
对 v ∈ R m v\in\mathbb{R}^m v ∈ R m v v v 范数 （或长度）定义为
∥ v ∥ = ⟨ v , v ⟩ = ∑ i = 1 m v i 2 . \|v\|=\sqrt{\langle v,v\rangle}
=\sqrt{\sum_{i=1}^m v_i^2}. ∥ v ∥ = ⟨ v , v ⟩ = i = 1 ∑ m v i 2 . 正定性保证根号内的量非负。
对每个 v ∈ R m v\in\mathbb{R}^m v ∈ R m α ∈ R \alpha\in\mathbb{R} α ∈ R
∥ v ∥ ≥ 0 , \|v\|\ge0, ∥ v ∥ ≥ 0 , 且 ∥ v ∥ = 0 \|v\|=0 ∥ v ∥ = 0 v = 0 v=0 v = 0
∥ α v ∥ = ∣ α ∣ ∥ v ∥ . \|\alpha v\|=|\alpha|\,\|v\|. ∥ α v ∥ = ∣ α ∣ ∥ v ∥. 第一条来自非负平方根和内积的正定性。对于第二条，先平方：
∥ α v ∥ 2 = ⟨ α v , α v ⟩ = α 2 ⟨ v , v ⟩ = α 2 ∥ v ∥ 2 . \|\alpha v\|^2
=\langle\alpha v,\alpha v\rangle
=\alpha^2\langle v,v\rangle
=\alpha^2\|v\|^2. ∥ α v ∥ 2 = ⟨ α v , α v ⟩ = α 2 ⟨ v , v ⟩ = α 2 ∥ v ∥ 2 . 左右两边 ∥ α v ∥ \|\alpha v\| ∥ α v ∥ ∣ α ∣ ∥ v ∥ |\alpha|\|v\| ∣ α ∣∥ v ∥ α = 0 \alpha=0 α = 0 α < 0 \alpha<0 α < 0
注意证明的次序：先得到长度平方的等式，此时 α \alpha α
若
∥ v ∥ = 1 , \|v\|=1, ∥ v ∥ = 1 , 则称 v v v 单位向量 。若 v ≠ 0 v\ne0 v = 0
v ^ = v ∥ v ∥ \widehat v=\frac{v}{\|v\|} v = ∥ v ∥ v 是把 v v v
设
v = [ 1 2 3 ] . v=\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}. v = 1 2 3 . 则
∥ v ∥ = 1 2 + 2 2 + 3 2 = 14 , v ^ = 1 14 [ 1 2 3 ] . \|v\|=\sqrt{1^2+2^2+3^2}=\sqrt{14},
\qquad
\widehat v=\frac1{\sqrt{14}}\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}. ∥ v ∥ = 1 2 + 2 2 + 3 2 = 14 , v = 14 1 1 2 3 . 逐坐标检查单位长度：
( 1 14 ) 2 + ( 2 14 ) 2 + ( 3 14 ) 2 = 1 + 4 + 9 14 = 1. \left(\frac1{\sqrt{14}}\right)^2+
\left(\frac2{\sqrt{14}}\right)^2+
\left(\frac3{\sqrt{14}}\right)^2
=\frac{1+4+9}{14}=1. ( 14 1 ) 2 + ( 14 2 ) 2 + ( 14 3 ) 2 = 14 1 + 4 + 9 = 1. 若乘以 -2，则
∥ − 2 v ∥ = 2 14 , − 2 v ∥ − 2 v ∥ = − v ∥ v ∥ . \|-2v\|=2\sqrt{14},
\qquad
\frac{-2v}{\|-2v\|}=-\frac{v}{\|v\|}. ∥ − 2 v ∥ = 2 14 , ∥ − 2 v ∥ − 2 v = − ∥ v ∥ v . 长度变成原来的两倍，而单位方向相反。边界情形 α = 0 \alpha=0 α = 0
内积与范数互相决定
内积通过 ∥ v ∥ 2 = ⟨ v , v ⟩ \|v\|^2=\langle v,v\rangle ∥ v ∥ 2 = ⟨ v , v ⟩
对 u , v ∈ R m u,v\in\mathbb{R}^m u , v ∈ R m
∥ u ± v ∥ 2 = ∥ u ∥ 2 + ∥ v ∥ 2 ± 2 ⟨ u , v ⟩ ; \|u\pm v\|^2
=\|u\|^2+\|v\|^2\pm2\langle u,v\rangle; ∥ u ± v ∥ 2 = ∥ u ∥ 2 + ∥ v ∥ 2 ± 2 ⟨ u , v ⟩ ;
极化恒等式：
⟨ u , v ⟩ = 1 2 ( ∥ u + v ∥ 2 − ∥ u ∥ 2 − ∥ v ∥ 2 ) ; \langle u,v\rangle
=\frac12\bigl(\|u+v\|^2-\|u\|^2-\|v\|^2\bigr); ⟨ u , v ⟩ = 2 1 ( ∥ u + v ∥ 2 − ∥ u ∥ 2 − ∥ v ∥ 2 ) ;
平行四边形恒等式：
∥ u + v ∥ 2 + ∥ u − v ∥ 2 = 2 ∥ u ∥ 2 + 2 ∥ v ∥ 2 . \|u+v\|^2+\|u-v\|^2
=2\|u\|^2+2\|v\|^2. ∥ u + v ∥ 2 + ∥ u − v ∥ 2 = 2∥ u ∥ 2 + 2∥ v ∥ 2 . 由双线性和对称性，
∥ u + v ∥ 2 = ⟨ u + v , u + v ⟩ = ⟨ u , u ⟩ + ⟨ u , v ⟩ + ⟨ v , u ⟩ + ⟨ v , v ⟩ = ∥ u ∥ 2 + 2 ⟨ u , v ⟩ + ∥ v ∥ 2 . \begin{aligned}
\|u+v\|^2
&=\langle u+v,u+v\rangle\\
&=\langle u,u\rangle+\langle u,v\rangle
+\langle v,u\rangle+\langle v,v\rangle\\
&=\|u\|^2+2\langle u,v\rangle+\|v\|^2.
\end{aligned} ∥ u + v ∥ 2 = ⟨ u + v , u + v ⟩ = ⟨ u , u ⟩ + ⟨ u , v ⟩ + ⟨ v , u ⟩ + ⟨ v , v ⟩ = ∥ u ∥ 2 + 2 ⟨ u , v ⟩ + ∥ v ∥ 2 . 把 v v v − v -v − v
⟨ u , v ⟩ = 1 4 ( ∥ u + v ∥ 2 − ∥ u − v ∥ 2 ) . \langle u,v\rangle
=\frac14\bigl(\|u+v\|^2-\|u-v\|^2\bigr). ⟨ u , v ⟩ = 4 1 ( ∥ u + v ∥ 2 − ∥ u − v ∥ 2 ) . 两个极化公式适合不同的检查：第一个比较 u + v u+v u + v m m m
非零向量之间的夹角
对 R 2 \mathbb{R}^2 R 2 R 3 \mathbb{R}^3 R 3 x , y x,y x , y 0 ≤ θ ≤ π 0\le\theta\le\pi 0 ≤ θ ≤ π x x x y y y y − x y-x y − x
∥ y − x ∥ 2 = ∥ x ∥ 2 + ∥ y ∥ 2 − 2 ∥ x ∥ ∥ y ∥ cos θ . \|y-x\|^2=\|x\|^2+\|y\|^2-2\|x\|\,\|y\|\cos\theta. ∥ y − x ∥ 2 = ∥ x ∥ 2 + ∥ y ∥ 2 − 2∥ x ∥ ∥ y ∥ cos θ . 而转换公式给出同一个左边：
∥ y − x ∥ 2 = ∥ y ∥ 2 + ∥ x ∥ 2 − 2 ⟨ x , y ⟩ . \|y-x\|^2=\|y\|^2+\|x\|^2-2\langle x,y\rangle. ∥ y − x ∥ 2 = ∥ y ∥ 2 + ∥ x ∥ 2 − 2 ⟨ x , y ⟩ . 两式的前三项完全相同，剩下的就是余弦定理中的交叉项和内积。因此
2 ∥ x ∥ ∥ y ∥ cos θ = 2 ⟨ x , y ⟩ . 2\|x\|\,\|y\|\cos\theta=2\langle x,y\rangle. 2∥ x ∥ ∥ y ∥ cos θ = 2 ⟨ x , y ⟩ . 向量平行或反向时三角形退化，但同一个余弦关系仍给出角 0 0 0 π \pi π
对 R 2 \mathbb{R}^2 R 2 R 3 \mathbb{R}^3 R 3 x , y x,y x , y
⟨ x , y ⟩ = ∥ x ∥ ∥ y ∥ cos θ , \langle x,y\rangle=\|x\|\,\|y\|\cos\theta, ⟨ x , y ⟩ = ∥ x ∥ ∥ y ∥ cos θ , 以及
θ = arccos ( ⟨ x , y ⟩ ∥ x ∥ ∥ y ∥ ) . \theta=\arccos\!\left(
\frac{\langle x,y\rangle}{\|x\|\,\|y\|}
\right). θ = arccos ( ∥ x ∥ ∥ y ∥ ⟨ x , y ⟩ ) . 分母为正，因为两个向量都非零。若 y = α x y=\alpha x y = α x α > 0 \alpha>0 α > 0 0 0 0 α < 0 \alpha<0 α < 0 π \pi π [ − 1 , 1 ] [-1,1] [ − 1 , 1 ] R m \mathbb{R}^m R m ⟨ x , y ⟩ = 0 \langle x,y\rangle=0 ⟨ x , y ⟩ = 0
在二维和三维中，内积的符号也有几何意义。当 0 < θ < π / 2 0<\theta<\pi/2 0 < θ < π /2 θ = 0 \theta=0 θ = 0 θ = π / 2 \theta=\pi/2 θ = π /2 π / 2 < θ < π \pi/2<\theta<\pi π /2 < θ < π θ = π \theta=\pi θ = π R m \mathbb{R}^m R m ⟨ x , y ⟩ = 0 \langle x,y\rangle=0 ⟨ x , y ⟩ = 0
下面的图解从本节的标准内积和范数开始，再把夹角公式作为进入 9.2 正交语言的桥梁。
由内积走到长度与夹角 观看标准内积如何变成几何：点积标量经由自内积变成长度，经由规范化变成单位方向，再经由余弦公式变成夹角或垂直判准。
点积作为标量
标准内积把对应坐标相乘再相加，所以 <u,v>=u^T v 是一个数，不是另一个向量。
可靠性质
线性、对称与正定性是基本性质，让这个标量能够服务几何。
由自内积得到范数
范数是 ||u||=sqrt(<u,u>)。对 u=(1,2)，得到 ||u||=sqrt(1^2+2^2)=sqrt(5)。
不转向地规范化
非零向量除以自己的范数就成为单位向量：u/||u|| 保持方向，长度变成 1。
夹角桥接
在 R2 或 R3 中，同一个内积出现在 <u,v>=||u||||v|| cos(theta)，这就是通向下一节的桥接。
正交判准
对非零向量，<x,y>=0 迫使 cos(theta)=0，所以两向量垂直。投影扣除留到 Gram-Schmidt 再处理。
内积是本章几何背后的代数工具：自己与自己内积给出长度，除以长度给出单位方向，两个向量的内积则读出夹角与正交。
令
u = [ 1 2 ] , v = [ 3 1 ] . u=\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix},
\qquad
v=\begin{bmatrix}3\\1\end{bmatrix}. u = [ 1 2 ] , v = [ 3 1 ] . 首先，
⟨ u , v ⟩ = 1 ⋅ 3 + 2 ⋅ 1 = 5 , ∥ u ∥ = 5 , ∥ v ∥ = 10 . \langle u,v\rangle=1\cdot3+2\cdot1=5,
\qquad
\|u\|=\sqrt5,
\qquad
\|v\|=\sqrt{10}. ⟨ u , v ⟩ = 1 ⋅ 3 + 2 ⋅ 1 = 5 , ∥ u ∥ = 5 , ∥ v ∥ = 10 . 所以
cos θ = 5 5 10 = 1 2 , θ = π 4 . \cos\theta=\frac5{\sqrt5\sqrt{10}}=\frac1{\sqrt2},
\qquad
\theta=\frac\pi4. cos θ = 5 10 5 = 2 1 , θ = 4 π . 再看
u + v = [ 4 3 ] , ∥ u + v ∥ 2 = 25. u+v=\begin{bmatrix}4\\3\end{bmatrix},
\qquad
\|u+v\|^2=25. u + v = [ 4 3 ] , ∥ u + v ∥ 2 = 25. 由极化恒等式反推出
⟨ u , v ⟩ = 1 2 ( 25 − 5 − 10 ) = 5. \langle u,v\rangle=\frac12(25-5-10)=5. ⟨ u , v ⟩ = 2 1 ( 25 − 5 − 10 ) = 5. 平行四边形的另一条对角线为
u − v = [ − 2 1 ] , ∥ u − v ∥ 2 = 5. u-v=\begin{bmatrix}-2\\1\end{bmatrix},
\qquad
\|u-v\|^2=5. u − v = [ − 2 1 ] , ∥ u − v ∥ 2 = 5. 完整核对是
25 + 5 = 2 ( 5 ) + 2 ( 10 ) = 30. 25+5=2(5)+2(10)=30. 25 + 5 = 2 ( 5 ) + 2 ( 10 ) = 30. 两条对角线都符合平行四边形恒等式，夹角、内积和范数的计算彼此一致。
读懂坐标与正交性
坐标定义使后面的论证很具体。若
u = ( u 1 , … , u m ) T u=(u_1,\ldots,u_m)^T u = ( u 1 , … , u m ) T v = ( v 1 , … , v m ) T v=(v_1,\ldots,v_m)^T v = ( v 1 , … , v m ) T
例如，取
a = [ 1 2 3 ] , b = [ − 1 − 1 1 ] a=\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix},
\qquad
b=\begin{bmatrix}-1\\-1\\1\end{bmatrix} a = 1 2 3 , b = − 1 − 1 1 则
⟨ a , b ⟩ = 1 ( − 1 ) + 2 ( − 1 ) + 3 ( 1 ) = 0. \langle a,b\rangle=1(-1)+2(-1)+3(1)=0. ⟨ a , b ⟩ = 1 ( − 1 ) + 2 ( − 1 ) + 3 ( 1 ) = 0. 所以它们在 R 3 \mathbb{R}^3 R 3 R m \mathbb{R}^m R m
标准基向量也令“用所有向量检验”的定理很清楚。因为 e j e_j e j j j j 1 1 1
⟨ v , e j ⟩ = v j . \langle v,e_j\rangle=v_j. ⟨ v , e j ⟩ = v j . 因此，只要分别用每个 e j e_j e j v v v
因此，内积不是逐坐标比较是否相等。两个向量的坐标可以不同而内积为零，也可以有正内积却不是彼此的标量倍数。这个标量量度的是所有坐标的总体相互作用。之后的投影公式会出现
⟨ v , w ⟩ / ∥ v ∥ 2 \langle v,w\rangle/\|v\|^2 ⟨ v , w ⟩ /∥ v ∥ 2 v v v w w w v v v
常见错误与快速检查
v T w v^Tw v T w v w T vw^T v w T
⟨ x , y ⟩ = 0 \langle x,y\rangle=0 ⟨ x , y ⟩ = 0 R m \mathbb{R}^m R m
快速检查
（计算内积 ⟨ ( 1 , 2 ) , ( 3 , 4 ) ⟩ \langle (1,2),(3,4)\rangle ⟨( 1 , 2 ) , ( 3 , 4 )⟩
逐项相乘后相加，再比较 v T w v^Tw v T w v w T vw^T v w T
解答 · 答案 内积是 11，是一个标量。外积形状为 2 乘 2；本例的两行是 ( 3 , 4 ) (3,4) ( 3 , 4 ) ( 6 , 8 ) (6,8) ( 6 , 8 )
快速检查
（若 ∥ v ∥ = 0 \|v\|=0 ∥ v ∥ = 0
解答 · 答案 v = 0 v=0 v = 0
快速检查
（若 v ≠ 0 v\ne0 v = 0 v / ∥ v ∥ v/\|v\| v /∥ v ∥
解答 · 答案 因为 v v v
∥ v ∥ v ∥ ∥ = 1 ∥ v ∥ ∥ v ∥ = 1. \left\|\frac{v}{\|v\|}\right\|
=\frac1{\|v\|}\|v\|=1. ∥ v ∥ v = ∥ v ∥ 1 ∥ v ∥ = 1. 快速检查
（计算 [ 3 4 ] \begin{bmatrix}3\\4\end{bmatrix} [ 3 4 ]
解答 · 引导解答 ∥ [ 3 4 ] ∥ = 3 2 + 4 2 = 5. \left\|\begin{bmatrix}3\\4\end{bmatrix}\right\|
=\sqrt{3^2+4^2}=5. [ 3 4 ] = 3 2 + 4 2 = 5. 快速检查
（把 [ 2 − 2 1 ] \begin{bmatrix}2\\-2\\1\end{bmatrix} 2 − 2 1
解答 · 引导解答 该向量非零，而且
∥ [ 2 − 2 1 ] ∥ = 2 2 + ( − 2 ) 2 + 1 2 = 3. \left\|\begin{bmatrix}2\\-2\\1\end{bmatrix}\right\|
=\sqrt{2^2+(-2)^2+1^2}=3. 2 − 2 1 = 2 2 + ( − 2 ) 2 + 1 2 = 3. 因此规范化结果是
1 3 [ 2 − 2 1 ] . \frac13\begin{bmatrix}2\\-2\\1\end{bmatrix}. 3 1 2 − 2 1 . 快速检查
（非零向量 x x x y y y ⟨ x , y ⟩ = 0 \langle x,y\rangle=0 ⟨ x , y ⟩ = 0 R 2 \mathbb{R}^2 R 2 R 3 \mathbb{R}^3 R 3
解答 · 引导解答 两个范数都为正，因此
0 = ∥ x ∥ ∥ y ∥ cos θ 0=\|x\|\,\|y\|\cos\theta 0 = ∥ x ∥ ∥ y ∥ cos θ 迫使 cos θ = 0 \cos\theta=0 cos θ = 0 0 ≤ θ ≤ π 0\le\theta\le\pi 0 ≤ θ ≤ π θ = π / 2 \theta=\pi/2 θ = π /2
相关笔记
接着阅读
9.2 正交集与标准正交基 ，学习如何用内积构造方便的基底与坐标公式。
之后的
9.4 Cauchy-Schwarz 与三角不等式
直接依赖这里介绍的定义与范数公式。
本章也延续
6.5 基底与维数
所展开的几何主线。