2.2 增广矩阵与行变换

一个线性方程组包含两类资料：变量前面的系数，以及右边的常数。当我们 解方程组时，变量符号、加号和等号的排列模式其实没有改变；真正会改变 的是那些数字。

这正是增广矩阵有用的原因。它把会被行变换改写的资料集中起来，让你不 必每做一步都重写所有变量符号。

为什么增广矩阵是恰当的包装

考虑一个有 $m$ 条方程、$n$ 个未知数的线性方程组：

$$\begin{aligned} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n &= b_1, \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n &= b_2, \\ &\ \vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n &= b_m. \end{aligned}$$

同一个方程组可以写成三种平行形式：

• 方程列表；
• 矩阵方程 $Ax = b$；
• 增广矩阵 $[A\mid b]$。

定义

系数矩阵、常数向量与增广矩阵

对于系统 $Ax = b$：

• $A$ 称为系数矩阵；
• $b$ 称为常数向量；
• $[A\mid b]$ 称为增广矩阵，即把常数列接在系数矩阵右边所得的矩阵。

中间那条直线只是记号上的提示，用来提醒你最后一列来自等号右边。它不 代表有另一种独立的矩阵运算。

还有一种很重要的列向量读法。若 $A$ 的各列由左至右分别是 $a_1, a_2, \ldots, a_n$，那么

$$Ax = b \quad\Longleftrightarrow\quad x_1 a_1 + x_2 a_2 + \cdots + x_n a_n = b.$$

这个观点在之后学习张成与列空间时会再出现。不过即使在现阶段，它也说 明了同一个线性系统可以从“按行阅读”和“按列阅读”两方面理解。

例题

把同一个系统写成三种形式

考虑

$$\begin{aligned} x_1 + 2x_2 + 2x_3 &= 4, \\ x_1 + 3x_2 + 3x_3 &= 5, \\ 2x_1 + 6x_2 + 5x_3 &= 6. \end{aligned}$$

它的系数矩阵和常数向量分别是

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 1 & 3 & 3 \\ 2 & 6 & 5 \end{bmatrix}, \qquad b = \begin{bmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{bmatrix}.$$

所以这个系统可以写成 $Ax = b$，其中

$$x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix},$$

而它的增广矩阵是

$$\left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 2 & 4 \\ 1 & 3 & 3 & 5 \\ 2 & 6 & 5 & 6 \end{array} \right].$$

三种基本行变换

基本行变换共有三种：

1. 交换两行；
2. 用一个非零纯量乘一行；
3. 用一行的倍数加到另一行。

第二种操作里的“非零”非常重要。若你用 $0$ 乘一行，就会把整条方程 抹掉，而不是把它等价地改写，所以这一步不再可逆。

定义

基本行变换

对增广矩阵可做的行变换只有以下三种：

1. $R_i \leftrightarrow R_j$，其中 $i\ne j$
2. $R_i \leftarrow \alpha R_i$，其中 $\alpha \ne 0$
3. $R_j \leftarrow \alpha R_i+R_j$，其中 $i\ne j$、$\alpha\in\mathbb R$

这三种操作称为基本行变换。

为什么这些操作会保留解集

真正要紧的，不是行变换让矩阵“变得好看”；真正要紧的是它保留了解集。

定理

行等价的增广矩阵代表等价方程组

若一个增广矩阵可由另一个增广矩阵经有限次基本行变换得到，则两者所代 表的线性方程组是等价的，也就是说，它们有完全相同的解集。

证明

逐种解释为什么基本行变换是安全的

每一种行变换，其实都只是方程操作的矩阵版本。

• 交换两行，只是改变方程出现的次序。某个数组在交换前同时满足所有方 程，交换后也同样同时满足它们。
• 把一行乘上一个非零纯量，等于把同一条方程左右两边同时乘上同一个非 零数。这会得到一条等价方程，而且可用乘上 $1 / \alpha$ 逆转。
• 把 $R_j$ 换成 $\alpha R_i + R_j$，就是把第 $j$ 条方程改写成 “$\alpha \times$ 第 $i$ 条方程加第 $j$ 条方程”。原系统的任何解都会满足 新方程，而这一步也可通过把 $-\alpha$ 倍第 $i$ 行加回第 $j$ 行来逆 转。

因此，每一种基本行变换都保留解集，任何有限次组合也一样保留解集。

可逆性保证改写前后的方程组具有相同的解集。检查一种操作是否合法时， 应当能明确写出恢复原方程的逆操作。

等价需要两个方向的证明

新方程是旧方程的推论，这只说明原来的解不会丢失，却还没有排除新系统多出一些解。要证明解集相同，必须证明每个新解也满足原方程。逆操作正是补上这个方向的工具。特别是某条方程消失时，不能只看剩余方程比较简单，就断言系统仍然等价。

证明透视

保留来源行，才能逆转行替换

把第 $i$ 条方程写成 $L_i(x)=b_i$，第 $j$ 条写成 $L_j(x)=b_j$，其中两个线性表达式使用相同的变量次序。取不同行 $i\ne j$ 和任意实数 $c$。保留第 $i$ 行，只把第 $j$ 行改成

$$L_j(x)+cL_i(x)=b_j+cb_i.$$

原系统的任意解满足两条旧等式，因此也满足它们相加所得的新等式。反过来，若一个数组满足新系统，它仍然满足未被改变的 $L_i(x)=b_i$。从新方程减去这条等式的 $c$ 倍，便恢复 $L_j(x)=b_j$。其他方程完全没有改变，所以两个系统的解集相同。

不同的行这一条件保证来源方程仍然存在。这里允许 $c=0$，因为被替换行自身的系数仍是一；但单独缩放一行时，缩放因子必须非零，否则无法相除恢复旧方程。这两种操作的限制不能混为一谈。

交换两行的逆操作是再交换一次；乘以非零数的逆操作是乘以其倒数；行替换的逆操作则使用相反的倍数。若执行了一串操作，复原时必须先撤销最后一步，再依次向前。按原来顺序执行所谓逆操作，一般不会回到正确的中间状态。

定理

行等价是一种等价关系

固定矩阵大小后，行等价具有自反性、对称性和传递性。不做任何操作便说明矩阵与自身行等价；把操作链逆转可交换起点和终点；把两条有限操作链接起来则得到传递性。因此，只要变量列的含义保持不变，同一行等价类中的增广矩阵代表相同的解集。

固定大小也说明行操作不会增加变量，或直接从矩阵中删除方程。出现全零行时，仍保留这一行来记录某条方程已经成为多余条件。写方程组时可以省略恒等式，但那是书写上的简化，不是第四种初等行操作。

把每一个行变换读成方程操作

做行变换时，不要只想“我在表格里改数字”。更准确的想法是：“我正在 用其中一条方程去改写另一条方程。”

例题

先读懂消元，再背步骤

从

$$\left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 2 & 4 \\ 1 & 3 & 3 & 5 \\ 2 & 6 & 5 & 6 \end{array} \right]$$

开始，做

$$R_2 \leftarrow R_2 - R_1, \qquad R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1.$$

就会得到

$$\left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & -2 \end{array} \right].$$

这不是魔法，它只是表示：

• 第二条方程被换成“第二条方程减第一条方程”；
• 第三条方程被换成“第三条方程减 $2$ 倍第一条方程”。

因此，同一个系统只是被改写成更容易看出下方零项结构的形式。问题本身 没有变，变的只是呈现方式。

完整求解与复原检查

例题

求解之后，回到原方程检查

考虑

$$2x+3y=3,\qquad x-y=4.$$

固定变量次序为 $(x,y)$，先消去第一行的 $x$ 项，再缩放该行：

$$\left[\begin{array}{cc|c}2&3&3\\1&-1&4\end{array}\right] \xrightarrow{R_1\leftarrow R_1-2R_2} \left[\begin{array}{cc|c}0&5&-5\\1&-1&4\end{array}\right] \xrightarrow{R_1\leftarrow R_1/5} \left[\begin{array}{cc|c}0&1&-1\\1&-1&4\end{array}\right].$$

第一行已经给出 $y=-1$。把它加到第二行，再交换两行，得到

$$\left[\begin{array}{cc|c}0&1&-1\\1&-1&4\end{array}\right] \xrightarrow{R_2\leftarrow R_2+R_1} \left[\begin{array}{cc|c}0&1&-1\\1&0&3\end{array}\right] \xrightarrow{R_1\leftrightarrow R_2} \left[\begin{array}{cc|c}1&0&3\\0&1&-1\end{array}\right].$$

因此 $(x,y)=(3,-1)$。代回原方程，得到 $2(3)+3(-1)=3$ 及 $3-(-1)=4$，所以答案确实满足两条原方程。行操作的可逆性进一步说明没有遗漏其他解：任意原解都必须满足最后的两条方程，从而就是这个数组。

还可以直接复原矩阵：先交换回去，再从第二行减去第一行，把第一行乘以五，最后把第二行的两倍加到第一行。这样会恢复初始矩阵的每个元素，包括常数列。完整的复原链具体展示了等价的含义，而不只是算出了一个看似合理的答案。

代入检查和等价证明承担不同任务。前者确认一个候选数组确实是解，后者保证整个解集没有改变。仅验证一个数组满足原方程，并不能证明解的唯一性；同样，化简结果中的数字很小，也不能保证没有把常数列算错。

例题

相同系数矩阵，不同常数列

比较以下两个系统：

$$x+y=2,\quad 2x+2y=4 \qquad\text{与}\qquad x+y=2,\quad 2x+2y=5.$$

它们的系数矩阵完全相同。分别执行 $R_2\leftarrow R_2-2R_1$：

$$\left[\begin{array}{cc|c}1&1&2\\2&2&4\end{array}\right] \longrightarrow \left[\begin{array}{cc|c}1&1&2\\0&0&0\end{array}\right], \qquad \left[\begin{array}{cc|c}1&1&2\\2&2&5\end{array}\right] \longrightarrow \left[\begin{array}{cc|c}1&1&2\\0&0&1\end{array}\right].$$

第一个系统只剩 $x+y=2$，所有解为 $(2-t,t)$，其中 $t$ 可取任意实数。全零行表示第二条方程原本就是第一条的两倍。第二个系统却包含矛盾 $0=1$，所以无解。即使系数部分的运算完全相同，最后一列仍然决定了本质不同的结论。

看行变换的不变量

下面的短图解把主要不变量放在眼前：合法行变换可以改变显示出来的矩 阵，但必须保留解集。请特别留意常数列；它和前面的系数同属一批行。

看清为什么 [A|b] 是安全的工作形式：基本行变换是在改写方程，同时保留解集。

1. 包装方程组

   系数区块和常数列被放入同一个增广矩阵，让数据保持对齐。

2. 正确阅读直线

   直线只是记号提示，不是一道墙。行变换作用在整行上，包括常数列。

3. 只用可逆操作

   交换两行、用非零数乘一行、把一行倍数加到另一行，这三种操作都可以逆转。

4. 改写方程，不改变变量

   例如 R2 <- R2 - R1 的行替换，是把一条方程改写成等价的方程组合。

5. 常数列也要一起变

   如果系数改了但常数列不动，矩阵就不再代表同一个方程组。

6. 追踪不变量

   眼前矩阵会改变，但每个合法基本行变换都会保留解集。

使用增广矩阵的理由，是基本行变换都是可逆的方程改写。常数列属于同一批行，因此必须跟系数区块一起改变。

下一节会仔细处理高斯消元。这里最重要的观念比较基础：增广矩阵只是同 一个系统的压缩记录，而行变换之所以合法，是因为它保留解集。

实际解题时的基本策略

用矩阵求解方程组，可以分成三步：

1. 先把方程组写成增广矩阵；
2. 用行变换把它化成较简单的矩阵；
3. 把较简单的矩阵重新读成较简单的方程组，或直接从够简单的形式读出 解答。

这个策略说起来很短，但只有当你一路清楚知道每一步保留了什么、想建立 哪种结构时，它才会真正可靠。

用下面的互动图去对照：每一个行变换符号，究竟对应系统的哪种受控改写。

看似相近的捷径为何失效

若把 $x+y=2$ 乘以零而变成 $0=0$，新方程会接受所有数组，包括原来不满足方程的 $(0,0)$，所以等价已经失效。这不表示每个全零行都是错误：合法行替换也可以把原本多余的方程化为零行。真正要问的是整个系统的信息是否仍然保留。

两条连续指令也必须交代使用的是哪个版本的行。例如同时把两行都改成旧第一行与旧第二行之和，会得到两个相同条件，可能丢失信息。若逐步执行 $R_1\leftarrow R_1+R_2$，然后 $R_2\leftarrow R_1+R_2$，第二步使用已经更新的第一行，则两步都是合法行替换。来源行刚刚改变时，最好写出中间矩阵，避免把同时运算和顺序运算混淆。

更一般地，把目标行改为 $aR_j+cR_i$ 时，先要求来源行与目标行不同，即 $i\ne j$；在此条件下，只要 $a\ne0$，便可分解成先缩放目标行、再加上来源行的倍数。若 $a=0$，旧目标方程就消失了。这个分解说明三类初等操作已经足够，但并非所有行的线性组合都自动保留解集。

实际运算时，每个箭头旁都应标明操作，变量列保持固定顺序，常数列参与同样的算术。若主元是 $p\ne0$，要消去下方的 $q$，便从目标行减去主元行的 $q/p$ 倍。这个倍数必须作用于整行，不能只把所选位置改成零；只有整行运算才对应合法的方程操作。

常见错误与细节

常见错误

$[A\mid b]$ 中的直线不是可以忽略的墙

最后一列和前面的系数列属于同一个系统。若你只对系数做行变换而不改常 数列，你就不再是在改写同一个方程组。

常见错误

用 $0$ 乘一行不是合法步骤

合法的缩放操作要求乘数非零。用 $0$ 乘一行会抹掉方程，既不可逆，也不 保证保留解集。

常见错误

行变换改的是方程，不是变量的意思

行变换是把方程彼此线性组合，不是“把 $x_2$ 换成别的东西”，也不是改 变未知数本身的意义。

快速检查

思考检查

为什么 $R_i \leftarrow 0R_i$ 不是合法的行变换？

请从可逆性与资料流失两方面回答。

解答 · 答案

因为用 $0$ 乘一行会把整条方程抹掉，这一步无法逆转。既然资料被破坏， 它便不再保证保留原本的解集。

思考检查

若只是交换两条方程，系统的解集会改变吗？

不要只看外观，要想“同时满足全部方程”这件事本身有没有变。

解答 · 答案

不会。交换两行只改变方程的排列次序，并不改变哪些数组同时满足所有方 程，所以解集保持不变。

练习

思考检查

把系统 $x_1 - 2x_2 - x_3 + x_4 = 1$、$x_2 + x_3 - x_4 = 2$、$x_3 + 2x_4 = 3$ 写成增广矩阵。

即使某条方程没有出现某个变量，也要在该变量的栏位留出系数位置。

解答 · 引导解答

三条方程的系数分别是

$$(1, -2, -1, 1),\qquad (0, 1, 1, -1),\qquad (0, 0, 1, 2),$$

而常数列是 $(1, 2, 3)^t$。因此增广矩阵是

$$\left[ \begin{array}{cccc|c} 1 & -2 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 3 \end{array} \right].$$

思考检查

对同一个系统，用哪一个单一步骤可以消去第一条方程中的 $x_2$ 项？新的一条方程会是什么？

第一条方程中的 $x_2$ 系数是 $-2$，而第二条方程中的 $x_2$ 系数是 $1$。

解答 · 引导解答

可用

$$R_1 \leftarrow 2R_2 + R_1.$$

因为

$$2(x_2 + x_3 - x_4 = 2) + (x_1 - 2x_2 - x_3 + x_4 = 1)$$

会得到

$$x_1 + x_3 - x_4 = 5.$$

所以行变换后，第一条方程变成 $x_1 + x_3 - x_4 = 5$。

预备链接

这一页建立在 1.1 方程与解集 和 2.1 矩阵基础， 并为 2.3 高斯消元与 RREF 作准备。