3.6 分块矩阵

大型矩阵往往含有逐项阅读时不易看出的简单结构：前几列可能代表一组变量，其余列代表另一组变量，各组行也可能来自不同类型的方程。分块就是在不改变任何元素的前提下，把这些分组明确记录下来。

所以，分块记号只是观察层次的改变，并不是一种新的矩阵。每一步合法的分块运算，最终仍须由普通的逐项加法或行乘列法则来说明。它的优点，是在计算变大之前先把结构与维数关系显示出来。

选择能显示结构的分块

假设线性模型的输入分成大小为 $s_1,s_2$ 的两组，输出分成大小为 $r_1,r_2$ 的两组。表示这个模型的矩阵便自然分成四块；位置 $(i,j)$ 的块表示第 $j$ 组输入怎样影响第 $i$ 组输出。

分割线只有反映数学结构时才有帮助。常见选择会分离系数组、单位块、零块、重复模式，或线性变换的不同阶段。任意分割虽然合法，却不一定能简化问题。

每次运算前应问三件事：

1. 各分块行的高度及各分块列的宽度是多少？
2. 对整体矩阵而言，拟进行的运算是否有定义？
3. 若使用分块公式，其中每个乘积与每个和的维数是否相容？

第二与第三问必须分开。整体大小相同的两个矩阵总能逐项相加，即使显示出的分块线不同；此时不能做的，只是把当前两种分块表示中的块直接一一配对。

记录各块的大小

定义 3.6.1

（矩阵的分块）

设 $A \in \mathbb F^{m\times n}$，并选取正整数使

$$m=r_1+\cdots+r_p, \qquad n=s_1+\cdots+s_q.$$

把行依次分成高度为 $r_1,\ldots,r_p$ 的组，把列依次分成宽度为 $s_1,\ldots,s_q$ 的组，就可写成

$$A=[A_{ij}]_{1\leq i\leq p,\,1\leq j\leq q}, \qquad A_{ij}\in\mathbb F^{r_i\times s_j}.$$

$A_{ij}$ 是第 $i$ 个分块行、第 $j$ 个分块列中的子矩阵。同一分块行内各块都有 $r_i$ 行，同一分块列内各块都有 $s_j$ 列。

分块网格是附加在原矩阵上的记号；去掉分块线后仍是同一个 $m\times n$ 矩阵。增加分块线称为分割的细化，去掉分块线称为粗化。若同一矩阵上的两个分割不同，把双方所有水平与垂直分块线合在一起，就得到一个共同细化。

定义 3.6.2

（乘法相容的分块）

设

$$A=[A_{ij}]_{p\times q}, \qquad B=[B_{jk}]_{q\times \ell}.$$

若存在正整数 $r_i,s_j,t_k$，使得

$$A_{ij}\in\mathbb F^{r_i\times s_j}, \qquad B_{jk}\in\mathbb F^{s_j\times t_k},$$

就称两个分割对乘法相容。也就是说，$A$ 的第 $j$ 个分块列宽度 $s_j$ 必须逐组等于 $B$ 的第 $j$ 个分块行高度。内侧分块线的位置与数目要一致； $A$ 的外侧行分割和 $B$ 的外侧列分割则不必相同。

标量乘法不涉及第二个矩阵：标量直接乘到每一个已显示的分块即可。

不同分块行的高度不必相等，不同分块列的宽度也不必相等，块本身更不必是方阵，一个矩阵的分块行数与分块列数也不必相同。真正需要的是每条带状区域内维数一致：同一分块行共享一个高度，同一分块列共享一个宽度。把这些行高和列宽明确写出，通常比只凭图中的分块线判断相容性更可靠。

分块运算何时成立

定理 3.6.3

（分块加法与转置的相容性）

设 $A,B\in\mathbb F^{m\times n}$。

• 只要整体维数相同，普通矩阵和 $A+B$ 就有定义，与所用分块线无关。
• 若两者使用相同的行分割 $(r_1,\ldots,r_p)$ 与列分割 $(s_1,\ldots,s_q)$，则

$$A+B=[A_{ij}+B_{ij}]_{p\times q}.$$

• 若两种分块表示不同，可以去掉分块线、把两者重新作同一分块，或加入双方全部分块线形成共同细化；此后便可在共享网格中逐块相加。
• 若 $A=[A_{ij}]_{p\times q}$ 且 $A_{ij}\in\mathbb F^{r_i\times s_j}$，则转置矩阵位置 $(j,i)$ 的块满足

$$(A^T)_{ji}=A_{ij}^T, \qquad (A^T)_{ji}\in\mathbb F^{s_j\times r_i}.$$

转置会交换分块行与分块列，并把每一块本身转置。

定理 3.6.4

（分块乘法定理）

设

$$A=[A_{ij}]_{p\times q}, \qquad A_{ij}\in\mathbb F^{r_i\times s_j},$$

以及

$$B=[B_{jk}]_{q\times \ell}, \qquad B_{jk}\in\mathbb F^{s_j\times t_k}.$$

则普通乘积 $AB$ 有定义，并具有分块

$$AB=[C_{ik}]_{p\times\ell}, \qquad C_{ik}=(AB)_{ik}=\sum_{j=1}^{q}A_{ij}B_{jk}.$$

固定 $i,k$ 后，每个 $A_{ij}B_{jk}$ 都是 $r_i\times t_k$ 矩阵，所以这些项确实可以相加，且 $C_{ik}\in\mathbb F^{r_i\times t_k}$。

在 $2\times2$ 分块情形，公式就是

$$AB= \begin{bmatrix} A_{11}B_{11}+A_{12}B_{21} & A_{11}B_{12}+A_{12}B_{22}\\ A_{21}B_{11}+A_{22}B_{21} & A_{21}B_{12}+A_{22}B_{22} \end{bmatrix}.$$

它的外观与普通 $2\times2$ 乘法相同，却不能因此忽略维数或次序。矩阵块的乘法通常不可交换，每个和中的各项也必须同型。

为什么分组不会改变运算法则

证明

（为什么分块公式就是普通矩阵公式）

对加法，固定任意元素位置 $(a,b)$，$A+B$ 在该处就是 $a_{ab}+b_{ab}$。共享网格只把这些逐项和重新组成长方形，因此 $(i,j)$ 块正是 $A_{ij}+B_{ij}$。若原分块线不同，双方分块线的并集仍把同一批行与列分成连续小组，故共同细化总能让各块直接配对。

对转置，位置 $(a,b)$ 的元素移到 $(b,a)$。所以原来位于 $(i,j)$ 的长方形移到 $(j,i)$，且自身的行、列交换，得到 $A_{ij}^T$，维数由 $r_i\times s_j$ 变成 $s_j\times r_i$。

对乘法，固定属于 $A$ 第 $i$ 个分块行的一行，以及属于 $B$ 第 $k$ 个分块列的一列。普通的行乘列点积会对所有公共内坐标求和。把这个和按照 $s_1,\ldots,s_q$ 分组，第 $j$ 组的贡献恰是 $A_{ij}B_{jk}$ 中的对应元素。因此

$$(AB)_{ik}=A_{i1}B_{1k}+\cdots+A_{iq}B_{qk}.$$

分块乘法没有创造新法则；它只是把普通行乘列之和分组，既不漏项也不重复。

下面的图解把选择分割、检查维数和组合乘积的过程连起来。

从相容大小到分块乘积

例题 3.6.5

（带着维数读 2 × 2 符号公式）

设 $A$ 的分块行高为 $(r_1,r_2)$、分块列宽为 $(s_1,s_2)$，$B$ 的分块列宽为 $(t_1,t_2)$。例如

$$A_{11}\in\mathbb F^{r_1\times s_1}, \quad B_{12}\in\mathbb F^{s_1\times t_2}, \quad A_{12}\in\mathbb F^{r_1\times s_2}, \quad B_{22}\in\mathbb F^{s_2\times t_2}.$$

所以 $A_{11}B_{12}$ 与 $A_{12}B_{22}$ 都是 $r_1\times t_2$，从而

$$(AB)_{12}=A_{11}B_{12}+A_{12}B_{22} \in\mathbb F^{r_1\times t_2}.$$

这就是符号公式背后的维数检查；其他输出块也必须通过同样检查。

例题 3.6.6

（两种分块表示不同，普通加法仍有定义）

考虑

$$A= \begin{bmatrix} 1&0&2&1\\3&1&-1&2\\0&4&5&-2 \end{bmatrix}, \qquad B= \begin{bmatrix} 2&1&0&3\\-1&2&4&0\\5&0&1&1 \end{bmatrix}.$$

把 $A$ 的行、列分别按 $1+2$、$2+2$ 分割，把 $B$ 的行、列分别按 $2+1$、$1+3$ 分割。当前左上块分别是 $1\times2$ 与 $2\times1$，不能直接配对。但两个原矩阵同为 $3\times4$，所以

$$A+B= \begin{bmatrix} 3&1&2&4\\2&3&3&2\\5&4&6&-1 \end{bmatrix}.$$

若要逐块计算，取共同的行分割 $1+1+1$ 和列分割 $1+1+2$ 即可。障碍来自当前记号，而不是矩阵和本身。

例题 3.6.7

（不同尺寸的矩形分块及其转置）

把一个 $3\times5$ 矩阵的行按 $1+2$、列按 $2+3$ 分割：

$$A=\left[ \begin{array}{cc|ccc} 1&2&0&3&4\\ \hline 5&6&7&8&9\\ 0&1&-1&2&3 \end{array}\right].$$

四块大小依次为 $1\times2,1\times3,2\times2,2\times3$。转置后

$$A^T=\left[ \begin{array}{c|cc} 1&5&0\\ 2&6&1\\ \hline 0&7&-1\\ 3&8&2\\ 4&9&3 \end{array}\right].$$

新的行分割是 $2+3$，列分割是 $1+2$；原右上 $1\times3$ 块成为左下 $3\times1$ 块。块不必是方阵，转置只会交换两个维数。

例题 3.6.8

（完整的数值分块乘法）

采用外侧行分割 $(2,1)$、内侧分割 $(1,2)$ 与外侧列分割 $(2,1)$：

$$A=\left[ \begin{array}{c|cc} 1&2&0\\3&-1&4\\ \hline 2&1&5 \end{array}\right], \qquad B=\left[ \begin{array}{cc|c} 1&2&3\\ \hline 0&1&2\\4&-1&1 \end{array}\right].$$

这里 $A_{11}$ 是 $2\times1$，$A_{12}$ 是 $2\times2$，$B_{11}$ 是 $1\times2$，$B_{21}$ 是 $2\times2$。四个输出块为

$$\begin{aligned} C_{11}&=A_{11}B_{11}+A_{12}B_{21} =\begin{bmatrix}1&4\\19&1\end{bmatrix},\\ C_{12}&=A_{11}B_{12}+A_{12}B_{22} =\begin{bmatrix}7\\11\end{bmatrix},\\ C_{21}&=A_{21}B_{11}+A_{22}B_{21} =\begin{bmatrix}22&0\end{bmatrix},\\ C_{22}&=A_{21}B_{12}+A_{22}B_{22}=\begin{bmatrix}13\end{bmatrix}. \end{aligned}$$

例如右上块的实际计算是

$$C_{12} =\begin{bmatrix}1\\3\end{bmatrix}[3] +\begin{bmatrix}2&0\\-1&4\end{bmatrix} \begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}3\\9\end{bmatrix} +\begin{bmatrix}4\\2\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}7\\11\end{bmatrix}.$$

组合各块便得到

$$AB= \begin{bmatrix} 1&4&7\\19&1&11\\22&0&13 \end{bmatrix}.$$

分块乘法前的维数检查

概念视角代数

内侧分块必须对应同一组坐标

计算输出块 $(i,k)$ 前，先逐项写出

$$(r_i\times s_j)(s_j\times t_k)=r_i\times t_k.$$

对每个内侧指标 $j$ 都要检查。重复的 $s_j$ 保证各乘积有定义；保持不变的 $r_i,t_k$ 保证所得乘积同型并可相加。最后还要核对：答案的分块行高总和等于 $A$ 的行数，分块列宽总和等于 $B$ 的列数。

对任何符号乘积之和，都要作两项检查：每个乘积须有定义，所有待相加结果须同型。在真正相容的分块网格中，固定的 $r_i,t_k$ 会自动保证第二项。若只是任意罗列一组不共享相应分块行高与分块列宽的子矩阵，就不能对它套用这个定理。

具体设 $A$ 是 $2\times4$ 矩阵，$B$ 是 $4\times3$ 矩阵。若 $A$ 的列按 $1+3$ 分组，$B$ 的行却按 $2+2$ 分组，普通乘积仍有定义，但目前的分块不能直接相乘：第一个拟议块乘积的内侧大小分别是一与二，第二个则是三与二，都不匹配。

保留双方的分割位置，把共同的内侧坐标细分成 $1+1+2$，并把所得分块写为

$$A=[C_1\ C_2\ C_3],\qquad B=\begin{bmatrix}D_1\\D_2\\D_3\end{bmatrix}.$$

此时 $C_1,C_2$ 是 $2\times1$，$C_3$ 是 $2\times2$；$D_1,D_2$ 是 $1\times3$，$D_3$ 是 $2\times3$。所以 $AB=C_1D_1+C_2D_2+C_3D_3$，三个待相加矩阵都是 $2\times3$。细化分割修复了分块计算，却没有改变任何矩阵元素。共同的内侧分组说明哪些坐标一起贡献一个乘积，因而是公式成立的依据之一。

常见错误

常见错误

（混淆矩阵和与一种特定的分块表示）

只要整体维数相同，不同分块线不会使 $A+B$ 无定义；它们只使当前分块中的块不能直接配对。可去掉分块线、重新作相同分块，或取共同细化。

常见错误

（只检查整体矩阵的维数）

$m\times n$ 矩阵能乘 $n\times u$ 矩阵，并不代表任意分块显示都相容。内侧分块边界也须一致，否则应先重新分块。

常见错误

（把同位置的块相乘，而不是分块行乘分块列）

$(AB)_{ik}$ 是对内侧指标 $j$ 求和，不只是 $A_{ik}B_{ik}$。必须按原次序让 $A$ 的完整分块行与 $B$ 的完整分块列配对。

常见错误

（误以为分块乘积可以交换次序）

即使 $A_{ij}B_{jk}$ 与 $B_{jk}A_{ij}$ 都有定义，两者也未必相等。定理中的次序继承自普通矩阵乘法，不能任意颠倒。

分块计算的检查要点

• 行分割与列分割共同决定分块；同一分块行有共同高度，同一分块列有共同宽度。
• 相同整体维数足以保证普通加法有定义。只有直接逐块配对才要求分块表示一致；不同分割可改成共同细化。
• 转置交换分块网格并逐块转置：$(A^T)_{ji}=A_{ij}^T$。
• 若 $A_{ij}\in\mathbb F^{r_i\times s_j}$、 $B_{jk}\in\mathbb F^{s_j\times t_k}$，则 $(AB)_{ik}=\sum\limits_jA_{ij}B_{jk}$ 是 $r_i\times t_k$ 矩阵。
• 分块乘法只是把普通行乘列的内侧求和按连续坐标组整理；实际计算前必须先检查维数。

练习

快速检查

（为什么两个分块矩阵要有相同分割方式，才能逐块相加？）

请在答案中使用“对应块”一词。

解答 · 答案

直接逐块相加时，一边的每个块都必须在另一边找到同样大小的对应块。这是对分块表示的要求；只要整体维数相同，原矩阵仍可逐项相加。

快速检查

（四个因子 $A_{11}$、$B_{12}$、$A_{12}$、$B_{22}$ 的大小依次为 $2\times1$、$1\times4$、$2\times3$、$3\times4$。求 $A_{11}B_{12}+A_{12}B_{22}$ 的大小。）

先检查两个乘积，再判断它们能否相加。

解答 · 答案

两个乘积的大小都是 $2\times4$，各自相乘的内维数分别是 $1$ 和 $3$。因此它们可以相加，右上输出块的大小为 $2\times4$。

快速检查

（请解释：为什么分块乘法本质上仍然是普通矩阵乘法？）

答案中请用到“同一条规则”。

解答 · 引导解答

分块乘法使用普通乘法的同一条规则；它只按照分块线，把每个行乘列点积中的求和项分组，没有增加、遗漏或改变任何求和项的次序。

快速检查

（两个 $4\times4$ 矩阵的行分组分别为 $1+3$ 和 $2+2$，列分组同为 $2+2$。求能让两者直接逐块相加的最粗共同行细化。）

在同一个四行表格中标出双方的行分割位置。

解答 · 引导解答

保留第 $1$ 行和第 $2$ 行之后的分割线，共同行分组便是 $1+1+2$；列分组仍为 $2+2$。这样两者的对应块大小相同，而所有矩阵元素都没有改变。

快速检查

（根据给出的分块，计算乘积的右上块。）

设

$$A_{11}=\begin{bmatrix}1&2\end{bmatrix}, \quad A_{12}=\begin{bmatrix}-1\end{bmatrix}, \quad B_{12}=\begin{bmatrix}1&0\\3&2\end{bmatrix}, \quad B_{22}=\begin{bmatrix}-2&1\end{bmatrix}.$$

求 $(AB)_{12}=A_{11}B_{12}+A_{12}B_{22}$，并写出其维数。

解答 · 引导解答

两个乘积的形状分别为 $(1\times2)(2\times2)=1\times2$ 与 $(1\times1)(1\times2)=1\times2$，所以可以相加。计算得

$$A_{11}B_{12}=\begin{bmatrix}7&4\end{bmatrix}, \qquad A_{12}B_{22}=\begin{bmatrix}2&-1\end{bmatrix},$$

从而

$$(AB)_{12}=\begin{bmatrix}9&3\end{bmatrix}.$$

答案是 $1\times2$ 块。先写维数，正好说明最后的数值加法为何合法。

相关笔记

若普通矩阵乘法的模式仍未稳固，可先回看 3.2 矩阵乘法、单位矩阵与线性方程组。

下一章可接着读 4.1 齐次方程组与零空间。稍后的 5.1 可逆矩阵 会把矩阵结构连到可逆性。

补充练习与完整解答

第 29 题

本题的矩阵及未另行说明的标量参数均取实数。矩阵尺寸为正整数；O 表示相应尺寸的零矩阵。

题目

$$v_1,\ldots,v_n\in\mathbb R^m,\quad \lambda_1,\ldots,\lambda_n\in\mathbb R.$$

由矩阵相等的定义或其他方法证明 $[v_1\ \cdots\ v_n](\lambda_1,\ldots,\lambda_n)^{\mathsf T}=\sum\limits_j\lambda_jv_j$。更一般地，若 Aᵢ 为 m×nᵢ、Bᵢ 为 nᵢ×p（i=1,…,q），则横向分块行乘纵向分块列等于 ΣᵢAᵢBᵢ。也说明该一般结论。

解答

$$\left([v_1\ \cdots\ v_n]\begin{pmatrix}\lambda_1\\\vdots\\\lambda_n\end{pmatrix}\right)_r=\sum_{j=1}^n(v_j)_r\lambda_j=\left(\sum_{j=1}^n\lambda_jv_j\right)_r\qquad(1\le r\le m).$$ $$[A_1\ \cdots\ A_q]\begin{pmatrix}B_1\\\vdots\\B_q\end{pmatrix}=\sum_{i=1}^q A_iB_i.$$ $$N_0=0,\quad N_i=\sum_{h=1}^i n_h,\quad \sum_{k=1}^{N_q}a_{rk}b_{ks}=\sum_{i=1}^q\sum_{t=1}^{n_i}(A_i)_{rt}(B_i)_{ts}=\left(\sum_{i=1}^qA_iB_i\right)_{rs}.$$

第一个公式在每个坐标 r 上成立，因此两列向量相等。备注中所有 AᵢBᵢ 均为 m×p。将内部指标 k 分成互不重叠的连续区间 Nᵢ₋₁+1,…,Nᵢ，再令 k=Nᵢ₋₁+t，得到所列有限和恒等式，逐项证明一般公式。

第 30 题

本题的矩阵及未另行说明的标量参数均取实数。矩阵尺寸为正整数；O 表示相应尺寸的零矩阵。

题目

$$A\in M_{m\times n}(\mathbb R),\qquad B=[B_1\ \cdots\ B_s],\quad B_i\in M_{n\times p_i}(\mathbb R).$$

由乘法定义或其他方法证明 AB=[AB₁ … ABₛ]。类似地，若 A 改为 Aᵢ∈$M_{m_i\times n}$ 的纵向堆叠，B∈$M_{n\times p}$，则 AB 是 AᵢB 的纵向堆叠。也说明此类似结论。

解答

$$P_0=0,\quad P_i=\sum_{h=1}^i p_h,\qquad (AB)_{r,P_{i-1}+j}=\sum_{k=1}^n a_{rk}(B_i)_{kj}=(AB_i)_{rj}\quad(1\le j\le p_i).$$ $$AB=[AB_1\ \cdots\ AB_s].$$ $$A=\begin{pmatrix}A_1\\\vdots\\A_s\end{pmatrix},\quad M_0=0,\quad M_i=\sum_{h=1}^i m_h\quad\Longrightarrow\quad (AB)_{M_{i-1}+r,j}=\sum_{k=1}^n(A_i)_{rk}b_{kj}=(A_iB)_{rj}.$$ $$AB=\begin{pmatrix}A_1B\\\vdots\\A_sB\end{pmatrix}.$$

在横向分块中，Pᵢ₋₁+j 是 Bᵢ 的局部第 j 列对应的整体列号。所列等式覆盖每一行与每一个局部列，故证明第一个结果。纵向分块中，Mᵢ₋₁+r 是 Aᵢ 的局部第 r 行对应的整体行号，第二个等式覆盖全部输出元素，证明备注。各乘积的尺寸均相容。

题 11

设$A,A^\prime$为$m\times n$矩阵，$B,B^\prime$为$p\times n$矩阵。若$A\sim A^\prime$且$B\sim B^\prime$，证明$\begin{bmatrix}A\\B\end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix}A^\prime\\B^\prime\end{bmatrix}$。

完整解答

以下在实数上讨论。行替换的源行与目标行不同，缩放系数非零；操作作用于整行，包括所有增广块。有限链中第一步先作用，所以合并左乘矩阵中的初等矩阵按相反次序排列。

取一条把$A$化为$A^\prime$的有限操作链，仅在堆叠矩阵的前$m$行上施行：交换或行相加只使用$1,\ldots,m$中的行号，缩放也只改变相应顶行。因此下面$p$行不变，得到$[A^\prime;B]$。再取把$B$化为$B^\prime$的有限链，把其中每个行号$i$换成$m+i$后施行。这些都是下方$p$行之间的合法操作，保持顶块不变，得到$[A^\prime;B^\prime]$。拼接后的链有限，且始终作用于同样的$(m+p)\times n$尺寸，因而证明结论。任一链为空的情况也包含在内。

题 12

设$A,B$为$m\times n$矩阵，在前$p$列后分块为$A=[A^\prime\mid A^{\prime\prime}]$、$B=[B^\prime\mid B^{\prime\prime}]$。(a) 证明：$A\sim B$当且仅当存在同一行变换序列，同时把$A^\prime$化为$B^\prime$、把$A^{\prime\prime}$化为$B^{\prime\prime}$。(b) 对以下断言给出反例并说明：分别有$A^\prime\sim B^\prime$及$A^{\prime\prime}\sim B^{\prime\prime}$，就足以推出$A\sim B$。

完整解答

以下在实数上讨论。行替换的源行与目标行不同，缩放系数非零；操作作用于整行，包括所有增广块。有限链中第一步先作用，所以合并左乘矩阵中的初等矩阵按相反次序排列。

(a) 每个初等行变换对整行的每一项使用同一规则：交换整整两行，缩放把一行每项乘相同系数，行替换在每一列都加上源行的同一倍数。因此，对水平拼接矩阵施行一步操作，等价于对各块施行同一步操作。对有限序列长度归纳，便知从$A$到$B$的序列在两块上分别限制为同一序列。反过来，若同一序列把两块都化为各自目标块，将其作用于整体，就同时得到两个目标块，即$B$。两个方向均已证明。

(b) 取$m=1,n=2,p=1$，$A=[1\mid1]$、$B=[1\mid2]$。首块相等，空链就证明行等价；第二块$[1]$与$[2]$可由乘$2$相连，故也行等价。但矩阵只有一行，没有两条不同行可交换或用于行替换；所有合法步骤只有非零数乘这一行。因此任意有限链都把$A$送到某个$[c,c]$，其中$c\ne0$。它不可能等于$[1,2]$，因为首项迫使$c=1$，第二项却迫使$c=2$。所以$A,B$并不行等价；缺少的正是两块使用同一序列的条件。