一旦有了内积，便可以挑出一类几何上特别简洁的向量族。正交性很有用，因为它能把坐标方向分开：对一个向量取内积时，所有与它正交的方向都会被消去。在正交基中，坐标系数因此可以直接由内积读出，不必每次重新解一个线性系统。
正交集定义中的非零条件不可省略。等式 ⟨ 0 , v ⟩ = 0 \langle0,v\rangle=0 ⟨ 0 , v ⟩ = 0 ∥ 0 ∥ 2 \|0\|^2 ∥0 ∥ 2
正交
若向量 v , w ∈ R m v,w\in\mathbb{R}^m v , w ∈ R m
⟨ v , w ⟩ = 0 , \langle v,w\rangle=0, ⟨ v , w ⟩ = 0 , 则称 v v v w w w 正交 ，记作
v ⊥ w . v\perp w. v ⊥ w . 这个定义是代数性的，所以适用于任意维度。在 R 2 \mathbb{R}^2 R 2 R 3 \mathbb{R}^3 R 3
令
v = [ 1 2 3 ] , w = [ − 1 − 1 1 ] . v=\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix},\qquad
w=\begin{bmatrix}-1\\-1\\1\end{bmatrix}. v = 1 2 3 , w = − 1 − 1 1 . 则
⟨ v , w ⟩ = 1 ( − 1 ) + 2 ( − 1 ) + 3 ( 1 ) = 0. \langle v,w\rangle=1(-1)+2(-1)+3(1)=0. ⟨ v , w ⟩ = 1 ( − 1 ) + 2 ( − 1 ) + 3 ( 1 ) = 0. 两个向量都非零，所以它们正交。它们的范数平方分别是 ∥ v ∥ 2 = 14 \|v\|^2=14 ∥ v ∥ 2 = 14 ∥ w ∥ 2 = 3 \|w\|^2=3 ∥ w ∥ 2 = 3
正交集
有限集合 S = { v 1 , … , v k } S=\{v_1,\dots,v_k\} S = { v 1 , … , v k }
集内每个向量都非零；
当 i ≠ j i\neq j i = j v i ⊥ v j v_i\perp v_j v i ⊥ v j
则称 S S S R m \mathbb{R}^m R m 正交集 。
这两个条件各有作用。两两内积为零分开不同方向，而非零条件防止零向量冒充一个方向。若允许零向量，集合 { 0 , e 1 } \{0,e_1\} { 0 , e 1 } ⟨ e 1 , e 1 + e 2 ⟩ = 1 \langle e_1,e_1+e_2\rangle=1 ⟨ e 1 , e 1 + e 2 ⟩ = 1
若 S = { v 1 , … , v k } S=\{v_1,\dots,v_k\} S = { v 1 , … , v k } R m \mathbb{R}^m R m S S S k ≤ m k\le m k ≤ m
假设有线性关系
α 1 v 1 + ⋯ + α k v k = 0. \alpha_1v_1+\cdots+\alpha_kv_k=0. α 1 v 1 + ⋯ + α k v k = 0. 固定一个指标 i i i v i v_i v i
0 = ⟨ ∑ j = 1 k α j v j , v i ⟩ = ∑ j = 1 k α j ⟨ v j , v i ⟩ . 0=\left\langle\sum_{j=1}^k\alpha_jv_j,v_i\right\rangle
=\sum_{j=1}^k\alpha_j\langle v_j,v_i\rangle. 0 = ⟨ j = 1 ∑ k α j v j , v i ⟩ = j = 1 ∑ k α j ⟨ v j , v i ⟩ . 当 j ≠ i j\neq i j = i
0 = α i ⟨ v i , v i ⟩ = α i ∥ v i ∥ 2 . 0=\alpha_i\langle v_i,v_i\rangle=\alpha_i\|v_i\|^2. 0 = α i ⟨ v i , v i ⟩ = α i ∥ v i ∥ 2 . 因为 v i ≠ 0 v_i\neq0 v i = 0 ∥ v i ∥ 2 > 0 \|v_i\|^2>0 ∥ v i ∥ 2 > 0 α i = 0 \alpha_i=0 α i = 0 i i i R m \mathbb{R}^m R m m m m
这个证明也提供一个实用方法：想孤立某个系数，就对携带该系数的向量取内积。正交性消除交叉项，非零范数让除法合法。
正交集中的坐标
系数公式只适用于目标向量属于正交集的张成空间这一情况。这个成员条件保证所提出的线性组合确实是目标向量的表示。
设 S = { v 1 , … , v k } S=\{v_1,\dots,v_k\} S = { v 1 , … , v k }
v = α 1 v 1 + ⋯ + α k v k . v=\alpha_1v_1+\cdots+\alpha_kv_k. v = α 1 v 1 + ⋯ + α k v k . 则对每个 i i i
α i = ⟨ v , v i ⟩ ∥ v i ∥ 2 . \alpha_i=\frac{\langle v,v_i\rangle}{\|v_i\|^2}. α i = ∥ v i ∥ 2 ⟨ v , v i ⟩ . 因此
v = ∑ i = 1 k ⟨ v , v i ⟩ ∥ v i ∥ 2 v i . v=\sum_{i=1}^k\frac{\langle v,v_i\rangle}{\|v_i\|^2}v_i. v = i = 1 ∑ k ∥ v i ∥ 2 ⟨ v , v i ⟩ v i . 只要对表示式取与 v i v_i v i ⟨ v , v i ⟩ = α i ∥ v i ∥ 2 \langle v,v_i\rangle=\alpha_i\|v_i\|^2 ⟨ v , v i ⟩ = α i ∥ v i ∥ 2 v i v_i v i
若 S = { v 1 , … , v k } S=\{v_1,\dots,v_k\} S = { v 1 , … , v k }
v = ∑ i = 1 k α i v i , w = ∑ i = 1 k β i v i , v=\sum_{i=1}^k\alpha_i v_i,\qquad
w=\sum_{i=1}^k\beta_i v_i, v = i = 1 ∑ k α i v i , w = i = 1 ∑ k β i v i , 则
⟨ v , w ⟩ = ∑ i = 1 k α i β i ∥ v i ∥ 2 . \langle v,w\rangle=\sum_{i=1}^k\alpha_i\beta_i\|v_i\|^2. ⟨ v , w ⟩ = i = 1 ∑ k α i β i ∥ v i ∥ 2 . 特别地，
∥ v ∥ 2 = ∑ i = 1 k α i 2 ∥ v i ∥ 2 . \|v\|^2=\sum_{i=1}^k\alpha_i^2\|v_i\|^2. ∥ v ∥ 2 = i = 1 ∑ k α i 2 ∥ v i ∥ 2 . 利用内积在两个位置的线性性展开：
⟨ v , w ⟩ = ⟨ ∑ i α i v i , ∑ j β j v j ⟩ = ∑ i ∑ j α i β j ⟨ v i , v j ⟩ . \langle v,w\rangle
=\left\langle\sum_i\alpha_i v_i,\sum_j\beta_jv_j\right\rangle
=\sum_i\sum_j\alpha_i\beta_j\langle v_i,v_j\rangle. ⟨ v , w ⟩ = ⟨ i ∑ α i v i , j ∑ β j v j ⟩ = i ∑ j ∑ α i β j ⟨ v i , v j ⟩ . 当 i ≠ j i\neq j i = j i = j i=j i = j α i β i ∥ v i ∥ 2 \alpha_i\beta_i\|v_i\|^2 α i β i ∥ v i ∥ 2 w = v w=v w = v β i = α i \beta_i=\alpha_i β i = α i
下面的图解集中说明这个机制：两两正交会消除交叉项，所以每个坐标系数都可以由一个独立的内积计算读出。它也预告为什么把正交基规范化后，权重和分母都会变成 1 1 1
由正交集走到标准正交坐标公式 观看正交性如何消除交叉项，让非零正交集自动线性无关，并在规范化简化公式之前，先用内积直接读出坐标。
内积为零
对 x=(1,2) 与 y=(-2,1)，点积是 1(-2)+2(1)=0，所以两向量正交。
两两检查
正交集必须非零且两两正交；向量 v1=(1,1,1)、v2=(1,-1,0)、v3=(1,1,-2) 通过全部三个内积检查。
推出线性无关
把 alpha_1v_1+...+alpha_kv_k=0 与 v_i 取内积，所有交叉项都消失，只剩 alpha_i||v_i||^2=0。
读出坐标
对 v=(1,2,3)，系数是 alpha_1=6/3=2、alpha_2=-1/2、alpha_3=-3/6=-1/2，因此不用再解新的线性系统。
规范化方向
每个正交向量除以自身范数，得到 q_i=v_i/||v_i||。方向仍然正交，而每个新向量长度为 1。
标准正交公式
在标准正交基中，||q_i||=1，所以坐标公式变成 v=<v,q_1>q_1+...+<v,q_k>q_k。
正交性把坐标恢复拆成互不干扰的内积读数。把正交基规范化后，方向保持不变，而每个分母都变成 1。
令
v 1 = [ 1 1 1 ] , v 2 = [ 1 − 1 0 ] , v 3 = [ 1 1 − 2 ] , x = [ 1 2 3 ] . v_1=\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix},\quad
v_2=\begin{bmatrix}1\\-1\\0\end{bmatrix},\quad
v_3=\begin{bmatrix}1\\1\\-2\end{bmatrix},\qquad
x=\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}. v 1 = 1 1 1 , v 2 = 1 − 1 0 , v 3 = 1 1 − 2 , x = 1 2 3 . 先检查几何关系：
v 1 ⋅ v 2 = 0 , v 1 ⋅ v 3 = 0 , v 2 ⋅ v 3 = 0 , v_1\cdot v_2=0,\qquad v_1\cdot v_3=0,\qquad v_2\cdot v_3=0, v 1 ⋅ v 2 = 0 , v 1 ⋅ v 3 = 0 , v 2 ⋅ v 3 = 0 , 并且
∥ v 1 ∥ 2 = 3 , ∥ v 2 ∥ 2 = 2 , ∥ v 3 ∥ 2 = 6. \|v_1\|^2=3,\qquad \|v_2\|^2=2,\qquad \|v_3\|^2=6. ∥ v 1 ∥ 2 = 3 , ∥ v 2 ∥ 2 = 2 , ∥ v 3 ∥ 2 = 6. 所以这是一个正交集。由于三个向量都非零且两两正交，根据定理它们线性无关。
R 3 \mathbb{R}^3 R 3 R 3 \mathbb{R}^3 R 3 x ∈ span { v 1 , v 2 , v 3 } x\in\operatorname{span}\{v_1,v_2,v_3\} x ∈ span { v 1 , v 2 , v 3 }
α 1 = ⟨ x , v 1 ⟩ ∥ v 1 ∥ 2 = 6 3 = 2 , α 2 = ⟨ x , v 2 ⟩ ∥ v 2 ∥ 2 = − 1 2 = − 1 2 , α 3 = ⟨ x , v 3 ⟩ ∥ v 3 ∥ 2 = − 3 6 = − 1 2 . \alpha_1=\frac{\langle x,v_1\rangle}{\|v_1\|^2}=\frac{6}{3}=2,\quad
\alpha_2=\frac{\langle x,v_2\rangle}{\|v_2\|^2}=\frac{-1}{2}=-\frac12,\quad
\alpha_3=\frac{\langle x,v_3\rangle}{\|v_3\|^2}=\frac{-3}{6}=-\frac12. α 1 = ∥ v 1 ∥ 2 ⟨ x , v 1 ⟩ = 3 6 = 2 , α 2 = ∥ v 2 ∥ 2 ⟨ x , v 2 ⟩ = 2 − 1 = − 2 1 , α 3 = ∥ v 3 ∥ 2 ⟨ x , v 3 ⟩ = 6 − 3 = − 2 1 . 代回去检查：
2 v 1 − 1 2 v 2 − 1 2 v 3 = [ 2 2 2 ] + [ − 1 2 1 2 0 ] + [ − 1 2 − 1 2 1 ] = [ 1 2 3 ] = x . 2v_1-\frac12v_2-\frac12v_3
=\begin{bmatrix}2\\2\\2\end{bmatrix}
+\begin{bmatrix}-\frac12\\\frac12\\0\end{bmatrix}
+\begin{bmatrix}-\frac12\\-\frac12\\1\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}=x. 2 v 1 − 2 1 v 2 − 2 1 v 3 = 2 2 2 + − 2 1 2 1 0 + − 2 1 − 2 1 1 = 1 2 3 = x . 加权范数公式提供另一项检查：
∥ x ∥ 2 = 2 2 ( 3 ) + ( − 1 2 ) 2 ( 2 ) + ( − 1 2 ) 2 ( 6 ) = 12 + 1 2 + 3 2 = 14. \|x\|^2=2^2(3)+\left(-\frac12\right)^2(2)+
\left(-\frac12\right)^2(6)=12+\frac12+\frac32=14. ∥ x ∥ 2 = 2 2 ( 3 ) + ( − 2 1 ) 2 ( 2 ) + ( − 2 1 ) 2 ( 6 ) = 12 + 2 1 + 2 3 = 14. 正交基与标准正交基
设 V V V R m \mathbb{R}^m R m S S S V V V S S S V V V 正交基 。
由于正交集已经自动线性无关，所以要检查一个正交集是不是正交基，只需要再检查它是否张成所讨论的子空间。
设 V V V R m \mathbb{R}^m R m S S S V V V S S S V V V S S S V V V
正向是基底定义的一部分；反向中，张成性补上缺少的条件，而线性无关定理补上另一个条件。这个判准提醒我们：正交族可以独立，却未必张成整个环境空间。
集合 S = { v 1 , … , v k } S=\{v_1,\dots,v_k\} S = { v 1 , … , v k } 1 1 1 S S S 标准正交集 。等价地，
⟨ v i , v j ⟩ = { 1 , i = j , 0 , i ≠ j . \langle v_i,v_j\rangle=
\begin{cases}
1,&i=j,\\
0,&i\neq j.
\end{cases} ⟨ v i , v j ⟩ = { 1 , 0 , i = j , i = j . 既是标准正交集又是基底的集合称为 标准正交基 。零子空间 { 0 } \{0\} { 0 }
若 S = { v 1 , … , v k } S=\{v_1,\dots,v_k\} S = { v 1 , … , v k }
v ∈ span { v 1 , … , v k } , v\in\operatorname{span}\{v_1,\dots,v_k\}, v ∈ span { v 1 , … , v k } , 则
v = ⟨ v , v 1 ⟩ v 1 + ⋯ + ⟨ v , v k ⟩ v k . v=\langle v,v_1\rangle v_1+\cdots+\langle v,v_k\rangle v_k. v = ⟨ v , v 1 ⟩ v 1 + ⋯ + ⟨ v , v k ⟩ v k . 若 v = ∑ i α i v i v=\sum\limits_i\alpha_i v_i v = i ∑ α i v i
∥ v ∥ 2 = α 1 2 + ⋯ + α k 2 . \|v\|^2=\alpha_1^2+\cdots+\alpha_k^2. ∥ v ∥ 2 = α 1 2 + ⋯ + α k 2 . 因为每个向量的范数是 1 1 1
成员条件是公式的一部分
反例模式
系数公式不能产生缺少的分量 在 R 2 \mathbb{R}^2 R 2 S = { e 1 } S=\{e_1\} S = { e 1 } v = e 2 v=e_2 v = e 2 v ∉ span { e 1 } v\notin\operatorname{span}\{e_1\} v ∈ / span { e 1 }
⟨ e 2 , e 1 ⟩ ∥ e 1 ∥ 2 e 1 = 0 ≠ e 2 . \frac{\langle e_2,e_1\rangle}{\|e_1\|^2}e_1=0\neq e_2. ∥ e 1 ∥ 2 ⟨ e 2 , e 1 ⟩ e 1 = 0 = e 2 . 所以只有先确认 v ∈ span ( S ) v\in\operatorname{span}(S) v ∈ span ( S ) v v v v v v span ( S ) \operatorname{span}(S) span ( S )
r = v − ∑ i ⟨ v , v i ⟩ ∥ v i ∥ 2 v i r=v-\sum_i\frac{\langle v,v_i\rangle}{\|v_i\|^2}v_i r = v − i ∑ ∥ v i ∥ 2 ⟨ v , v i ⟩ v i 与每个 v i v_i v i
规范化
若 S = { v 1 , … , v k } S=\{v_1,\dots,v_k\} S = { v 1 , … , v k }
S ′ = { v 1 ∥ v 1 ∥ , … , v k ∥ v k ∥ } S'=\left\{\frac{v_1}{\|v_1\|},\dots,\frac{v_k}{\|v_k\|}\right\} S ′ = { ∥ v 1 ∥ v 1 , … , ∥ v k ∥ v k } 是标准正交集，而且 span ( S ′ ) = span ( S ) \operatorname{span}(S')=\operatorname{span}(S) span ( S ′ ) = span ( S ) S S S V V V S ′ S' S ′ V V V
每个除数都为正，因为对应向量非零。用非零数缩放向量会保留所有线性组合，因而保留张成空间；同时
⟨ v i / ∥ v i ∥ , v j / ∥ v j ∥ ⟩ = 0 \langle v_i/\|v_i\|,v_j/\|v_j\|\rangle=0 ⟨ v i /∥ v i ∥ , v j /∥ v j ∥ ⟩ = 0 i ≠ j i\neq j i = j 1 1 1 ( 1 , 0 ) (1,0) ( 1 , 0 ) ( 1 , 1 ) (1,1) ( 1 , 1 ) 1 / 2 1/\sqrt2 1/ 2
使用坐标例中的正交基，定义
u 1 = v 1 3 , u 2 = v 2 2 , u 3 = v 3 6 . u_1=\frac{v_1}{\sqrt3},\qquad
u_2=\frac{v_2}{\sqrt2},\qquad
u_3=\frac{v_3}{\sqrt6}. u 1 = 3 v 1 , u 2 = 2 v 2 , u 3 = 6 v 3 . 张成空间没有改变，而且规范化后的向量满足 ⟨ u i , u j ⟩ = δ i j \langle u_i,u_j\rangle=\delta_{ij} ⟨ u i , u j ⟩ = δ ij x x x
⟨ x , u 1 ⟩ = 2 3 , ⟨ x , u 2 ⟩ = − 1 2 , ⟨ x , u 3 ⟩ = − 3 6 . \langle x,u_1\rangle=2\sqrt3,\qquad
\langle x,u_2\rangle=-\frac1{\sqrt2},\qquad
\langle x,u_3\rangle=-\frac3{\sqrt6}. ⟨ x , u 1 ⟩ = 2 3 , ⟨ x , u 2 ⟩ = − 2 1 , ⟨ x , u 3 ⟩ = − 6 3 . 因此
x = 2 3 u 1 − 1 2 u 2 − 3 6 u 3 , x=2\sqrt3\,u_1-\frac1{\sqrt2}u_2-\frac3{\sqrt6}u_3, x = 2 3 u 1 − 2 1 u 2 − 6 3 u 3 , 并且
∥ x ∥ 2 = ( 2 3 ) 2 + ( − 1 2 ) 2 + ( − 3 6 ) 2 = 12 + 1 2 + 3 2 = 14. \|x\|^2=(2\sqrt3)^2+\left(-\frac1{\sqrt2}\right)^2+
\left(-\frac3{\sqrt6}\right)^2=12+\frac12+\frac32=14. ∥ x ∥ 2 = ( 2 3 ) 2 + ( − 2 1 ) 2 + ( − 6 3 ) 2 = 12 + 2 1 + 2 3 = 14. 非零向量、张成性与投影
正交集中的向量线性无关，但未必张成目标空间：{ e 1 } \{e_1\} { e 1 } R 2 \mathbb{R}^2 R 2
必须区分“两个向量正交”和“一个集合是正交集”。等式 ⟨ v , w ⟩ = 0 \langle v,w\rangle=0 ⟨ v , w ⟩ = 0 v i v_i v i ∥ v i ∥ 2 \|v_i\|^2 ∥ v i ∥ 2 v i ≠ 0 v_i\neq0 v i = 0
系数公式还有一个边界条件。表达式
∑ i ⟨ v , v i ⟩ ∥ v i ∥ 2 v i \sum_i\frac{\langle v,v_i\rangle}{\|v_i\|^2}v_i i ∑ ∥ v i ∥ 2 ⟨ v , v i ⟩ v i 总会给出正交集张成空间中的向量，但只有在 v v v v v v
加权公式也说明了标准正交公式为何方便。在正交基中，较长的基向量对范数的贡献带有权重 ∥ v i ∥ 2 \|v_i\|^2 ∥ v i ∥ 2 1 1 1 α i = ⟨ v , v i ⟩ / ∥ v i ∥ 2 \alpha_i=\langle v,v_i\rangle/\|v_i\|^2 α i = ⟨ v , v i ⟩ /∥ v i ∥ 2 α i = ⟨ v , v i ⟩ \alpha_i=\langle v,v_i\rangle α i = ⟨ v , v i ⟩
不能把标准正交基的系数公式用于仅仅正交的向量族，也不能在未确认分母非零前使用正交系数公式。对于非单位的正交族，∥ v i ∥ 2 \|v_i\|^2 ∥ v i ∥ 2
空集与维数
有限集合的假设使系数论证保持具体，但这个逻辑也能说明边界情况。空集按空真条件是正交集，其张成空间是零子空间，因此它正是 { 0 } \{0\} { 0 } R m \mathbb{R}^m R m m m m m m m
快速检查
用定义回答，不要只看 ⟨ 0 , v ⟩ = 0 \langle0,v\rangle=0 ⟨ 0 , v ⟩ = 0
解答 · 答案 快速检查
（为什么标准基向量 e 1 , … , e m e_1,\dots,e_m e 1 , … , e m
解答 · 答案 若 i ≠ j i\neq j i = j e i T e j = 0 e_i^Te_j=0 e i T e j = 0 1 1 1 e i e_i e i
快速检查
（若使用标准正交基，v v v v i v_i v i
解答 · 答案 只要 v v v ⟨ v , v i ⟩ \langle v,v_i\rangle ⟨ v , v i ⟩
练习
快速检查
（证明 { ( 1 , 2 ) , ( − 2 , 1 ) } \{(1,2),(-2,1)\} {( 1 , 2 ) , ( − 2 , 1 )} R 2 \mathbb{R}^2 R 2
解答 · 引导解答 两向量的内积是
( 1 , 2 ) ⋅ ( − 2 , 1 ) = − 2 + 2 = 0. (1,2)\cdot(-2,1)=-2+2=0. ( 1 , 2 ) ⋅ ( − 2 , 1 ) = − 2 + 2 = 0. 两个向量都非零，所以正交集定理使它们线性无关。R 2 \mathbb{R}^2 R 2 R 2 \mathbb{R}^2 R 2
快速检查
（令 u 1 = ( 1 , 2 ) u_1=(1,2) u 1 = ( 1 , 2 ) u 2 = ( − 2 , 1 ) u_2=(-2,1) u 2 = ( − 2 , 1 ) v = ( 0 , 5 ) v=(0,5) v = ( 0 , 5 )
解答 · 引导解答 因为
⟨ u 1 , u 2 ⟩ = − 2 + 2 = 0 , ∥ u 1 ∥ 2 = ∥ u 2 ∥ 2 = 5 , \langle u_1,u_2\rangle=-2+2=0,\qquad
\|u_1\|^2=\|u_2\|^2=5, ⟨ u 1 , u 2 ⟩ = − 2 + 2 = 0 , ∥ u 1 ∥ 2 = ∥ u 2 ∥ 2 = 5 , 这是一组正交向量。对 v = ( 0 , 5 ) v=(0,5) v = ( 0 , 5 )
⟨ v , u 1 ⟩ = 10 , ⟨ v , u 2 ⟩ = 5. \langle v,u_1\rangle=10,\qquad \langle v,u_2\rangle=5. ⟨ v , u 1 ⟩ = 10 , ⟨ v , u 2 ⟩ = 5. 所以系数是 10 / 5 = 2 10/5=2 10/5 = 2 5 / 5 = 1 5/5=1 5/5 = 1
2 ( 1 , 2 ) + ( − 2 , 1 ) = ( 0 , 5 ) = v . 2(1,2)+(-2,1)=(0,5)=v. 2 ( 1 , 2 ) + ( − 2 , 1 ) = ( 0 , 5 ) = v . 快速检查
（把正交基 { ( 3 , 4 ) , ( 4 , − 3 ) } \{(3,4),(4,-3)\} {( 3 , 4 ) , ( 4 , − 3 )}
解答 · 引导解答 两个向量的范数都等于 5 5 5
{ ( 3 5 , 4 5 ) , ( 4 5 , − 3 5 ) } . \left\{
\left(\frac35,\frac45\right),
\left(\frac45,-\frac35\right)
\right\}. { ( 5 3 , 5 4 ) , ( 5 4 , − 5 3 ) } . 相关笔记
如果内积公式还不熟悉，请先读
9.1 内积、范数与夹角 ，因为本节公式都建立在那里的内积与范数定义之上。
之后可继续读
9.3 Gram-Schmidt 正交化 ，看看任意基底如何系统地转成正交基。成员条件反例中的余向量，正是那个过程的第一步投影。
本节的基底语言也依赖
6.5 基底与维数 。