本节默认标量域是实数域 R \mathbb{R} R R \mathbb{R} R C \mathbb{C} C
单个特征向量已经有用；若一个方阵拥有足够多线性无关的特征向量，就可以找到一个坐标系，使矩阵的作用变成对角的。这里的“足够多”有精确定义：对于 n × n n\times n n × n n n n R n \mathbb{R}^n R n
相似就是换坐标
坐标转换矩阵的构造见基底扩充与换基 。
设 S S S x = S y x=Sy x = S y y y y S S S B = S − 1 A S B=S^{-1}AS B = S − 1 A S
A x = A S y = S B y . Ax=ASy=SBy. A x = A S y = S B y . 所以 A A A x x x B B B y y y S − 1 S^{-1} S − 1 y y y x = S y x=Sy x = S y A A A S − 1 S^{-1} S − 1 S − 1 A S y S^{-1}ASy S − 1 A S y S S S y ↦ S y y\mapsto Sy y ↦ S y
同一标量域上的两个 n × n n\times n n × n A A A B B B S S S
S − 1 A S = B , S^{-1}AS=B, S − 1 A S = B , 则称 A A A B B B 相似 。
设 A A A n × n n\times n n × n S S S λ 1 , … , λ n \lambda_1,\ldots,\lambda_n λ 1 , … , λ n
S − 1 A S = D = diag ( λ 1 , … , λ n ) , S^{-1}AS=D=\operatorname{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n), S − 1 A S = D = diag ( λ 1 , … , λ n ) , 则称这个等式是 A A A 对角化 ，并称 A A A 可对角化 。
对角化是目标矩阵为对角矩阵的特殊相似关系。对角线上的数值只有在与
S S S
特征向量字典
设 A A A n × n n\times n n × n
S = [ v 1 v 2 ⋯ v n ] S=[v_1\ v_2\ \cdots\ v_n] S = [ v 1 v 2 ⋯ v n ] 是可逆矩阵。令 D = diag ( λ 1 , … , λ n ) D=\operatorname{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n) D = diag ( λ 1 , … , λ n )
对每个 j = 1 , … , n j=1,\ldots,n j = 1 , … , n A v j = λ j v j Av_j=\lambda_jv_j A v j = λ j v j
A S = S D AS=SD A S = S D S − 1 A S = D S^{-1}AS=D S − 1 A S = D A = S D S − 1 A=SDS^{-1} A = S D S − 1 A S AS A S j j j A v j Av_j A v j S D SD S D j j j λ j v j \lambda_jv_j λ j v j A S = S D AS=SD A S = S D S S S S − 1 S^{-1} S − 1 S − 1 A S = D S^{-1}AS=D S − 1 A S = D A S = S D AS=SD A S = S D S − 1 S^{-1} S − 1 A = S D S − 1 A=SDS^{-1} A = S D S − 1 A S = S D AS=SD A S = S D S − 1 S S^{-1}S S − 1 S
这条字典能防止次序错误。如果 S S S λ 1 \lambda_1 λ 1 λ 2 \lambda_2 λ 2 λ 1 , λ 2 \lambda_1,\lambda_2 λ 1 , λ 2 Q Q Q
同样，若 V = [ v 1 ⋯ v p ] V=[v_1\ \cdots\ v_p] V = [ v 1 ⋯ v p ] n × p n\times p n × p D = diag ( μ 1 , … , μ p ) D=\operatorname{diag}(\mu_1,\ldots,\mu_p) D = diag ( μ 1 , … , μ p ) A V = V D AV=VD A V = V D A v j = μ j v j Av_j=\mu_jv_j A v j = μ j v j p < n p<n p < n V V V p = n p=n p = n
实数域上的 n × n n\times n n × n A A A n n n R n \mathbb{R}^n R n
必要性来自对角化矩阵 S S S n n n S S S n n n S S S S S S n n n
把对角化看成特征基变换 观看所给特征向量如何变成基变换矩阵 S，为什么 CS=SD，以及为什么 S^{-1}CS=D 就是对角化。
特征基
对 C=[[3,2],[3,-2]]，计算给出 v1=(2,1) 时 Cv1=4v1，以及 v2=(-1,3) 时 Cv2=-3v2。这两个方向线性无关。
建立 S 和 D
把特征向量按列放入 S=[[2,-1],[1,3]]，并按相同次序把对应特征值放入 D=diag(4,-3)。
按列方程
矩阵等式 CS=SD 一次性打包两条特征向量方程：第 j 列表示 Cv_j=lambda_j v_j。
相似形式
因为这些特征向量形成基，S 可逆。将 CS=SD 左乘 S^{-1}，得到 S^{-1}CS=D。
对角作用
在特征向量坐标中，坐标列 (a,b) 变成 (4a,-3b)。两个坐标被分别缩放，而不是互相混合。
需要完整基
单一特征向量不足以把矩阵对角化。n 乘 n 矩阵可对角化，当且仅当它有 n 个线性无关特征向量。
对角化不是靠运气猜 S。它是一整组线性无关特征向量方程的基变换形式：把特征向量放进 S，把相应特征值放进 D，然后 CS=SD 变成 S^{-1}CS=D。
对角化例子
例题 8.2.5
（由一个 2 乘 2 矩阵建立 S S S D D D
令
A = [ 2 1 1 2 ] . A=\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}. A = [ 2 1 1 2 ] . 特征多项式为
det ( A − λ I ) = ( 2 − λ ) 2 − 1 = λ 2 − 4 λ + 3 = ( λ − 1 ) ( λ − 3 ) . \det(A-\lambda I)=(2-\lambda)^2-1
=\lambda^2-4\lambda+3=(\lambda-1)(\lambda-3). det ( A − λ I ) = ( 2 − λ ) 2 − 1 = λ 2 − 4 λ + 3 = ( λ − 1 ) ( λ − 3 ) . 对 λ = 3 \lambda=3 λ = 3 ( A − 3 I ) x = 0 (A-3I)x=0 ( A − 3 I ) x = 0 x 2 = x 1 x_2=x_1 x 2 = x 1 v 1 = [ 1 1 ] v_1=\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix} v 1 = [ 1 1 ] λ = 1 \lambda=1 λ = 1 ( A − I ) x = 0 (A-I)x=0 ( A − I ) x = 0 x 2 = − x 1 x_2=-x_1 x 2 = − x 1 v 2 = [ 1 − 1 ] v_2=\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix} v 2 = [ 1 − 1 ]
S = [ 1 1 1 − 1 ] , D = [ 3 0 0 1 ] . S=\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix},\qquad
D=\begin{bmatrix}3&0\\0&1\end{bmatrix}. S = [ 1 1 1 − 1 ] , D = [ 3 0 0 1 ] . det ( S ) = − 2 \det(S)=-2 det ( S ) = − 2
S − 1 = 1 2 [ 1 1 1 − 1 ] = 1 2 S . S^{-1}=\frac12\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}=\frac12S. S − 1 = 2 1 [ 1 1 1 − 1 ] = 2 1 S . 两条列方程给出 A S = S D AS=SD A S = S D S − 1 A S = D S^{-1}AS=D S − 1 A S = D x = [ 3 1 ] x=\begin{bmatrix}3\\1\end{bmatrix} x = [ 3 1 ] x = S y x=Sy x = S y y = [ 2 1 ] y=\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix} y = [ 2 1 ]
D y = [ 6 1 ] , S D y = [ 7 5 ] = A x . Dy=\begin{bmatrix}6\\1\end{bmatrix},\qquad
SDy=\begin{bmatrix}7\\5\end{bmatrix}=Ax. D y = [ 6 1 ] , S D y = [ 7 5 ] = A x . 在新坐标中作对角计算，和原矩阵直接作用的结果一致。
令
A = [ 1 1 1 0 2 2 0 0 3 ] . A=\begin{bmatrix}1&1&1\\0&2&2\\0&0&3\end{bmatrix}. A = 1 0 0 1 2 0 1 2 3 . 取以下特征向量
u 1 = [ 1 0 0 ] , u 2 = [ 1 1 0 ] , u 3 = [ 3 4 2 ] , u_1=\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix},\quad
u_2=\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix},\quad
u_3=\begin{bmatrix}3\\4\\2\end{bmatrix}, u 1 = 1 0 0 , u 2 = 1 1 0 , u 3 = 3 4 2 , 它们对应的特征值依次为 1 , 2 , 3 1,2,3 1 , 2 , 3
U = [ u 1 u 2 u 3 ] = [ 1 1 3 0 1 4 0 0 2 ] , D = diag ( 1 , 2 , 3 ) . U=[u_1\ u_2\ u_3]=\begin{bmatrix}1&1&3\\0&1&4\\0&0&2\end{bmatrix},
\quad D=\operatorname{diag}(1,2,3). U = [ u 1 u 2 u 3 ] = 1 0 0 1 1 0 3 4 2 , D = diag ( 1 , 2 , 3 ) . det ( U ) = 2 \det(U)=2 det ( U ) = 2 U U U
U − 1 = [ 1 − 1 1 / 2 0 1 − 2 0 0 1 / 2 ] . U^{-1}=\begin{bmatrix}1&-1&1/2\\0&1&-2\\0&0&1/2\end{bmatrix}. U − 1 = 1 0 0 − 1 1 0 1/2 − 2 1/2 . 直接相乘可得
A u 1 = [ 1 0 0 ] = 1 u 1 , A u 2 = [ 2 2 0 ] = 2 u 2 , A u 3 = [ 9 12 6 ] = 3 u 3 . Au_1=\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}=1u_1,\quad
Au_2=\begin{bmatrix}2\\2\\0\end{bmatrix}=2u_2,\quad
Au_3=\begin{bmatrix}9\\12\\6\end{bmatrix} =3u_3. A u 1 = 1 0 0 = 1 u 1 , A u 2 = 2 2 0 = 2 u 2 , A u 3 = 9 12 6 = 3 u 3 . 所以 A U = U D AU=UD A U = U D U − 1 A U = diag ( 1 , 2 , 3 ) U^{-1}AU=\operatorname{diag}(1,2,3) U − 1 A U = diag ( 1 , 2 , 3 )
例题 8.2.7
（重复特征值不一定给出完整特征基）
考虑
J = [ 1 4 0 1 ] . J=\begin{bmatrix}1&4\\0&1\end{bmatrix}. J = [ 1 0 4 1 ] . det ( J − λ I ) = ( 1 − λ ) 2 \det(J-\lambda I)=(1-\lambda)^2 det ( J − λ I ) = ( 1 − λ ) 2 1 1 1
( J − I ) x = [ 0 4 0 0 ] [ x 1 x 2 ] = 0 (J-I)x=\begin{bmatrix}0&4\\0&0\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}=0 ( J − I ) x = [ 0 0 4 0 ] [ x 1 x 2 ] = 0 迫使 x 2 = 0 x_2=0 x 2 = 0 x 1 x_1 x 1 span { [ 1 0 ] } \operatorname{span}\{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}\} span { [ 1 0 ] } 2 × 2 2\times2 2 × 2 J J J
置换与相似不变量
若 Q Q Q n × n n\times n n × n A = S D S − 1 A=SDS^{-1} A = S D S − 1 S Q SQ S Q
( S Q ) − 1 A ( S Q ) = Q − 1 S − 1 A S Q = Q − 1 D Q . (SQ)^{-1}A(SQ)=Q^{-1}S^{-1}ASQ=Q^{-1}DQ. ( S Q ) − 1 A ( S Q ) = Q − 1 S − 1 A S Q = Q − 1 D Q . 右侧仍是对角矩阵，只是对角元素按 Q Q Q
若 B = S − 1 A S B=S^{-1}AS B = S − 1 A S S S S
det ( B − t I ) = det ( S − 1 ( A − t I ) S ) = det ( A − t I ) . \det(B-tI)=\det\bigl(S^{-1}(A-tI)S\bigr)=\det(A-tI). det ( B − t I ) = det ( S − 1 ( A − t I ) S ) = det ( A − t I ) . 所以相似矩阵有相同的特征多项式，也有相同的特征值（按代数重数计）。
这里使用 S − 1 ( A − t I ) S = S − 1 A S − t S − 1 I S S^{-1}(A-tI)S=S^{-1}AS-tS^{-1}IS S − 1 ( A − t I ) S = S − 1 A S − t S − 1 I S S − 1 I S = I S^{-1}IS=I S − 1 I S = I
反例模式
相同特征资料不足以证明相似 令
N = [ 0 1 0 0 ] , 0 2 = [ 0 0 0 0 ] . N=\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix},\qquad
0_2=\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}. N = [ 0 0 1 0 ] , 0 2 = [ 0 0 0 0 ] . 两者的特征多项式都是 t 2 t^2 t 2 S S S S − 1 0 2 S = 0 2 S^{-1}0_2S=0_2 S − 1 0 2 S = 0 2 N ≠ 0 2 N\ne0_2 N = 0 2
幂、逆矩阵与转置
定理 8.2.9
（由一次对角化得到幂、逆矩阵与转置）
设 A = S D S − 1 A=SDS^{-1} A = S D S − 1 S S S D = diag ( λ 1 , … , λ n ) D=\operatorname{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n) D = diag ( λ 1 , … , λ n ) m m m
A m = S D m S − 1 , D m = diag ( λ 1 m , … , λ n m ) . A^m=SD^mS^{-1},\qquad
D^m=\operatorname{diag}(\lambda_1^m,\ldots,\lambda_n^m). A m = S D m S − 1 , D m = diag ( λ 1 m , … , λ n m ) . 若 A A A λ j \lambda_j λ j A − 1 = S D − 1 S − 1 A^{-1}=SD^{-1}S^{-1} A − 1 = S D − 1 S − 1 A T A^T A T
正整数公式从 m = 1 m=1 m = 1 A 0 = I n A^0=I_n A 0 = I n D 0 = I n D^0=I_n D 0 = I n D − 1 D^{-1} D − 1 A − 1 A^{-1} A − 1 m < 0 m<0 m < 0
若已知 A m = S D m S − 1 A^m=SD^mS^{-1} A m = S D m S − 1
A m + 1 = ( S D m S − 1 ) ( S D S − 1 ) = S D m + 1 S − 1 , A^{m+1}=(SD^mS^{-1})(SDS^{-1})=SD^{m+1}S^{-1}, A m + 1 = ( S D m S − 1 ) ( S D S − 1 ) = S D m + 1 S − 1 , 其中约去了相邻的 S − 1 S S^{-1}S S − 1 S ( S D S − 1 ) − 1 = S D − 1 S − 1 (SDS^{-1})^{-1}=SD^{-1}S^{-1} ( S D S − 1 ) − 1 = S D − 1 S − 1
A T = ( S − 1 ) T D S T . A^T=(S^{-1})^TDS^T. A T = ( S − 1 ) T D S T . 令 W = ( S − 1 ) T W=(S^{-1})^T W = ( S − 1 ) T W − 1 = S T W^{-1}=S^T W − 1 = S T W − 1 A T W = D T = D W^{-1}A^TW=D^T=D W − 1 A T W = D T = D W W W A T A^T A T S S S A T A^T A T
例题 8.2.10
（通过对角化计算对称矩阵的所有正整数幂）
令
B = [ 2 1 1 1 2 1 1 1 2 ] , S = [ 1 1 1 1 − 1 0 1 0 − 1 ] , S − 1 = 1 3 [ 1 1 1 1 − 2 1 1 1 − 2 ] , B=\begin{bmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2\end{bmatrix},\quad
S=\begin{bmatrix}1&1&1\\1&-1&0\\1&0&-1\end{bmatrix},\quad
S^{-1}=\frac13\begin{bmatrix}1&1&1\\1&-2&1\\1&1&-2\end{bmatrix}, B = 2 1 1 1 2 1 1 1 2 , S = 1 1 1 1 − 1 0 1 0 − 1 , S − 1 = 3 1 1 1 1 1 − 2 1 1 1 − 2 , 并令 D = diag ( 4 , 1 , 1 ) D=\operatorname{diag}(4,1,1) D = diag ( 4 , 1 , 1 ) S S S B = S D S − 1 B=SDS^{-1} B = S D S − 1 m m m
B m = 1 3 [ 4 m + 2 4 m − 1 4 m − 1 4 m − 1 4 m + 2 4 m − 1 4 m − 1 4 m − 1 4 m + 2 ] . B^m=\frac13\begin{bmatrix}
4^m+2&4^m-1&4^m-1\\
4^m-1&4^m+2&4^m-1\\
4^m-1&4^m-1&4^m+2
\end{bmatrix}. B m = 3 1 4 m + 2 4 m − 1 4 m − 1 4 m − 1 4 m + 2 4 m − 1 4 m − 1 4 m − 1 4 m + 2 . 当 m = 1 m=1 m = 1 2 2 2 1 1 1 m = 2 m=2 m = 2 6 6 6 5 5 5
复数扩展与共同特征基
在实数域上，
R = [ 1 − 1 1 1 ] R=\begin{bmatrix}1&-1\\1&1\end{bmatrix} R = [ 1 1 − 1 1 ] 的特征多项式是 ( 1 − λ ) 2 + 1 (1-\lambda)^2+1 ( 1 − λ ) 2 + 1 R \mathbb{R} R C \mathbb{C} C
U = [ i − i 1 1 ] , U − 1 = 1 2 [ − i 1 i 1 ] , D = diag ( 1 + i , 1 − i ) . U=\begin{bmatrix}i&-i\\1&1\end{bmatrix},\quad
U^{-1}=\frac12\begin{bmatrix}-i&1\\i&1\end{bmatrix},\quad
D=\operatorname{diag}(1+i,1-i). U = [ i 1 − i 1 ] , U − 1 = 2 1 [ − i i 1 1 ] , D = diag ( 1 + i , 1 − i ) . 此时 U − 1 R U = D U^{-1}RU=D U − 1 R U = D det ( U ) = 2 i ≠ 0 \det(U)=2i\ne0 det ( U ) = 2 i = 0
若 A = S D S − 1 A=SDS^{-1} A = S D S − 1 B = S E S − 1 B=SES^{-1} B = S E S − 1 S S S D , E D,E D , E α , β \alpha,\beta α , β
α A + β B = S ( α D + β E ) S − 1 , A B = S D E S − 1 . \alpha A+\beta B=S(\alpha D+\beta E)S^{-1},\qquad
AB=SDE S^{-1}. α A + β B = S ( α D + β E ) S − 1 , A B = S D E S − 1 . 中间的矩阵仍为对角矩阵，所以这些矩阵由同一组基底同时对角化。
证明只需分配律和 S − 1 S = I S^{-1}S=I S − 1 S = I α S D S − 1 + β S E S − 1 = S ( α D + β E ) S − 1 \alpha SDS^{-1}+\beta SES^{-1}=S(\alpha D+\beta E)S^{-1} α S D S − 1 + β S E S − 1 = S ( α D + β E ) S − 1 ( S D S − 1 ) ( S E S − 1 ) = S D E S − 1 (SDS^{-1})(SES^{-1})=SDE S^{-1} ( S D S − 1 ) ( S E S − 1 ) = S D E S − 1 S S S
重复特征值能说明什么
特征多项式记录代数重数，特征空间维数记录可用的线性无关特征向量数目，两者回答不同问题。若重复特征值的特征空间维数不足，重新排列列向量也不能创造缺少的方向，矩阵 J J J
相似关系保持特征多项式，是因为它只改变同一个线性作用的坐标表示。若
A v = λ v Av=\lambda v A v = λ v B = S − 1 A S B=S^{-1}AS B = S − 1 A S B ( S − 1 v ) = λ ( S − 1 v ) B(S^{-1}v)=\lambda(S^{-1}v) B ( S − 1 v ) = λ ( S − 1 v ) S − 1 S^{-1} S − 1
核对最后的证明依据
要判断给定数域上的可对角化性，先找出所有特征值，再把各特征空间的维数相加。这个总数恰为 n n n n × n n\times n n × n S S S D D D A S = S D AS=SD A S = S D S S S S − 1 S^{-1} S − 1
快速检查与练习
快速检查
（设 S S S S − 1 A S = D S^{-1}AS=D S − 1 A S = D S S S A A A D D D
解答 · 答案 各列必须是 A A A j j j D D D j j j
快速检查
（一个可对角化的 3×3 矩阵，最多能有两个线性无关的特征向量吗？）
解答 · 答案 不能。可对角化的 3 × 3 3\times3 3 × 3
快速检查
（若 A A A D D D
解答 · 答案 有。相似矩阵有相同的特征多项式，因此有相同特征值（按代数重数计）。
快速检查
（设 A A A v 1 , v 2 , v 3 v_1,v_2,v_3 v 1 , v 2 , v 3 2 , 5 , − 1 2,5,-1 2 , 5 , − 1 3 × 3 3×3 3 × 3 A A A
解答 · 导引解答 若 S = [ v 1 v 2 v 3 ] S=[v_1\ v_2\ v_3] S = [ v 1 v 2 v 3 ]
S − 1 A S = diag ( 2 , 5 , − 1 ) . S^{-1}AS=\operatorname{diag}(2,5,-1). S − 1 A S = diag ( 2 , 5 , − 1 ) . 快速检查
（为什么 J = [ 1 4 0 1 ] J=\begin{bmatrix}1&4\\0&1\end{bmatrix} J = [ 1 0 4 1 ]
解答 · 导引解答 唯一特征值是 1 1 1 ( J − I ) x = 0 (J-I)x=0 ( J − I ) x = 0 x 2 = 0 x_2=0 x 2 = 0 2 × 2 2\times2 2 × 2
快速检查
（若 A = S D S − 1 A=SDS^{-1} A = S D S − 1 D = diag ( 2 , − 1 ) D=\operatorname{diag}(2,-1) D = diag ( 2 , − 1 ) A 3 A^3 A 3
解答 · 导引解答 A 3 = S D 3 S − 1 = S diag ( 8 , − 1 ) S − 1 . A^3=SD^3S^{-1}=S\operatorname{diag}(8,-1)S^{-1}. A 3 = S D 3 S − 1 = S diag ( 8 , − 1 ) S − 1 . 相关笔记
若还不熟悉齐次方程组的观点，请先阅读
8.1 特征值、特征向量与特征空间 。接着阅读
8.3 特征多项式与对角化判别 ，学习判断特征向量是否足够的多项式工具。本节的基底语言也依赖
6.5 基底与维数 。