MATH2010 复习路线

补充模拟卷B：曲线、坐标与等号条件 · 完整分步详解与评分

先借助笔记回忆方法，再在模拟卷中独立判断该选用哪种方法，最后通过评分指引找出仍需练习的步骤。计算之前，先尝试凭记忆解释一个定义。正确的数值答案应当来自明确的几何或分析理由。

模拟卷 A：6 题，100 分 · 解答与评分

1. 把几何关系化为方程

确定 $\mathbb R^3$ 中的平面，需要一个法向量和一个已知点。由线性无关的方向向量 $u,v$，先求 $n=u\times v$，再写出 $n\cdot(X-P)=0$。最后检查已知点是否满足所得方程。法向量确定一条垂线，它与平面的交点就是投影点。这样求出的投影，还能用来核对点到平面距离公式的计算结果。

$$\begin{aligned} d(Q,\Pi)&=\frac{|n\cdot(Q-P)|}{\|n\|},\\ B&=Q-\frac{n\cdot(Q-P)}{\|n\|^2}n. \end{aligned}$$

距离公式与投影向量公式的分母不同。标量三重积带有正负号，因为它记录取向；求体积时应取绝对值。转换坐标时，要先确定每个角的含义及取值范围。上半平面中的点，其极角在 $(0,\pi)$ 内；只知道半径平方，还不能确定点的位置。

在公式中，$Q$ 是要投影的点，$P$ 是平面上的已知点，$B$ 是得到的垂足。位移 $Q-P$ 与法向量 $n$ 都有三个分量，它们的内积是一个标量。把这个标量除以法向量的长度平方，再乘以 $n$，结果又成为向量：它正是位移中垂直于平面的部分。减去这部分就得到 $B$。相比之下，距离是一个非负标量，因此其公式使用绝对值，并且分母只包含法向量长度的一次幂。Q1 完整演示这两种计算，并检验二者是否一致。

重温1.1 向量与内积、1.2 平面与体积及1.3 坐标。用 Q1 与 Q2(c) 检验掌握情况。

2. 检验函数前，先描述集合

对于点 $a$，以下所有开球都以 $a$ 为球心。内点要求存在一个完整的小开球留在集合内部；闭包中的点要求每个开球都与集合相交；边界点则要求每个开球都同时与集合及其补集相交。画轮廓有帮助，但最终要由不等式决定哪些点属于集合，哪些点仅属于闭包。

$$\partial S=\overline S\setminus\operatorname{Int}S.$$

由多个不等式描述的集合，可能包含多种边界部分。对于半圆环，既有圆弧，也有坐标轴上的直线段，还要检查这些部分的端点。证明集合不是闭集时，要找出一个被排除的极限点，并给出从集合内部趋向它的点列或路径。证明集合不是开集时，则应给出集合中的一点，使得以它为中心不存在完全包含在集合中的小开球。

开球检验发生在周围的整个平面中。如果先把每个测试开球都与集合取交，就会丢掉恰好用于识别边界的集合外点。位于洞内的点，可能是外点而不是边界点，因为它周围可以有一个完全不与集合相交的小开球。Q2 利用这个观察，精确判断坐标轴的哪些部分属于边界。

证明道路连通时，需要在任意两点间构造连续路径，并验证整条路径始终包含于集合中。即使集合道路连通，连接两点的直线段也可能穿过洞。在直角坐标插值失败的地方，极坐标插值可能有效。

重温2.1 定义域与点集。用 Q2(a–b) 检验掌握情况。

3. 分清否定极限的证据与证明极限的方法

两种趋近方式得到不同的极限值，就能否定二元极限。很多趋近方式得到相同的值，却不能证明极限存在。即使每条直线上的结果都相同，仍未检验曲线趋近。累次极限回答的又是另一个问题：暂时固定一个坐标，让另一个坐标先趋近，然后再取外层极限。

要证明二元极限，应寻找只依赖于到目标点距离的估计。记 $r=\sqrt{x^2+y^2}$；假设当 $0<r<r_0$ 时，估计 $|F(x,y)-L|\le Cr^\alpha$ 恒成立，其中 $C>0$、$\alpha>0$、$r_0>0$。一个明确的 epsilon–delta 选择是：

$$\delta=\min\{r_0,(\varepsilon/C)^{1/\alpha}\}.$$

这个选择来自求解误差要求。先指定允许的输出误差 $\varepsilon$。为了使 $Cr^\alpha<\varepsilon$，需要 $r<(\varepsilon/C)^{1/\alpha}$。但估计本身只在 $r<r_0$ 时有效，因此两个限制必须同时满足；取较小的半径即可。各个常数必须独立于趋近方向固定下来。若对每条直线分别选择依赖斜率的半径，就不能一起控制所有邻近点。

估计必须对充分靠近目标点的每个定义域内点成立。使用极坐标计算时，对角度因子的界必须对所有角度一致。若要在缺失点连续延拓函数，应先证明二元极限存在；随后延拓所取的函数值就被这个极限唯一确定。

寻找反例时，先观察分母各项的量级。Q3 中，让分母的两项保持同一量级，就能找到一条使分子也具有相同量级的曲线。这给出了选择路径的理由，而不是一连串猜测。两个累次极限相等，只是较弱的一类证据，因为每次内层极限都固定了一个坐标。

重温2.2 点列与多元极限，以及2.3 连续性中的连续延拓部分。用 Q3 检验掌握情况。

4. 区分各种导数及其成立条件

求偏导数时，固定其他坐标。梯度把一点处的这些偏导收集在一起。可微性则要求：同一个线性映射能够预测所有充分小的增量，而且误差相对于增量长度可以忽略：

$$\begin{aligned} f(a+h)&=f(a)+A h+E(h),\\ \frac{|E(h)|}{\|h\|}&\longrightarrow0. \end{aligned}$$

对于可微的标量函数，有 $A h=\nabla f(a)\cdot h$。仿射线性近似还包括常数 $f(a)$；导数映射本身则把零映到零。各一阶偏导在某个开邻域上连续，是一个方便的可微性充分条件。仅知道这些偏导在该点存在，条件要弱得多。

这里 $a$ 是输入基点，$h$ 是输入位移，$E(h)$ 是输出误差。对于有两个输入坐标的标量函数，$A:\mathbb R^2\to\mathbb R$ 把两个位移分量组合成一个预测的标量变化量，可以写成一行、两个系数。输入长度为 $\|h\|$，而 $A h$ 与 $E(h)$ 都是输出量。这个条件要求误差相对于输入长度变得可以忽略；误差仅仅趋于零还不够。Q5 先推导精确误差，再验证更强的比值条件。

对于混合偏导，要按指定的次序计算。在某个开邻域上属于 $C^2$ 的函数，其二阶混合偏导在那里相等。只在一点算得相等的数值，并没有验证这些假设。识别适当的开邻域时，要始终保留对数与分母的限制。

充分条件提供了一条证明路线。未能验证偏导连续，本身并不能证明函数不可微。此时应回到定义，或寻找另一种充分论证。要否定可微性，只需在由偏导唯一确定的线性近似上，找到一条使条件失败的路径；若要按定义证明可微，则必须对所有邻近增量控制归一化误差。

重温3.1 偏导与混合偏导及3.2 可微性与线性化。用 Q4 与 Q5 检验掌握情况。Q5 通过有理化得到精确余项，因此可以直接建立误差估计。

5. 选定方向，并检查尺度

对于可微的标量函数和单位向量 $u$，

$$D_u f(a)=\nabla f(a)\cdot u.$$

这个公式来自把线性近似应用于位移 $h=su$。由可微性，得到 $f(a+su)-f(a)=s\nabla f(a)\cdot u+E(su)$。除以非零标量 $s$，便形成方向差商。因为 $\|u\|=1$，所以 $\|su\|=|s|$，进而 $|E(su)/s|=|E(su)|/\|su\|\to0$。因此，差商的极限就是上面写出的内积。如果没有可微性中的余项条件，误差项就还未得到控制，不能使用这段推导。Q6(c) 展示了为什么在确认可微之前，把偏导提前代入该公式可能得到错误答案。

如果题目给出非零方向向量 $v$，求每单位距离的变化率时应使用 $u=v/\|v\|$。直接与 $v$ 做内积，对应的是以参数速度 $v$ 运动的情形，其中包括速度大小。柯西–施瓦茨不等式给出变化率的极值。梯度非零时，增加和减小的单位方向分别为单位化的梯度及其反方向。在此前的可微假设下，若梯度为零，则所有单位方向变化率均为零。

限制为单位向量，才能公平比较：每个候选方向都采用相同的行进距离。否则，只要在某个增加方向上加速，就能让变化率任意大。零梯度表示所有一阶方向变化率在该点消失，并不表示附近的函数值为常数。

所有方向导数都可能存在，而函数仍然不可微。对于这样的候选反例，应先算坐标偏导，再检验另一个方向，与这些偏导所迫使的线性映射比较。也可以沿精心选择的路径，直接检验归一化余项。

使用3.3 方向导数中的单位方向导数与最速方向内容。用 Q6 检验掌握情况。

根据所求结论选择方法

这些是不同的逻辑任务。Q3(d) 与 Q6(c) 要求纠正推论，因此只给出数值并没有完成答案。应说明哪一个蕴含关系不成立，并给出缺失的证据或与之矛盾的证据。

作答、评分、修补

修补一道小题之后，再解释一个容易误用的方法为什么失败。能完成这一步，才说明方法可以迁移到新的问题。