2.1 定义域与点集

二元函数的公式通常不会允许平面上每一点作为输入。平方根可能把输入限制在圆盘中，对数可能只保留一条曲线的一侧，分母还可能从原来的区域删去一条直线。研究函数在一点附近如何变化之前，必须先知道哪些邻近输入确实可用。因此，定义域的几何不是附带的画图问题，而是多元分析的一部分。

本节的基本工具是距离。在实数轴上，我们用区间表达靠近；在欧几里得空间中，同样的工作由球完成。我们将用球区分集合内部、外部和边界上的点。这些定义还能解释：为什么一个集合可以既不开也不闭，为什么平面中的圆周没有内部，以及为什么一个被删去的点仍然会影响极限。

函数与定义域

定义

定义域、陪域与值域

函数 $F:D\to\mathbb R^m$，其中 $D\subseteq\mathbb R^n$，给每个 $x\in D$ 指定唯一输出 $F(x)$。$D$ 称为定义域，写出的 $\mathbb R^m$ 是陪域，实际取得的值组成值域 $F(D)=\{F(x):x\in D\}$。写成 $F=(F_1,\ldots,F_m)$ 时，各个 $F_i$ 是标量分量函数。

输入维数与输出维数回答不同问题。空间中的温度场形如 $T:\mathbb R^3\to\mathbb R$；参数化空间曲线则形如 $\gamma:I\subseteq\mathbb R\to\mathbb R^3$。后者只有一个输入变量，却有三个输出坐标。不能因为出现三个分量，就把它当成三元标量函数。

若题目明确写出定义域，它就是函数的一部分。若只给出表达式，自然实定义域由使每项运算都有意义的全部输入组成。求定义域时应把各项条件取交集：平方根内非负，对数真数为正，分母非零。化简表达式可能揭示一种延拓方式，但不会自动改变原函数的定义域。

例题

同时满足三个限制

求

$$f(x,y)=\frac{\sqrt{16-x^2-y^2}}{\log(y-x)}$$

的自然定义域。平方根要求 $x^2+y^2\le16$，对数要求 $y-x>0$，而对数出现在分母还要求 $y-x\ne1$。所以

$$D=\{(x,y):x^2+y^2\le16,\ y>x,\ y-x\ne1\}.$$

几何上，先取半径为 $4$ 的闭圆盘，保留 $y=x$ 上方的一侧，再删去直线 $y=x+1$ 与圆盘相交的线段。圆弧上的某些点可以属于 $D$，因为分子等于零没有问题；两条被排除直线上的点则不属于定义域。逐项检查，可以避免遗漏对数本身等于零的地方。

开球与局部描述

定义

开球与邻域

对 $a\in\mathbb R^n$ 及 $r>0$，定义

$$B(a,r)=\{x:\|x-a\|<r\},\qquad \overline B(a,r)=\{x:\|x-a\|\le r\}.$$

前者是开球，后者是闭球。任何包含某个 $B(a,r)$ 的集合都称为 $a$ 的邻域。去心球是 $B(a,r)\setminus\{a\}$。

在平面中，开球是没有圆周的实心圆盘；在三维空间中，它是球面的内部。“开”表示严格不等式，并不是说图形中空。邻域自身不一定是球，也不一定是开集；它只需要包含一个以该点为中心的足够小的完整开球。

定义

内部与外部

若存在 $r>0$ 使 $B(a,r)\subseteq A$，则称 $a$ 是 $A$ 的内点。所有内点组成内部 $A^\circ$。外部定义为 $\operatorname{ext}A=(\mathbb R^n\setminus A)^\circ$。若每个集合点都是内点，即 $A=A^\circ$，则 $A$ 是开集。

成为内点，要求沿所有方向的小幅移动都留在集合内。比如，$\mathbb R^2$ 中一条直线上的点，只要沿垂直方向稍微移动，就离开直线。因此直线在平面中的内部为空。若把直线自身作为一维环境，结论会不同；讨论内部时必须清楚环境空间是什么。

定理

开球与开集运算

欧几里得空间中的每个开球都是开集。任意族开集的并仍是开集，有限个开集的交仍是开集。

证明

选择一个仍留在原集合内的半径

若 $x\in B(a,r)$，令 $\rho=r-\|x-a\|>0$。当 $\|y-x\|<\rho$ 时，由三角不等式，

$$\|y-a\|\le\|y-x\|+\|x-a\|<r.$$

故 $B(x,\rho)\subseteq B(a,r)$，原球内每一点都是内点。

若一点属于一族开集的并，它至少属于其中一个开集。该开集提供的内点球也包含在并集中。对于有限交，对每个参与的开集选取内点半径 $r_i>0$，再取它们的最小值。这个最小值仍为正，能同时适用于所有集合。

“有限”在交集结论中不能去掉。对所有正整数 $k$ 取区间 $(-1/k,1/k)$ 的交，只得到单点集 $\{0\}$，它在实数轴上不是开集。这里各半径不断缩小，已经没有共同的正半径。

闭包、聚点与边界

定义

闭包、聚点与闭集

若每个 $B(a,r)$ 都与 $A$ 相交，则 $a$ 属于闭包 $\overline A$。若每个去心球都与 $A$ 相交，则 $a$ 是聚点。若 $a\in A$，且某个球与 $A$ 的交只有 $a$，则 $a$ 是孤立点。若补集是开集，则 $A$ 是闭集。

闭包与聚点定义的差别，是是否排除球心。孤立点属于闭包，因为每个球已包含它自身；但它不是聚点。聚点也可以不属于原集合。集合 $\{1/k:k\ge1\}\subset\mathbb R$ 的零点是集合外的聚点，而每个列出的倒数都是孤立点。可见“内点”“聚点”和“集合中的点”不能互相替代。

定理

闭包与边界的刻画

对任意 $A\subseteq\mathbb R^n$，

$$\overline A=A\cup\{a:a\text{ 是 }A\text{ 的聚点}\},\qquad \partial A=\overline A\setminus A^\circ.$$

$A$ 闭当且仅当它包含全部聚点，也等价于 $A=\overline A$。内部、边界与外部把整个 $\mathbb R^n$ 分成互不相交的三部分。

边界点的定义是：以它为中心的每个球都同时遇到 $A$ 和补集。这个条件并没有规定球心本身属于哪一方，因此边界点可以包含在集合中，也可以被删去。

证明

为什么边界等于闭包减去内部

若 $a\in\partial A$，每个球都遇到 $A$，所以 $a\in\overline A$；每个球又都遇到补集，因此没有球完全包含在 $A$ 中，故 $a\notin A^\circ$。反过来，若 $a\in\overline A\setminus A^\circ$，闭包条件保证每个球遇到 $A$，非内点条件保证每个球遇到补集，于是 $a$ 是边界点。

若一点不在边界上，就有一个球不遇到两方中的某一方。因此该点要么是内点，要么是外点。这两个情况互斥，得到三部分的分解。

再证闭集判据。闭集外的点有一个球完全在开补集中，因此不可能是聚点。反之，若全部聚点都在 $A$ 中，则任何集合外的点都不是聚点，可以找到不遇到 $A$ 的小球；所以补集是开集。

例题

只包含一侧边界的圆环

令 $c=(-2,1)$，并取

$$A=\{p\in\mathbb R^2:1<\|p-c\|\le3\}.$$

内部由 $1<\|p-c\|<3$ 给出，闭包由 $1\le\|p-c\|\le3$ 给出。边界是半径为 $1$ 与 $3$ 的两个圆周，而且

$$\operatorname{ext}A=\{\|p-c\|<1\}\cup\{\|p-c\|>3\}.$$

外圆周上的点属于 $A$ 却不是内点，所以 $A$ 不开；内圆周上的点能被集合点逼近却未包含在集合中，所以 $A$ 不闭。由 $\|p\|\le3+\sqrt5$ 可知它有界。外部既包括中心的洞，也包括外面的无界区域，不只是日常语言中所说的“图形外面”。

例题

离散点集缺少一个极限点

考虑 $E=\{(2/k,0):k=1,2,\ldots\}$。固定其中一项，它到相邻项的距离为正，足够小的球能排除所有其他项，因此每个集合点都是孤立点。唯一聚点是 $(0,0)$：不在横轴上的点与集合有正距离；横轴上远离零的一个小邻域只遇到有限项，因此也不会产生其他聚点。

于是 $E^\circ=\varnothing$，$\overline E=E\cup\{(0,0)\}$，$\partial E=\overline E$。这个集合有界，既不开也不闭。加入原点以后，它成为闭集，但仍然没有内部。闭性要求补齐极限点，并不要求集合包含实心区域。

常见错误

不开不等于闭

开集与闭集不是互斥且穷尽的两种选项。半开圆环既不开也不闭；空集和整个空间则既开又闭。判断时分别应用“每点是否有内点球”和“是否包含全部聚点”，不能从其中一个判断的否定直接推出另一个结论。

路径与整体形状

局部性质并不能完全决定集合怎样连接。两个分离开圆盘的并和一个开圆盘都属于开集，但前者无法在集合内从一个圆盘走到另一个。

定义

道路连通与凸集

若对任意 $p,q\in A$，都存在连续映射 $\gamma:[0,1]\to A$，满足 $\gamma(0)=p$、$\gamma(1)=q$，则称 $A$ 道路连通。若对所有 $p,q\in A$，线段 $(1-t)p+tq$，$0\le t\le1$，都包含在 $A$ 中，则称 $A$ 是凸集。

凸集一定道路连通，因为直线段本身就是所需路径。上述圆环道路连通却不凸。先把两点分别沿径向接到以 $c$ 为中心、半径为 $2$ 的圆上，再沿圆弧移动，最后逆向走第二条径向线段。这些路径始终处在半径大于 $1$ 且不超过 $3$ 的范围内。可是连接两个对径点的直线段会穿过被删去的洞，所以凸性不成立。

由 $x\ge1$ 与 $x\le-1$ 两部分组成的集合则不道路连通。若存在从一侧到另一侧的路径，其第一坐标就是一个从正数变成负数的连续实函数。由一元介值定理，它必然在某处为零，而该点不在集合中。这个论证说明，一元连续性定理也能约束高维路径的形状。

定理

平面上的 Jordan 曲线定理

$\mathbb R^2$ 中一条简单闭曲线的补集恰有两个道路连通分支：一个有界，一个无界。该曲线同时是这两个分支的边界。

“简单闭”表示连续绕行一周回到起点，除此之外不发生自交。定理讨论的是曲线的补集，而不是曲线作为点集的内部。以椭圆为例，以曲线上一点为中心的任意球都会遇到不在曲线上的点，所以曲线的点集内部为空；但曲线的补集中仍有一个被围住的有界区域。

简单性是必要条件。八字形绕行在交叉处自交，可以围出两个分离的有界区域，因此不能套用定理，断言补集只有一个有界分支。该结论也不能直接推广到三维空间中的任意闭曲线；环境是平面，同样属于定理条件。曲线定理提供整体结论，开球定义则提供局部点的分类。

从几何定义到证明流程

这些定义之所以有用，是因为它们能把图形判断转化为带有明确对象的论证。证明一点是内点，要给出一个正半径；证明它不是内点，要说明每个半径内都能找到集合外的点。证明一点属于闭包，要在每个球内找到集合点，或给出趋于该点的集合内点列。图形可以提示怎样寻找，量词陈述才真正建立结论。

例如半平面 $H=\{(x,y):2x-y<5\}$。对其中一点 $p=(p_1,p_2)$，余量 $s=5-(2p_1-p_2)$ 为正。柯西–施瓦茨不等式给出

$$|2(x-p_1)-(y-p_2)|\le\sqrt5\,\|(x,y)-p\|.$$

因此半径 $s/\sqrt5$ 可用：离 $p$ 严格小于这个距离的点都满足 $2x-y<5$。半径依赖于点，恰好符合内点定义；不需要让同一个半径适用于整个半平面的全部点。

闭包还有最小性：$\overline A$ 是包含 $A$ 的最小闭集。若 $p\notin\overline A$，就有某个 $B(p,r)$ 避开 $A$；充分靠近 $p$ 的每一点也有小球避开 $A$，所以闭包的补集是开集。若闭集 $F$ 包含 $A$，则 $F$ 外每一点有球避开 $F$，也就避开 $A$，不可能属于 $\overline A$。因此 $\overline A\subseteq F$。

数列将让这些论证更简洁。在欧几里得空间中，$F$ 闭当且仅当每个完全位于 $F$ 内的收敛数列，其极限仍在 $F$ 中。要用于 $x^2+y^2=7$ 这样的方程，可以取方程上的收敛点列，再对两个坐标取极限。要否定闭性，只需构造一个集合内点列，使其极限恰好被遗漏。

最后，有界性要求的是整体距离上界，而不是每一点附近的局部小球。无限条带可以开且无界；圆周可以闭且有界却没有内部。分开处理局部与整体问题，才能避免用一幅示意图代替几个彼此不同的定义。

练习与解答

思考检查

练习1：求自然定义域。

$$g(x,y)=\frac{\log(25-x^2-y^2)}{\sqrt{y+2}}.$$

分别说明每个不等式为何是严格的。

解答 · 练习1解答

对数要求 $x^2+y^2<25$；分母中的平方根要求 $y+2>0$，因为分母不能为零。因此定义域为 $\{(x,y):x^2+y^2<25,\ y>-2\}$。分子中的对数允许等于零，不需要额外删去一条曲线。

思考检查

练习2：判断去心圆盘的性质。

设 $S=\{(x,y):0<x^2+y^2<9\}$。求内部、闭包和边界，并判断开、闭、有界和道路连通性。

解答 · 练习2解答

$S^\circ=S$，$\overline S=\{x^2+y^2\le9\}$，$\partial S=\{(0,0)\}\cup\{x^2+y^2=9\}$。它开且有界，但不闭。把任意两点径向接到半径为 $1$ 的圆上，再用圆弧连接，整个路径半径始终为正且小于 $3$，所以它道路连通。

思考检查

练习3：区分曲线与它围住的区域。

令 $C=\{(x,y):x^2/9+y^2/4=1\}$。求 $C^\circ$、$\overline C$、$\partial C$ 及 $\operatorname{ext}C$。

解答 · 练习3解答

椭圆曲线本身不包含二维开球，故 $C^\circ=\varnothing$。它是闭集，所以 $\overline C=C$ 且 $\partial C=C$。外部是 $\mathbb R^2\setminus C$，同时包括有界的内侧和无界的外侧。“曲线这个集合的内部”和“曲线围住的区域”是不同概念。

分析定义域时，先把公式限制转化为集合，再用开球判断各类局部点，最后考察有界性和路径等整体性质。下一节将使用相同的开球语言，精确表达数列收敛和多元极限中的统一控制。