3.3 链式法则与方向导数

动机

一个量常常依赖于一些中间变量，而这些变量又依赖于其他输入。高度取决于水平位置，位置又取决于时间；用直角坐标表示的函数，也可以通过极坐标输入来研究。在这两种情形中，变化都要经过中间变量。链式法则负责把每条影响路径的贡献准确相加。

可微性让这个过程有严格依据。每一层函数都可以用线性映射近似，因此复合函数可以用这些线性映射的复合来近似。在坐标中，复合对应矩阵乘法。矩阵的行列数记录输入、中间变量和输出各有多少个，所以核对维数本身也是核对依赖结构的一种方法。

方向导数是特别重要的一种复合：把函数限制在经过基点的某条直线上。链式法则于是把梯度转化为沿该直线的变化率。若限制在一般可微曲线上，就得到随路径移动时的变化率。这些公式把坐标求导与最快上升、下降和等值集的几何问题联系起来。

开始之前

对于 $F:\mathbb R^n\to\mathbb R^m$，雅可比矩阵有 $m$ 行、$n$ 列。位移采用列向量；实值函数的梯度通过内积作用于位移。每写一个雅可比矩阵，都应同时注明它的取值点：外层导数在内层函数的输出处计算。

定义

定义

指定方向上的导数

设 $f$ 定义在 $a\in\mathbb R^n$ 的开邻域内，$u$ 是单位向量。若有限双侧极限

$$D_uf(a)=\lim_{t\to0}\frac{f(a+tu)-f(a)}{t}$$

存在，就称它为沿 $u$ 的方向导数。因为 $\|u\|=1$，参数 $t$ 表示沿该直线的带符号距离。

同一个差商也可以使用任意固定向量 $v$。此时描述的是参数变化一单位时的输出变化，移动速度为 $\|v\|$。若 $v\ne0$，相应变化率等于 $\|v\|D_{v/\|v\|}f(a)$。单位向量约定的作用，是把几何方向与人为选择的移动速度分开。

路径 $a+tu$ 只是接近该点的一种规定方式。沿它的导数存在，首先只说明这条路径上的行为。即使每个方向导数都存在，也不自动保证有一个线性近似适用于所有小位移。下面的公式利用可微性建立这种更强的联系。

定义

沿曲线观察到的变化率

设 $\gamma:I\to\mathbb R^n$ 为可微曲线，$t_0$ 位于区间内部，且 $f$ 定义在 $\gamma(t_0)$ 附近。沿曲线观察到的量是一元函数 $f\circ\gamma$；它在 $t_0$ 处的导数表示相对于曲线参数的变化率。向量 $\gamma'(t_0)$ 是速度，同时包含方向与速率。

因此，时间导数和单位方向导数可能具有不同单位。以秒为参数的曲线给出每秒的输出变化；空间坐标下的单位方向导数给出每单位距离的输出变化。若当前速率非零，把前者除以速率，才得到当前移动方向上每单位距离的变化率。

定理与命题

定理

矩阵形式的链式法则

设 $F:U\subseteq\mathbb R^n\to\mathbb R^m$ 在 $a$ 处可微，$G:V\subseteq\mathbb R^m\to\mathbb R^p$ 在 $F(a)$ 处可微。假设 $U,V$ 为开集，且复合函数在 $a$ 附近有定义，则

$$D(G\circ F)(a)=DG(F(a))\,DF(a).$$

矩阵维数为 $(p\times m)(m\times n)=p\times n$。

内层导数先作用于输入位移，所以虽然它写在乘积右边，实际作用的次序却在前。颠倒两个矩阵通常会改变结果，甚至使乘法没有定义。外层取值点 $F(a)$ 同样不可遗漏：外层导数衡量的是从当前输入真正到达的中间位置附近的响应。

定理

曲线变化率与梯度

若 $f$ 在 $a=\gamma(t_0)$ 处可微，且 $\gamma$ 在 $t_0$ 处可微，则

$$(f\circ\gamma)'(t_0)=\nabla f(a)\cdot\gamma'(t_0).$$

特别地，对单位向量 $u$，

$$D_uf(a)=\nabla f(a)\cdot u.$$

若 $\nabla f(a)\ne0$，最大的单位方向变化率为 $\|\nabla f(a)\|$，在方向 $\nabla f(a)/\|\nabla f(a)\|$ 取得；最小值为其相反数，在反方向取得。

柯西–施瓦茨不等式把内积的绝对值控制在梯度范数以内，等号条件确定最大与最小的方向。如果梯度为零，所有单位方向导数均为零，就没有唯一的一阶最快上升方向。仅凭这个结论还不能判断该点是不是极值点。

证明思路

证明

把两个线性近似连接起来

令 $A=DF(a)$、$b=F(a)$、$B=DG(b)$。对小位移，

$$F(a+h)=b+Ah+r(h),\qquad r(h)=o(\|h\|).$$

记 $\Delta=Ah+r(h)$。外层展开为

$$G(b+\Delta)=G(b)+B\Delta+s(\Delta), \qquad s(\Delta)=o(\|\Delta\|).$$

代入后，一阶项为 $BAh$，余项为 $Br(h)+s(\Delta)$。由线性映射的范数上界，充分小的 $h$ 满足 $\|\Delta\|\le C\|h\|$。所以 $Br(h)=o(\|h\|)$，外层余项估计也推出 $s(\Delta)=o(\|h\|)$；若 $\Delta=0$，该余项直接等于零。因此复合函数具有导数 $BA$。

把链式法则用于直线 $\gamma(t)=a+tu$，由于直线的导数就是列向量 $u$，便得到方向导数公式。把它用于一般可微曲线，便得到速度内积公式。这个推导不要求曲线以单位速率移动。

等值集也有一个直接的几何结果。若可微曲线在 $t_0$ 附近满足 $f(\gamma(t))=c$，则沿曲线观察到的值恒定，因而

$$\nabla f(a)\cdot\gamma'(t_0)=0.$$

当梯度非零时，它垂直于所有这样的切向量。三维正则等值面的法向量可由此确定。这里讨论的是真正在等值集中运动的可微曲线，而不是先假定任意向量都一定能由这样的曲线实现。

例题详解

例题

两层向量函数的乘法次序

设

$$F(x,y)=(x^2+y,\ x-y^2),\qquad G(u,v)=(ue^v,\ u^2+v).$$

在 $a=(1,1)$，中间输出为 $F(a)=(2,0)$，所以

$$DF(a)=\begin{pmatrix}2&1\\1&-2\end{pmatrix}, \qquad DG(F(a))=\begin{pmatrix}1&2\\4&1\end{pmatrix}.$$

按复合次序相乘得

$$D(G\circ F)(a)=\begin{pmatrix}4&-3\\9&2\end{pmatrix}.$$

例如第一行第一列的 $1\cdot2+2\cdot1=4$，就是输入 $x$ 经过两条中间通道，对第一个最终输出产生的总影响。

可直接核对：第一个复合分量是 $(x^2+y)e^{x-y^2}$，在 $(1,1)$ 的两个偏导数为 $4,-3$；第二个分量是 $(x^2+y)^2+x-y^2$，两个偏导数为 $9,2$。独立展开核对了矩阵次序与各层取值点。

例题

实际路径与最快上升方向

设 $T(x,y)=40-2x^2-y^2$，路径为 $\gamma(t)=(1+t,2-t^2)$。当 $t=0$ 时，位置是 $a=(1,2)$，速度是 $(1,0)$，而

$$\nabla T(a)=(-4,-4).$$

因此沿当前路径的变化率为 $-4$。直接代入得 $T(\gamma(t))=34-4t+2t^2-t^4$，在零点的导数也为负四。

同一点处，单位距离下最快上升的方向是 $(-1,-1)/\sqrt2$，速率为 $4\sqrt2$；最快下降方向相反，速率为 $-4\sqrt2$。方向 $(1,-1)/\sqrt2$ 的一阶变化率为零，它是等值椭圆 $2x^2+y^2=6$ 的切向方向。

实际运动方向由速度决定，并不一定是最快上升方向。最快方向问题是在同一个点比较所有单位方向；这里的几何比较使用两个坐标相同的空间单位。

例题

极坐标中的角度变化率

设 $f(x,y)=x^2y+xy^2$，并令

$$P(r,\theta)=(r\cos\theta,r\sin\theta),\qquad r>0.$$

其雅可比矩阵为

$$DP(r,\theta)= \begin{pmatrix} \cos\theta&-r\sin\theta\\ \sin\theta&r\cos\theta \end{pmatrix}.$$

对 $H=f\circ P$，链式法则给出

$$H_r=f_x\cos\theta+f_y\sin\theta,\qquad H_\theta=-rf_x\sin\theta+rf_y\cos\theta,$$

其中 $f$ 的偏导数在 $P(r,\theta)$ 处取值。

当 $(r,\theta)=(2,\pi/2)$，直角坐标点为 $(0,2)$，此时 $f_x=4$、$f_y=0$。因此 $H_r=0$、$H_\theta=-8$。角度参数对应的切向速度向量长度为二，所以同一切向方向上每单位距离的变化率是 $-4$。因子 $r$ 记录沿圆周的速度，不能从角度导数中随意删除。

阅读依赖关系图

设 $w=g(u_1,\ldots,u_m)$，而每个中间变量 $u_j$ 都依赖于 $x_1,\ldots,x_n$。对固定输入 $x_i$，

$$\frac{\partial w}{\partial x_i} =\sum_{j=1}^m\frac{\partial g}{\partial u_j} \frac{\partial u_j}{\partial x_i}.$$

每一项对应从 $x_i$ 经过 $u_j$ 到输出的一条路径。沿路径相乘，再对所有中间变量求和，恰好就是雅可比矩阵的行乘列规则。

同一项中的两个因子属于不同层次。第一个因子在当前的中间变量值处计算，第二个因子在原始输入点处计算。先写明这些点，再相乘，能够避免把所有导数都代入同一个坐标组，甚至把维数不符的坐标代入外层函数。

长复合中的矩阵乘法可以利用结合律分组，但不能改变各层的次序。每一次乘法都可用维数核对。标量输出不意味着它的雅可比矩阵应写成列：它是一行，作用于输入列向量。梯度内积记号表达的正是同一个线性作用。

选择题目真正要求的变化率

先识别参数：题目问的是每秒、每单位距离，还是每单位角度的变化？若问沿某方向每单位距离的变化，应把方向向量归一化；若问沿实际运动每秒的变化，应保留速度向量的长度。若变化的是坐标变换中的角度，就使用变换雅可比矩阵相应的列。

再确定各空间中的基点。曲线参数给出空间位置，坐标变换给出直角坐标输入，内层函数给出外层导数的取值点。把这些值固定以后，才组装导数因子。这样能把“函数怎样连接”与“当前在哪里计算”分开检查。

最后解释符号和大小。内积为负表示此刻沿指定运动函数正在下降；内积为零表示没有一阶变化，并不保证沿整条直线一直保持常数。运动继续后，曲率与高阶效应仍可改变函数值。对于等值集，零变化来自路径确实留在同一水平集中的条件。

切向方向不等于整条直线都是等值线

考虑 $f(x,y)=x^2+y^2$ 在 $(1,0)$ 处的情况。梯度为 $(2,0)$，所以竖直单位方向的方向导数为零。但沿竖直直线，$f(1,t)=1+t^2$；每个非零位移都会改变函数值，虽然基点处的导数为零。

与之比较，曲线 $\gamma(t)=(\cos t,\sin t)$ 经过同一个点，在零点也有相同的竖直速度，却因为 $f(\gamma(t))=1$ 而始终留在等值圆上。两条路径的一阶观察变化率相同，二阶偏离却不同。方向导数记录的是共同的一阶信息，不负责区分后续效应。

这个比较说明切向量是瞬时速度，并不保证沿着相应整条直线都留在曲面上。使用梯度作法向量时，先明确等值集方程，并核实目标点处梯度非零；再对真正留在该集合中的曲线应用链式法则。这样得到的正交关系是精确的局部结论，即使等值集整体形状较复杂也成立。

常见错误

常见错误

方向向量与速度向量扮演不同角色

若方向由 $v=(3,4)$ 给出，单位代表是 $(3/5,4/5)$。使用 $a+tv$ 的差商表示以速率五移动，所以其变化率是单位方向变化率的五倍。只有要求每单位距离的变化时才需要归一化；把实际速度归一化会改变时间导数。

不能只因偏导数存在就使用梯度内积公式。该公式的条件是可微。即使所有方向导数都存在，它们对方向的依赖也可能不是线性的。最后一道练习给出连续函数的具体例子，指出这种差别。

总结

链式法则复合导数映射，并按函数次序相乘雅可比矩阵。沿曲线的实值变化率是梯度与速度的内积；单位方向下就是方向导数。柯西–施瓦茨不等式确定最快上升与下降。等值集中的切向速度垂直于梯度。取值点、矩阵维数和参数单位共同保证这些解释一致。

练习

思考检查

设 $F(s,t)=(s+t,st)$、$G(u,v)=u^2+v$，用矩阵链式法则求 $D(G\circ F)(1,2)$。

外层导数应在 $F(1,2)$ 处取值。

解答 · 解答一：两个中间输入之后的一个输出

$F(1,2)=(3,2)$，所以 $DG(3,2)=(6,1)$，并且

$$DF(1,2)=\begin{pmatrix}1&1\\2&1\end{pmatrix}.$$

相乘得行向量 $(8,7)$。

思考检查

设 $f(x,y)=e^{x-y}+xy$，求原点处沿 $(3,4)$ 方向的单位方向变化率，以及最大的单位方向变化率。

先归一化方向，再计算内积。

解答 · 解答二：指定方向与最大速率

函数光滑，$\nabla f(0,0)=(1,-1)$。给定方向的单位向量为 $(3/5,4/5)$，所以变化率为 $-1/5$。最大单位变化率为 $\sqrt2$，在 $(1,-1)/\sqrt2$ 方向取得。若直接使用 $(3,4)$，得到的是参数变化率 $-1$。

思考检查

在原点外定义 $q(x,y)=x^3/(x^2+y^2)$，并令 $q(0,0)=0$。证明原点处所有方向导数存在，但函数不可微。

先沿任意固定单位向量计算，再与坐标偏导数所决定的候选梯度比较。

解答 · 解答三：方向信息未必线性

对单位向量 $u=(u_1,u_2)$ 及非零 $t$，有 $q(tu)=tu_1^3$，所以每个方向上 $D_uq(0)=u_1^3$。坐标偏导数给出候选梯度 $(1,0)$；若可微，则在 $(1,1)/\sqrt2$ 方向上的导数应是 $1/\sqrt2$，实际却为 $1/(2\sqrt2)$，因此不可微。它仍然连续，因为 $|q(x,y)|\le\sqrt{x^2+y^2}$。

直线可能错过弯曲的趋近路径

学习链式法则时，可以先看标量内层函数 $g:\mathbb R^n\to\mathbb R$ 与一元外层函数 $\phi$。若 $g$ 在 $p$ 可微，$\phi$ 在 $g(p)$ 可微，且复合在附近有定义，则

$$D(\phi\circ g)(p)=\phi'(g(p))Dg(p).$$

这个标量情形可以先于一般矩阵法则学习。例如 $g(x,y)=x^2+y^2$、$\phi(s)=e^s$，复合函数在 $(1,0)$ 的梯度是 $e(2,0)=(2e,0)$。外层导数代入的是 $g(1,0)=1$，而不是输入坐标对。在已经可微的条件下，方向导数公式也能直接由线性余项定义推出，无须先掌握矩阵乘法。

例题

所有方向导数都存在，函数却不连续

在整个平面上定义

$$f(x,y)=\begin{cases}\dfrac{xy^2}{x^2+y^4},&(x,y)\ne(0,0),\\0,&(x,y)=(0,0).\end{cases}$$

分母只在原点为零，而原点的函数值已单独指定。固定一个单位方向 $u=(a,b)$，满足 $a^2+b^2=1$。我们必须计算定义中的差商，不能先假设梯度公式成立。当 $t\ne0$ 时，

$$f(ta,tb)=\frac{t a b^2}{a^2+t^2b^4}.$$

若 $a\ne0$，先除以 $t$，再取极限，得到

$$D_uf(0,0)=\lim_{t\to0}\frac{a b^2}{a^2+t^2b^4}=\frac{b^2}{a}.$$

若 $a=0$，整条直线都有 $x=0$，所以 $f(0,tb)=0$，从而 $D_uf(0,0)=0$。这一情况必须单独处理，因为 $b^2/a$ 此时无定义。因此，每个固定单位方向都有有限的双侧方向导数。沿每条固定直线，函数本身也都趋向零。

现在沿抛物线 $\gamma(t)=(t^2,t)$ 趋近。当 $t\ne0$ 时，

$$f(t^2,t)=\frac{t^4}{t^4+t^4}=\frac12,\qquad \|\gamma(t)\|=\sqrt{t^4+t^2}\longrightarrow0.$$

函数值不趋向 $f(0,0)=0$。因此 $f$ 在原点不连续，更不可能在那里可微。只要一条这样的路径就能否定连续性，无须检查所有可能的曲线。

为什么所有直线检查都错过了它？直线固定两个坐标的比例；抛物线上却有 $x=y^2$，趋近原点时方向在改变。沿这条曲线，分母两项始终完全平衡。沿固定的非竖直直线，$x^2$ 最终主导 $y^4$；竖直线上则是分子恒为零。对每个固定方向分别成立的结论，不等于对随距离变化的方向有统一估计。

常见错误

坐标偏导存在，不代表可以使用链式法则

这里 $f_x(0,0)=f_y(0,0)=0$。若错误地使用梯度公式，就会断言所有方向的变化率都是零。实际上，$u=(1,1)/\sqrt2$ 的定义差商给出 $D_uf(0,0)=1/\sqrt2$。此外，虽然 $\gamma'(0)=(0,1)$，复合函数 $f\circ\gamma$ 在零点却连连续都做不到。不能使用链式法则，因为 $f$ 可微这一条件不成立。

思考检查

4. 比较直线、曲线路径与前面的连续反例。

对上面的 $f$，求 $u=(3/5,4/5)$ 与 $u=(0,1)$ 的方向导数。对固定实常数 $c$ 和 $t\ne0$，计算 $f(ct^2,t)$。说明为什么它对连续性的否定，比前面在原点取零的 $q(x,y)=x^3/(x^2+y^2)$ 更强。

解答 · 4. 方向导数中的方向必须固定

第一个方向导数是 $(4/5)^2/(3/5)=16/15$；竖直方向导数是零。沿这一族曲线路径，

$$f(ct^2,t)=\frac{ct^4}{c^2t^4+t^4}=\frac{c}{c^2+1}.$$

每个固定的 $c\ne0$ 都在输入趋近原点时给出非零极限。这些是曲线路径，而不是方向向量固定的直线。前面的 $q$ 虽然所有方向导数存在且不可微，却仍然连续，因为 $|q(x,y)|\le\sqrt{x^2+y^2}$。两个例子都不可微，只有现在的 $f$ 还不连续。必须区分这两种不同的逻辑失败。