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章节 1
欧几里得几何与坐标
建立多元微积分所用的向量、距离、直线、平面、坐标系统与曲面语言。
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1.1 向量、内积与范数
从坐标、内积、范数与等号条件出发，连接向量计算与欧几里得几何。
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1.2 直线、平面、面积与体积
推导直线与平面方程，再以投影及向量积计算距离、面积与体积。
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1.3 坐标、曲线与曲面
转换直角、极、柱与球坐标，并解读曲线、等值集及二次曲面。
章节 2
点集、极限与连续性
精确描述定义域、控制趋近一点的所有方式，并连接连续性、紧致性与存在性结论。
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2.1 定义域与点集
确定自然定义域，并用开球、内点、边界、开集与闭集精确描述区域。
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2.2 数列与多元极限
以一致估计与数列判据证明极限，并区分路径测试与存在性证明。
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2.3 连续性与紧致性
运用连续性、紧致性与收敛子列，证明极值存在并建立一致控制。
章节 3
多元微分
从坐标偏导数走向线性映射，再复合导数并解读沿曲线与方向的变化率。
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3.1 偏导数与梯度
计算偏导数与混合偏导数，以梯度整理一阶信息，并厘清交换微分次序所需条件。
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3.2 可微性与线性化
以线性近似及相对误差定义可微性，推导切平面、全微分与 C1 充分条件。
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3.3 雅可比矩阵、链式法则与方向导数
运用雅可比矩阵与链式法则，处理复合映射、曲线、方向变化率与最速上升。