3.1 偏导数与梯度

动机

房间中某一点的温度取决于三个坐标。保持高度和南北位置不变而向东移动，是一种测量；保持水平位置不变而上升，是另一种测量。偏导数描述其中一个坐标方向上的瞬时变化率。它让我们继续使用一元求导方法，同时清楚说明究竟是哪一个输入在变化。

“其余变量保持不变”不是计算时的一句口号。它确定了一条经过指定点的坐标直线，在这条直线上得到一个一元函数，再对这个一元函数取差商极限。因而乘法、商法则以及一元链式法则仍然适用。所得结果首先只解释这条坐标直线上的变化，尚不能直接描述所有方向的变化。

本节先建立偏导数的定义，把各坐标变化率组织成梯度，再讨论重复求导和混合偏导数。核心区别是：若干个坐标方向上的极限存在，与整个多元函数在点附近有良好行为，是两个不同层次的命题。后续的可微性会补上两者之间的联系。

开始之前

你需要熟悉一元函数的差商、乘积求导以及复合求导。记 $e_i$ 为第 $i$ 个分量等于一、其余分量等于零的标准基向量。我们在开集内部研究导数；开集保证从指定点出发，沿每个坐标轴作足够短的正、负方向移动时仍在定义域中。

定义

定义

一点处的偏导数

设 $U\subseteq\mathbb R^n$ 为开集，$f:U\to\mathbb R$，且 $a\in U$。若有限极限

$$\partial_i f(a)=\lim_{t\to0}\frac{f(a+t e_i)-f(a)}{t}$$

存在，就称它为 $f$ 在 $a$ 处对第 $i$ 个变量的偏导数，也记为 $\frac{\partial f}{\partial x_i}(a)$。二元函数中通常写成 $f_x$ 和 $f_y$。

例如，对固定的 $b$ 定义 $g(t)=f(t,b)$，便有 $f_x(a,b)=g'(a)$。取极限时，第二个坐标始终是同一个数 $b$，不能偷偷把它改成第一个坐标的函数。若考虑的是 $f(t,t^2)$，两个坐标都会变化，所得一元导数回答的是另一道问题。

对于普通表达式，通常先求出偏导数函数，再代入目标点。对 $x$ 求导时，只依赖于 $y$ 的因子是常数；但 $e^{xy}$ 中的指数仍然依赖于 $x$，所以求导时必须保留一元链式法则产生的因子 $y$。判断“是否为常数”要以当前变化的输入为准。

定义

梯度、重复偏导数与光滑性

当全部一阶偏导数在 $a$ 处存在时，定义梯度

$$\nabla f(a)=\bigl(\partial_1f(a),\ldots,\partial_nf(a)\bigr).$$

本节采用 $f_{xy}=\partial_y(f_x)$ 的约定，即先对 $x$ 求导，再对 $y$ 求导。若函数在开集上所有不超过 $r$ 阶的偏导数都存在且连续，就称它属于 $C^r$ 类。

梯度把坐标变化率放进一个向量。每个分量仍然带有相应的输入单位：对米求导与对秒求导描述的变化不同。利用欧几里得几何解释梯度方向时，坐标的尺度与单位应当属于模型本身。把两个数字并列起来，并不会自动消除它们的量纲差异。

定义 $C^r$ 时的“连续”不可省略。某个导数处处存在，并不意味着这个导数函数一定连续。$C^\infty$ 表示任意有限阶的偏导数都存在且连续。多项式是最基本的例子；有理函数则在分母非零的开集上光滑。对分段函数中的特殊点，应直接核对条件。

定理与命题

定理

偏导数的代数运算法则

若 $f,g$ 在 $a$ 处都有第 $i$ 个偏导数，则

$$\partial_i(f+g)(a)=\partial_if(a)+\partial_ig(a),$$$$\partial_i(fg)(a)=g(a)\partial_if(a)+f(a)\partial_ig(a).$$

若另有 $g(a)\ne0$，则沿该坐标直线在 $a$ 附近商有定义，并且

$$\partial_i(f/g)(a) =\frac{g(a)\partial_if(a)-f(a)\partial_ig(a)}{g(a)^2}.$$

证明只需把两个函数限制在同一条坐标直线上，再应用一元求导规则。商法则中的非零条件也可在该直线上解释：限制函数可导，因此在该点连续；分母在点处非零，就会在足够短的坐标移动中继续非零。这个论证没有假设整个多元函数已经连续。

定理

连续混合偏导数的交换

若 $f$ 在 $(a,b)$ 的某个开邻域上属于 $C^2$，则

$$f_{xy}(a,b)=f_{yx}(a,b).$$

更一般地，若函数属于 $C^r$，则任意不超过 $r$ 阶的重复偏导数都可以交换求导次序而不改变结果。

这一定理是在条件满足时允许交换次序，并非把两种混合偏导数直接定义为同一个对象。对由初等光滑函数组成、且点处位于定义域内部的表达式，条件常可立即验证；对特殊点上的分段定义，不能因为远离该点时的公式看起来平滑，就推断该点也满足条件。

证明思路

证明

用一个矩形增量比较两个求导次序

对充分小的非零 $h,k$，考虑

$$A(h,k)=f(a+h,b+k)-f(a+h,b)-f(a,b+k)+f(a,b).$$

先沿 $x$ 方向、再沿 $y$ 方向使用一元平均值定理，可在矩形内部找到中间点，使

$$\frac{A(h,k)}{hk}=f_{xy}(\xi,\eta).$$

反过来使用平均值定理，可以找到另一组中间点，使

$$\frac{A(h,k)}{hk}=f_{yx}(\widetilde\xi,\widetilde\eta).$$

当 $(h,k)\to(0,0)$ 时，两组中间点都趋向 $(a,b)$。混合偏导数的连续性使两个右侧分别趋向目标点处的混合偏导数；左侧始终是同一个量，因此两个极限相等。负的增量可用端点之间的区间作同样处理。

矩形四项差消除了仅由一个坐标产生的变化。它比较的是先改变一个坐标后，另一个坐标所产生的额外变化。两次平均值定理选出的中间点无需相同；连续性把它们的函数值带到同一个目标点。这也解释了为什么证明中需要关于偏导数的连续性。

高阶情形可通过反复交换相邻的求导次序得到。每一次交换都把适当的低阶导数看成新的函数，应用二阶结果。$C^r$ 条件保证整个过程中需要的导数存在且具有连续性，而不是只保证最终写出的符号有意义。

例题详解

例题

三个输入分别变化

设

$$f(x,y,z)=x^2y+e^{xz}\sin y.$$

逐个固定其余两个变量，得到

$$f_x=2xy+ze^{xz}\sin y,\qquad f_y=x^2+e^{xz}\cos y,\qquad f_z=xe^{xz}\sin y.$$

因此

$$\nabla f(1,0,0)=(0,2,0).$$

可直接核对第二个分量：沿该坐标直线，$f(1,t,0)=t+\sin t$，在零点的导数等于二。第一条坐标直线则给出 $f(t,0,0)=0$，所以导数为零。

进一步计算，

$$f_{xy}=2x+ze^{xz}\cos y=f_{yx}.$$

由于函数光滑，计算前就已知道两者相等。两种次序分别算一遍，还可检查指数求导产生的因子有没有遗漏。这里的梯度首先表示三个独立的坐标实验；一般方向的解释需要下一节的可微性。

例题

偏导数存在，函数却不连续

定义

$$g(x,y)= \begin{cases} \dfrac{xy}{x^2+y^2},&(x,y)\ne(0,0),\\ 0,&(x,y)=(0,0). \end{cases}$$

两条坐标轴上的函数值恒为零，所以由定义立刻得到

$$g_x(0,0)=g_y(0,0)=0.$$

但沿 $y=x$ 有 $g(t,t)=1/2$，对所有非零 $t$ 都成立。这个值不趋向 $g(0,0)$，所以原点处不连续。

两种结论没有矛盾。偏导数只考察规定的一条直线，连续性却考察定义域中所有充分接近的点。坐标轴恰好没有看见对角线上的行为。因此，不能看到梯度为零，就认定函数在附近不变化或能够被一个常数良好近似。

例题

特殊点处不相等的混合偏导数

定义

$$q(x,y)= \begin{cases} \dfrac{xy(x^2-y^2)}{x^2+y^2},&(x,y)\ne(0,0),\\ 0,&(x,y)=(0,0). \end{cases}$$

由于两条坐标轴上的限制恒为零，$q_x(0,0)=q_y(0,0)=0$。固定 $y\ne0$，直接计算

$$q_x(0,y)=\lim_{h\to0}y\frac{h^2-y^2}{h^2+y^2}=-y.$$

于是 $q_{xy}(0,0)=-1$。同样，固定 $x\ne0$ 可得 $q_y(x,0)=x$，所以 $q_{yx}(0,0)=1$。

原函数在原点其实连续，因为

$$|q(x,y)|\le |xy|\le\frac{x^2+y^2}{2}.$$

这个估计说明，仅要求原函数连续仍不足以保证混合偏导数相等。定理中的连续条件约束的是导数，而不只是原函数的值。

可靠的计算步骤

先写清开定义域，处理对数真数、根式和分母限制；再明确这一步对哪个变量求导。把其余独立变量视作固定数，求出表达式以后才代入坐标。这个次序能够保留那些在目标点恰好为零、但在求导时不能预先删除的项。

面对分段函数，先判断目标点是否属于特殊定义的部分。远离特殊点时可以使用通常的表达式规则；在特殊点处，应回到差商定义。只在分母非零处推导的公式，不能直接通过代入分母为零的点来使用。计算附近的偏导数时，还要分别说明附近点落在哪一段。

重复求导时，若下标容易混淆，就写出中间的一阶偏导数。只有在核实交换定理的条件后，才能用另一种次序简化计算。对于光滑函数，两种次序同时计算也是有效的算术核查。出现不同答案时，应同时检查计算与条件，不能仅凭符号形式断言哪一个必然错误。

从一个变化率到一个导函数

记号 $f_x$ 实际涉及两种对象。固定点处的 $f_x(a,b)$ 是由一个差商极限得到的数；在这些极限都存在的区域上，把每个点映到该偏导数值，才得到新的函数 $(x,y)\mapsto f_x(x,y)$。二阶偏导数研究的是这个新函数。知道新函数在一点的值，并不足以求出它在该点的导数。

例如，$f_x(a,b)=0$ 只说明导函数在这一个点的值为零，不说明邻近点处也为零，更不能推出 $f_{xy}(a,b)=0$。按定义计算后者，需要先求出小的非零 $k$ 对应的 $f_x(a,b+k)$，再计算差商。前面的混合偏导数反例正是先求附近的一阶偏导数，再作第二次极限。

这也说明第一次求导以后仍需检查定义域。导函数的定义域可能比原函数小，特殊点上的值也可能需要单独处理。如果有效区域有所变化，应把它写在导函数旁边。一个代数表达式即使正确，若缺少适用区域，在下一步求边界极限或特殊点导数时仍会造成误导。

常见错误

常见错误

过早代入把函数变成了一个数

若 $f(x,y)=x^2y$，虽然 $f(0,0)=0$，但对这个数求导不能得到偏导数函数。应先求 $f_x(x,y)=2xy$。若使用定义求特殊点处的导数，要让一个坐标在该点附近变化，而非把所有邻近输入都替换成同一个点。

另一个常见混淆是把依赖关系与独立输入混在一起。符号 $f_x$ 的约定是保持 $y$ 固定；而对 $f(x,y(x))$ 求一元导数时，两条输入通道都可能变化。公式外观相同，不表示问题相同；求导方式取决于允许输入怎样移动。

梯度也不是函数值本身。零梯度说明该点的一阶坐标变化率为零，并不说明函数值为零、附近恒为常数，或该点一定是极大或极小点。即使函数十分光滑，二阶及更高阶的信息仍可能区分完全不同的局部形状。

总结

偏导数是一条坐标限制上的一元导数。梯度收集所有一阶坐标变化率，重复偏导数则研究这些变化率怎样继续变化。代数法则来自一元微积分；连续混合偏导数可以交换次序，仅有存在性不能保证交换。计算时应始终保留定义域、目标点和求导次序。

练习

思考检查

设 $f(x,y)=\log(1+x^2+y^2)$，求 $\nabla f(1,2)$ 与 $f_{xy}(1,2)$。

再次求导时，分母也依赖于正在变化的变量。

解答 · 解答一：光滑对数函数

由于真数处处为正，

$$\nabla f=\left(\frac{2x}{1+x^2+y^2},\frac{2y}{1+x^2+y^2}\right).$$

所以 $\nabla f(1,2)=(1/3,2/3)$。再求导得

$$f_{xy}=-\frac{4xy}{(1+x^2+y^2)^2},\qquad f_{xy}(1,2)=-\frac29.$$

思考检查

设 $p(x,y)=xy^2$，从坐标限制的定义直接求 $p_x(2,-1)$ 与 $p_y(2,-1)$。

两种偏导数对应两条不同的坐标限制。

解答 · 解答二：两条不同的限制

第一个坐标方向上，$p(2+t,-1)=2+t$，所以差商等于一。第二个方向上，

$$\frac{p(2,-1+t)-p(2,-1)}{t} =\frac{2(-1+t)^2-2}{t}=-4+2t.$$

因此两个偏导数分别为 $1$ 与 $-4$。

思考检查

设 $r(x,y)=x^3y^2$，计算两个二阶混合偏导数，并说明它们为何处处相等。

按约定，$r_{xy}$ 表示先求 $r_x$，再对 $y$ 求导。

解答 · 解答三：计算次序与定理条件

$r_x=3x^2y^2$，$r_y=2x^3y$，所以 $r_{xy}=6x^2y=r_{yx}$。多项式在整个 $\mathbb R^2$ 上属于 $C^\infty$，混合偏导数交换定理处处适用。

只在一点使用 Clairaut：各项条件究竟做什么？

定理

只要求目标点连续的 Clairaut 定理

设 $f$ 定义在包含 $p=(a,b)$ 的开集上。假设 $f_{xy}$ 与 $f_{yx}$ 在 $p$ 周围的某个开球内处处存在，而且这两个混合偏导函数都在 $p$ 连续，则

$$f_{xy}(a,b)=f_{yx}(a,b).$$

这里 $f_{xy}=\partial_y(f_x)$。在开球内存在，包含了定义混合偏导所需的一阶偏导存在。连续性只要求在目标点成立，不要求在球内每一点成立。

条件中有两个不同的范围。附近存在，让我们能够沿证明中的小矩形求导；目标点连续，让中间点处的导数值趋向我们所求的导数值。只知道两个混合偏导在 $p$ 存在，并不能满足第一项。只知道原函数 $f$ 连续，也不能满足第二项。

前面的 $C^2$ 版本是方便使用的充分条件：它要求所有二阶偏导在整个邻域连续。这里的逐点版本要求更弱，特别是不要求 $f_{xx}$ 或 $f_{yy}$ 连续。反过来，某一点两个混合偏导相等，也不能证明上述正则性条件；充分条件不等于必要条件。

证明

矩形证明为什么只需目标点连续？

沿用前面的增量 $A(h,k)$，并把 $h,k$ 取得足够小，使整个矩形都在球内。令 $g(x)=f(x,b+k)-f(x,b)$。由于 $f_x$ 存在，$g$ 在稍大的区间上可导，因此在 $a$ 与 $a+h$ 之间的闭区间连续。一元中值定理给出

$$A(h,k)=h\bigl(f_x(\xi,b+k)-f_x(\xi,b)\bigr).$$

再对 $y\mapsto f_x(\xi,y)$ 使用中值定理；它的导数 $f_{xy}$ 在所需区间内存在，所以

$$A(h,k)=hk f_{xy}(\xi,\eta).$$

交换两个坐标的角色，得到 $A(h,k)=hk f_{yx}(\widetilde\xi,\widetilde\eta)$。每个中间点都在不断缩小的矩形内，因此都趋向 $p$。两个混合偏导在 $p$ 连续，就给出了同一个商 $A(h,k)/(hk)$ 的两个极限；它们必须相等。整个论证没有要求混合偏导在 $p$ 以外的点连续。

例题

用定理选择更方便的求导顺序

设 $F(x,y)=x^2y^3+e^{xy}$，求 $F_{xy}(1,0)$。多项式与指数函数的乘积、复合在整个 $\mathbb R^2$ 上光滑，所以定理适用。按题目所写的顺序求导，得到

$$F_x=2xy^3+ye^{xy},\qquad F_{xy}=6xy^2+e^{xy}+xye^{xy},\qquad F_{xy}(1,0)=1.$$

反过来先求 $F_y=3x^2y^2+xe^{xy}$，再对 $x$ 求导，也得到同一表达式。定理允许我们选择顺序，而两个结果一致也能核对计算。如果在两次求导之前先把 $y=0$ 代入 $F$，就抹掉了横向变化的信息，可能错误地得到零。

常见错误

不能使用定理，不代表已经证明不相等

如果尚未证明连续性，应说“暂时不能用 Clairaut”，而不是“混合偏导不相等”。要证明不相等，需要像前面的分段例子一样，分别计算。正确的逆否推理是：若两个混合偏导在某个球内存在，却在球心取不同值，则它们不可能都在球心连续。

思考检查

4. 区分定理条件与结论。

假设 $f_{xy}$ 与 $f_{yx}$ 在 $p$ 周围的球内存在，并在 $p$ 连续，但没有提供 $f_{xx}$ 或 $f_{yy}$ 的信息。能否推出它们在 $p$ 相等？能否推出整个球内处处相等？如果只知道在 $p$ 存在，又怎样？

解答 · 4. 逐点信息给出逐点结论

逐点 Clairaut 定理保证在 $p$ 相等，不需要纯二阶偏导的信息。题设不能保证整个球内处处相等：其他点的连续性没有给出，应在满足条件的点分别应用定理。如果只知道在 $p$ 存在，就不能保证相等。前面的函数 $q$ 满足 $q_{xy}(0,0)=-1$、$q_{yx}(0,0)=1$，明确否定了这个更弱的命题。