1.2 直线、平面与体积

用允许的方向描述点集

从一个起点沿一个方向移动，就生成一条直线；允许沿两个独立方向移动，则生成一个平面。方程提供另一种描述：规定哪些点满足限制。在线性几何中，我们不断在这两种观点之间转换。这套语言也为后面的切线、切平面作准备。

起点决定位置，方向决定对象如何伸展。经过原点的直线与平移后的平行直线拥有相同方向，却不是同一个点集。把位置与方向分开，便能清楚地讨论交点、不同表示是否等价，以及怎样构造最近点。

定义

直线与超平面

给定 $P_0\in\mathbb R^n$ 及非零向量 $v$，经过 $P_0$、方向为 $v$ 的直线是

$$L=\{P_0+tv:t\in\mathbb R\}.$$

给定非零向量 $n\in\mathbb R^n$ 及实数 $c$，法向量为 $n$ 的超平面是

$$H=\{x\in\mathbb R^n:\langle n,x\rangle=c\}.$$

若 $P_0\in H$，也可写成 $\langle n,x-P_0\rangle=0$。超平面的维数为 $n-1$；在二维中是直线，在三维中是通常的平面。

若给出两个不同点，方向可取两点之差。限制参数在零与一之间得到线段，允许参数取所有实数则得到完整直线。把起点换成直线上另一点，相当于平移参数；把方向乘以非零实数，则改变遍历速度或方向。参数式是对点集的一种描述，同一个点集可以有不同的参数式。

例题

转换直线表示时保留常量坐标

经过 $A=(2,-1,1)$、$B=(4,0,1)$ 的直线，其方向为 $(2,1,0)$，故

$$(x,y,z)=(2,-1,1)+t(2,1,0).$$

消去参数得到 $x-2y=4$ 及 $z=1$。在三维空间中，两条方程都要保留。合适的对称形式是 $(x-2)/2=y+1$，并附上 $z=1$。第三个方向分量为零，表示第三坐标固定，并不是可以把它放进分母。

垂直位移给出最近点

最近点问题寻找一个允许的位置，使它到给定位置的距离最小。对直线，先分离沿直线的分量；对超平面，先分离沿法向量的分量。正交分解不仅构造候选点，还能证明它确实比其他所有允许点都近。

定理

直线上的最近点

设 $L=P_0+\mathbb Rv$，其中 $v\ne0$，并令 $w=P-P_0$。离 $P$ 最近的唯一点为

$$Q=P_0+\frac{\langle w,v\rangle}{\|v\|^2}v, \qquad \operatorname{dist}(P,L)=\|P-Q\|.$$

证明

为什么其他点不能更近

构造保证 $P-Q\perp v$。直线上任意其他点可写成 $Q+sv$，因此

$$\|P-(Q+sv)\|^2=\|P-Q\|^2+s^2\|v\|^2.$$

第二项非负，且仅在 $s=0$ 时为零，所以 $Q$ 是唯一的最近点。这里利用了 $v$ 非零；否则参数改变并不会生成不同的直线点。

例题

空间直线上的垂足

令 $P=(3,2,4)$、$L=(1,0,1)+t(1,2,2)$。位移为 $w=(2,2,3)$，与方向向量的内积为 $12$，方向长度的平方为 $9$，故

$$Q=(1,0,1)+\tfrac43(1,2,2)=(7/3,8/3,11/3).$$

余项是 $(2/3,-2/3,1/3)$，与 $(1,2,2)$ 的内积为零，长度为 $1$。所以所求距离为 $1$。检验 $Q$ 在线上，控制候选点的位置；检验余项垂直，则控制最小性。

定理

超平面上的最近点

设 $H=\{x:\langle n,x\rangle=c\}$，其中 $n\ne0$。离 $P$ 最近的点及距离为

$$Q=P-\frac{\langle n,P\rangle-c}{\|n\|^2}n, \qquad \operatorname{dist}(P,H)=\frac{|\langle n,P\rangle-c|}{\|n\|}.$$

证明

分离法向与平面内的方向

代入可得 $\langle n,Q\rangle=c$，故 $Q\in H$。位移 $P-Q$ 平行于 $n$。任取 $R\in H$，差向量 $Q-R$ 与 $n$ 的内积为 $c-c=0$，所以

$$\|P-R\|^2=\|P-Q\|^2+\|Q-R\|^2.$$

仅当 $R=Q$ 时右侧最小。最后对法向位移取范数，便得到距离公式。这个论证适用于任意维度，不依赖三维图形。

例题

点到平面的距离与垂足

对 $H:x+2y-2z=4$，取 $n=(1,2,-2)$，其范数为 $3$。若 $P=(1,2,-1)$，平面方程的有符号余量为 $7-4=3$，故

$$Q=P-\tfrac13 n=(2/3,4/3,-1/3), \qquad \operatorname{dist}(P,H)=1.$$

把 $Q$ 代入，确有 $2/3+8/3+2/3=4$。余量的符号决定沿哪一侧法向移动；距离则取绝对值。求垂足时若过早取绝对值，可能会朝错误方向移动。

叉积同时记录法向与面积

在三维空间，两个独立方向确定一个法向方向。叉积构造这个法向，同时测量两向量张成的面积。内积的结果是标量，叉积的结果是向量；交换输入次序会反转叉积方向，因此方向信息不能随意丢掉。

定义

三维向量的叉积

对 $u,v\in\mathbb R^3$，定义

$$u\times v=(u_2v_3-u_3v_2,\ u_3v_1-u_1v_3,\ u_1v_2-u_2v_1).$$

它垂直于两个输入，对每个变量分别线性，并满足 $v\times u=-(u\times v)$；方向由右手定则规定。

展开坐标公式，可以验证

$$\|u\times v\|^2=\|u\|^2\|v\|^2-\langle u,v\rangle^2.$$

当输入非零时，右侧是 $\|u\|^2\|v\|^2\sin^2\theta$。夹角位于 $[0,\pi]$，正弦非负，所以叉积长度就是底乘以垂直高，也就是以两向量为邻边的平行四边形面积。三角形面积是它的一半。若两向量线性相关，叉积为零，对应平行四边形退化为线段。

给出三个不共线点时，应先从同一个顶点出发，形成两个边向量，再求叉积。所得非零向量是通过三点的唯一平面的法向量。直接把从原点出发的位置向量拿来作叉积，通常并不能得到所求平面的法向，因为原点未必在这个平面中。

例题

一次计算得到平面、面积与体积

取 $A=(0,1,0)$、$B=(2,1,1)$、$C=(1,3,0)$。边向量为 $u=(2,0,1)$、$v=(1,2,0)$，故

$$u\times v=(-2,1,4).$$

它与 $u,v$ 的内积都为零。三角形面积为 $\sqrt{21}/2$，所在平面为 $-2x+y+4z=1$。若再取 $D=(1,0,3)$，则 $D-A=(1,-1,3)$，且

$$\langle u\times v,D-A\rangle=-2-1+12=9.$$

对应平行六面体体积为 $9$，四面体体积为 $9/6=3/2$。

标量三重积等于以三个边向量为行的行列式。它的绝对值是底面积乘以垂直高：叉积给出带方向的底面法向量，内积提取第三条边沿法向的分量。四面体体积是三角形底面积乘高的三分之一，因此是对应平行六面体的六分之一。三重积为零，表示三个边向量线性相关，也就是四个顶点共面。交换两条边会改变三重积的符号，但不会改变几何体积。

交点与相对位置

要找直线与超平面的交点，把参数式代入方程，得到关于参数的一元一次方程。如果方向与法向量的内积非零，就有唯一交点。如果内积为零，方程可能无解，也可能对每个参数都成立；后一种情况表示整条直线都在超平面内。因此，方向平行并不足以判断两个集合是否相交，还要检查起点位置。

直线与平面的锐夹角，是直线方向与法向量锐夹角的余角，所以它的正弦等于内积绝对值除以两向量范数之积。两个不平行平面交于一条直线，直线方向可取两个法向量的叉积。再联立两个平面方程找出一个交点，就得到完整参数式。若法向量成比例，应按同一比例比较常数，以区分重合与平行不相交。

空间中两条不平行直线也可能不相交，这种情况称为异面。把两个参数式设为相等，会得到三个坐标方程；必须由同一对参数同时满足三式。只解其中两式，可能得到一个不满足第三式的候选点。平行、相交和共面是不同问题，应分别检查对应的方向关系及坐标方程。

高维仿射平面

定义

k 维仿射平面

若 $v_1,\ldots,v_k$ 在 $\mathbb R^n$ 中线性无关，则

$$P=P_0+\operatorname{span}\{v_1,\ldots,v_k\} =\left\{P_0+\sum_{i=1}^k t_i v_i:t_i\in\mathbb R\right\}$$

称为一个 $k$ 维仿射平面。

维数是独立方向的数量，与外部坐标的数量不同。四维空间中的二维平面仍然只需要两个独立参数。改用方程描述时，一个相容且秩为环境维数减二的线性系统，会描述这样的平面。重复方程不会额外消除自由度，所以只数写出来的方程条数，而不检查独立性，可能算错维数。

高斯消元通过找出自由变量，把方程化为参数式；反过来，消去参数就得到全部点共同满足的方程。不相容系统的解集为空，并不是仿射平面。若系统相容，它的解集是一组特解加上系数矩阵的零空间：特解负责定位，零空间的一组基负责给出独立方向。这样，线性代数的解集结构便与几何中的“位置加方向”完全一致。

这种对应也解释了为什么超平面只有一个独立约束，却可以有很多参数。一个非零线性方程消除一个自由度，剩下的方向构成法向量的正交补。多个约束只有在增加矩阵的秩时才会进一步降低维数；增加冗余方程只改变描述方式，不改变点集。

计算中的几何检查

把平面方程整体乘以非零实数，不会改变平面。距离公式的分子与分母会同时乘上该数的绝对值，因此距离不变，垂足公式也不变。在三维中，点到直线的距离也可由位移与方向向量的叉积长度除以方向长度求得：分子是平行四边形面积，再除以底长就得到垂直高。投影法与叉积法表达同一个几何高度。

若要求两个集合之间的距离，可寻找同时垂直于两边允许方向的连接位移。例如对两条异面直线，让两端点分别沿各自参数移动，再要求连接向量与两个方向都正交，便得到关于两个参数的线性系统。解出之后仍应检查两个正交关系，才能确认求得的是公垂线段，而不只是任意连接线段。

先区分题目给的是位置、方向还是法向。法向量垂直于平面内的位移，方向向量则沿着对象延伸。需要生成点时优先用参数式，需要检验成员或增加约束时优先用方程。距离题应先构造候选点，再检验它与给定点之间的余项是否垂直于所有允许方向。

最后核对答案的类型。平面方程不是一个点；叉积要取范数才成为面积；行列式要取绝对值才成为几何体积。两个参数式看起来不同，也可能生成同一个集合。比较时检查一个共同点及方向空间，通常比逐个比较系数更直接。题目若同时要求距离与最近点，只报一个正确距离仍不足以确定所求位置。

常见错误

在环境空间中数独立约束

三变量的一条非平凡线性方程描述平面，空间直线一般需要两条独立方程。单参数式只有在方向非零时才描述直线；双参数式只有在两个方向独立时才描述平面。

练习与解答

思考检查

1. 构造平面并求三角形面积。

求经过 $(1,0,0)$、$(1,2,0)$、$(1,0,3)$ 的平面，并求三点组成的三角形面积。

解答 · 1. 从同一顶点形成边向量

边向量为 $(0,2,0)$、$(0,0,3)$，叉积为 $(6,0,0)$。平面是 $x=1$，面积为 $6/2=3$。

思考检查

2. 求距离及垂足。

求平面 $2x-y+2z=6$ 上离原点最近的点及其到原点的距离。

解答 · 2. 沿法向量移动

法向量为 $(2,-1,2)$，长度平方为 $9$。最近点是 $(6/9)(2,-1,2)=(4/3,-2/3,4/3)$，其范数为 $2$。代入平面方程，左侧确实等于 $6$。

思考检查

3. 判断两条不平行直线是否相交。

比较 $L=(t,0,0)$ 与 $M=(0,1+s,1)$，其中 $s,t$ 为实参数。

解答 · 3. 第三坐标阻止相交

方向分别是 $(1,0,0)$、$(0,1,0)$，所以两线不平行。但 $L$ 上每点的第三坐标为 $0$，$M$ 上每点的第三坐标为 $1$，故不相交，是两条异面直线。