2.3 连续性与紧致性

极限描述邻近点的函数值；连续性还要求这些值与中心点的函数值一致。这个看似很小的补充，正是近似计算能够成立的原因：输入测量只有很小误差时，连续模型的输出误差也能控制得很小。在多个变量的情形，控制必须覆盖所有可用方向；在边界处，则必须通过实际定义域来理解趋近。

连续性是局部性质，紧致性则是整个集合的性质。两者结合，可以推出从单点公式中不易看出的整体结论：非空紧集上的连续实函数一定取得最大值和最小值，而且同一个输入容差可以控制整个集合上的输出误差。本节将解释这些结论之间的推理链条，而不把它们当成互不关联的规则。

指定定义域上的连续性

定义

一点处连续

设 $F:D\subseteq\mathbb R^n\to\mathbb R^m$，且 $a\in D$。若对每个 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，使

$$x\in D,\quad\|x-a\|<\delta \quad\Longrightarrow\quad \|F(x)-F(a)\|<\varepsilon,$$

则 $F$ 在 $a$ 处相对于 $D$ 连续。若这一条件在每个定义域点成立，则称 $F$ 在 $D$ 上连续。

若 $a$ 是 $D$ 的聚点，定义等价于 $\lim_{x\to a,\ x\in D}F(x)=F(a)$。若 $a$ 是孤立点，连续性自动成立：取一个只包含该定义域点的小球即可。使用全部定义域点的定义，同时涵盖这两种情况，不必在孤立点处另谈去心极限。

数列判据提供另一种判断方式：$F$ 在 $a$ 连续，当且仅当 $x_k\in D$ 且 $x_k\to a$ 必然推出 $F(x_k)\to F(a)$。这里允许数列项等于 $a$。证明与极限数列判据相同；若连续性失败，就能选出距离 $a$ 小于 $1/k$ 的输入，其输出误差始终超过固定正数。

定理

连续性的代数与复合性质

连续标量函数的和、常数倍和乘积仍连续；分母非零的地方，商函数连续。若 $F:D\to E$ 在 $a$ 连续，且 $G:E\to\mathbb R^p$ 在 $F(a)$ 连续，则 $G\circ F$ 在 $a$ 连续。

证明

把容差传过复合函数

给定 $G\circ F$ 的输出容差 $\varepsilon$，由 $G$ 连续，先找到中间容差 $\eta>0$：$E$ 内与 $F(a)$ 距离小于 $\eta$ 的输入，会产生与 $G(F(a))$ 距离小于 $\varepsilon$ 的输出。再由 $F$ 连续，找到 $\delta>0$，使与 $a$ 距离小于 $\delta$ 的定义域输入，其像与 $F(a)$ 距离小于 $\eta$。串起两个蕴含式即可。

代数结论在聚点处由极限法则推出，在孤立点处直接应用定义。商的分母值非零，保证邻近分母与零保持距离，从而获得所需的倒数上界。

坐标函数连续，因为一个坐标的差不超过欧几里得输入距离。因此多项式处处连续，有理函数在其自然定义域上连续，熟悉的一元连续函数也可以与多元表达式复合。直接代入正是由这些结论支持的，前提是代入点处参与的全部运算有定义。

连续延拓与边界点

例题

补上一个可去的点

对 $(x,y)\ne(0,0)$，定义

$$f(x,y)=\frac{xy^2}{x^2+y^2}.$$

分母在那里为正，因此 $f$ 在原点以外连续。又有

$$|f(x,y)|\le |x|\le\sqrt{x^2+y^2},$$

所以原点处极限为零。定义 $f(0,0)=0$，便得到整个平面上的连续函数。

新添的值是被极限唯一决定的：若延拓连续，原点值必须等于已确定的极限。指定其他实数虽然仍得到有定义的函数，却在原点不连续。延拓把原点加入了定义域，并不是使原来的分式在该点突然有意义。

例题

无法连续补上的点

考虑

$$g(x,y)=\frac{x^2-2y^2}{x^2+y^2},\qquad(x,y)\ne(0,0).$$

沿横轴 $g=1$，沿纵轴 $g=-2$，所以原点处不存在极限。无论给原点指定什么单一数值，都不能使它连续。

不过，该商在现有定义域的每一点仍然连续。“在定义域上连续”与“可连续延拓到更大的定义域”是两种不同陈述。前者由每个定义域点处分母非零保证；后者需要在新加入的点重新检验极限。

例题

定义域边缘处的连续性

令

$$D=\{(x,y):x^2+y^2\le9\},\qquad h(x,y)=\sqrt{9-x^2-y^2}.$$

根号内的多项式连续，且它在 $D$ 上的值属于 $[0,9]$。平方根在该区间上连续，包括零点；复合性质于是证明 $h$ 在整个 $D$ 上连续，包括边界圆周。

在 $a=(3,0)$，令 $r=\|(x,y)\|$。对 $D$ 内输入，

$$|h(x,y)-h(a)|=\sqrt{9-r^2} \le\sqrt{6(3-r)} \le\sqrt{6\|(x,y)-a\|}.$$

最后一步使用反三角不等式。因此边界点处可取 $\delta=\varepsilon^2/6$。定义只约束 $D$ 内输入，不要求实公式未定义的区域也满足条件。

闭且有界为何重要

定义

欧几里得空间中的有界集与紧集

若集合能被某个有限半径球包含，它就是有界集。若它的每个开覆盖都有有限子覆盖，它就是紧集。海涅–博雷尔定理指出，在 $\mathbb R^n$ 中，紧致等价于同时闭且有界。

这两个条件分别承担不同任务。有界性防止数列逃向无穷远，闭性保证收敛数列的极限仍留在集合内。有界开圆盘缺少第二个条件；整条直线满足第二个条件，却不满足第一个。因此它们在环境欧几里得空间中都不是紧集。

定理

紧集中的收敛子列

$\mathbb R^n$ 中每个有界数列都有收敛子列。因此紧集 $K\subseteq\mathbb R^n$ 中每个数列，都有一个收敛到 $K$ 内某点的子列。反过来，这种子列性质也能刻画 $\mathbb R^n$ 中的紧集。

证明

分清有界性与闭性各自的作用

先看有界数列。第一坐标形成有界实数列，由一维波尔查诺–魏尔斯特拉斯定理，可以抽出第一坐标收敛的子列。再从这个子列抽出第二坐标收敛的子列，如此继续，直到有限个坐标全部处理完。最终子列每个坐标都收敛，因此向量子列收敛。

若原来的点全在闭集 $K$ 中，这个子列的极限仍属于 $K$。结合有界性，就得到紧集上的结论。

反之，若满足子列性质的集合无界，可以选第 $k$ 项范数大于 $k$，它不可能有收敛子列。若集合不闭，可选集合内点列收敛到一个缺失的闭包点。每个子列仍趋于该缺失点，与“有子列收敛到集合内”的要求矛盾。因此集合闭且有界，再由海涅–博雷尔定理得到紧致性。

这个论证也说明，开球内的数列仍然有收敛子列，因为它有界。可能失败的只是“子列极限仍属于原开球”：若各项趋向圆周，极限就落在缺失的边界点上。把“存在子列极限”和“极限在集合内”分开，能准确看出两个假设的作用。

连续像与可达到的最值

定理

紧集的连续像与最值定理

若 $K\subseteq\mathbb R^n$ 紧，且 $F:K\to\mathbb R^m$ 连续，则 $F(K)$ 紧。特别地，若 $K$ 非空，$f:K\to\mathbb R$ 连续，则 $f$ 有界，而且在 $K$ 上取得最大值与最小值。

证明

从输入子列追踪输出子列

任取 $y_k\in F(K)$，对每一项选 $x_k\in K$ 满足 $F(x_k)=y_k$。由紧致性，存在 $x_{k_j}\to a\in K$。由连续性，$y_{k_j}\to F(a)\in F(K)$。应用子列刻画，得到 $F(K)$ 紧。

对于实值结论，像集是非空闭有界实数集，因此有有限上确界 $M$。选取大于 $M-1/k$ 的像值，它们趋于 $M$；由闭性，$M$ 本身也在像集中。所以存在输入取得最大值。对下确界作同样论证即可得到最小值。

定理保证存在，并不会自动给出最优点的位置。它也没有说连续函数在任何选定定义域上都有最值。应用时，需要针对实际集合与函数逐一核对假设，再选择计算方法寻找达到上界和下界的点。

例题

先保证存在，再计算最值

在椭圆填充区域

$$K=\{(x,y):x^2+4y^2\le16\}$$

上求 $f(x,y)=x+2y$ 的最值。集合闭且有界，函数连续，所以最大值和最小值都能达到。令 $u=x$、$v=2y$，则 $u^2+v^2\le16$，而

$$|u+v|\le\sqrt2\sqrt{u^2+v^2}\le4\sqrt2.$$

当 $u=v=2\sqrt2$ 时达到上界，对应 $(x,y)=(2\sqrt2,\sqrt2)$。取其相反数便达到下界。因此最大值为 $4\sqrt2$，最小值为 $-4\sqrt2$。

柯西–施瓦茨不等式给出数值及取等条件，紧致性提供背后的存在结论；把等号点代回定义域，则确认这些界确实能够达到。

去掉不同假设会改变结论。开单位圆盘上的连续函数 $x^2+y^2$ 有上确界一，却达不到它。在闭且无界的整个平面上，连续函数 $x$ 无界。在紧圆盘上，把 $1/(x^2+y^2)$ 在原点外保留，再给原点任意有限值，仍会得到无界函数，因为原点连续性失效。这三个例子分别定位了最值论证可能断开的不同环节。

一致连续性

定义

所有中心共用一个半径

若对每个 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，使对全部 $x,y\in D$，

$$\|x-y\|<\delta\quad\Longrightarrow\quad\|F(x)-F(y)\|<\varepsilon,$$

则称 $F:D\to\mathbb R^m$ 一致连续。

普通连续性先固定中心，再选择半径；一致连续性则在两个输入点尚未指定以前，就先选择半径。输出容差仍然任意，但选出的半径必须适用于整个定义域。若有同一个常数 $C$ 使 $\|F(x)-F(y)\|\le C\|x-y\|$，一致连续性立即成立：$C>0$ 时取 $\delta=\varepsilon/C$；常数函数则任意正半径都可用。

定理

紧集上连续必一致连续

从 $\mathbb R^n$ 的紧子集到 $\mathbb R^m$ 的每个连续映射都一致连续。

证明

两个输入趋近同一个极限点

若一致连续性失败，就存在 $\varepsilon_0>0$，以及 $x_k,y_k\in K$，满足

$$\|x_k-y_k\|<1/k,\qquad \|F(x_k)-F(y_k)\|\ge\varepsilon_0.$$

由紧致性选取子列 $x_{k_j}\to a\in K$。三角不等式保证 $y_{k_j}\to a$。连续性使两个输出子列都趋于 $F(a)$，所以输出差趋于零，与固定的正下界矛盾。

紧致性是这个结论的充分条件，不是必要条件。整个 $\mathbb R^n$ 上的恒等映射保持距离，因此一致连续。另一方面，$t\mapsto1/t$ 在 $(0,1)$ 上连续，却不一致连续：对 $k\ge2$ 取 $x_k=1/k$、$y_k=1/(k+1)$，输入差趋于零，输出差却恒为一。

当同一个误差预算需要适用于一整组可能输入时，这一区别很有用。紧集上的连续模型能提供这样的预算，即使最佳半径很难明确算出。在单点处，连续性提供局部预算；一致连续性则说明何时这些局部控制能统一成整体控制。

用逆像认识连续性

连续性也有一种集合表述：定义域上的映射连续，当且仅当输出空间中每个开集的逆像都相对于定义域开放。“相对于定义域开放”表示它是定义域与环境输入空间某个开集的交。若定义域本身包含边界点，这种说法尤其必要。

先看正向。取一个输入，其输出属于某个输出开集。该输出值周围有一个球仍留在开集中；由连续性，能找到输入小球，使球中的定义域点都被映到那个输出球内。因此逆像中每一点都有相对内部邻域。反向则对固定点值周围任意指定的输出球应用逆像条件：包含在逆像中的相对输入邻域，正是连续性定义要求的半径。

这个表述解释了连续函数的方程和不等式为何产生熟悉的集合：连续实函数取正值的点集是开集，等于某个指定常数的点集是闭集。这里讨论的是逆像；连续映射并不保证每个输入开集的像仍开放。常数映射就把整个输入空间映成一个单点。分清像与逆像的方向，才能正确使用这一判据。

练习与解答

思考检查

练习1：求唯一的连续延拓值。

对 $(x,y)\ne(0,0)$，令 $q(x,y)=x^2y^2/(x^2+y^2)$。原点取什么值，延拓才连续？

解答 · 练习1解答

由 $2|xy|\le x^2+y^2$，

$$0\le q(x,y)\le\frac{x^2+y^2}{4}\longrightarrow0.$$

因此唯一可取值是零；在其他点，商函数已经连续。

思考检查

练习2：区分存在性与计算。

$f(x,y)=3x-y$ 在 $x^2+y^2\le4$ 上是否取得最值？求最值及达到它们的点。

解答 · 练习2解答

闭圆盘非空且紧，因此存在最值。柯西–施瓦茨不等式给出 $|3x-y|\le2\sqrt{10}$，等号在 $(x,y)=\pm(6,-2)/\sqrt{10}$ 取得。正号对应最大值，负号对应最小值。

思考检查

练习3：不借助紧致性给出统一半径。

证明 $F(x)=\|x\|$ 在整个 $\mathbb R^n$ 上一致连续。

解答 · 练习3解答

反三角不等式给出 $|\|x\|-\|y\||\le\|x-y\|$，所以 $\delta=\varepsilon$ 对任意输入点对都可用，即使定义域不是紧集。

连续性把邻近值与点值相连，紧致性提供极限仍在定义域内的收敛子列。两者结合，解释了连续像、可达到的最值及一致连续性。应用这些结论时，先明确实际定义域，再沿证明检查各个假设的作用。