1.1 向量、内积与距离

从位置到位移

温度场以一个位置为输入，粒子轨迹则以一个位置为输出。在研究这些函数如何变化之前，我们先要能够比较位置，并准确描述移动的方向。坐标提供运算语言，内积则把运算与长度、夹角连接起来。这套语言在二维、三维以及更高维空间中采用同一套规则。

定义

欧几里得空间与向量

$\mathbb R^n$ 是所有有序实数组 $x=(x_1,\ldots,x_n)$ 组成的空间。向量加法及数乘逐个分量进行：

$$x+y=(x_1+y_1,\ldots,x_n+y_n),\qquad cx=(cx_1,\ldots,cx_n).$$

标准基向量 $e_i$ 仅第 $i$ 个分量为 $1$，其余为 $0$，因此 $x=\sum_{i=1}^n x_i e_i$。点表示一个位置，向量表示位移。由点 $P$ 指向点 $Q$ 的向量是终点减起点，即 $Q-P$。

线性组合 $a_1v_1+\cdots+a_kv_k$ 把若干位移加权相加。若组合的对象是点，要求系数之和为 $1$，便得到仿射组合；这一要求使结果不依赖原点的选择。特别地，$(1-t)P+tQ$ 在 $0\le t\le1$ 时描述线段；参数遍历所有实数时，则描述整条直线。

例题

位移与单位方向

取 $P=(-2,1,0)$、$Q=(1,5,0)$，则 $Q-P=(3,4,0)$，长度为 $5$。由 $P$ 指向 $Q$ 的单位向量为 $(3/5,4/5,0)$。线段上由 $P$ 出发走过四分之一的位置为

$$P+\tfrac14(Q-P)=(-5/4,2,0).$$

移动坐标原点会同时改变两点的坐标，但两点之差及这里的线段参数保持不变。相反，把差写成 $P-Q$ 会反转方向；长度虽不变，所表达的移动已经不同。

用内积表达长度与夹角

定义

内积、范数与距离

对 $x,y\in\mathbb R^n$，定义

$$\langle x,y\rangle=\sum_{i=1}^n x_i y_i, \qquad \|x\|=\sqrt{\langle x,x\rangle}, \qquad d(P,Q)=\|Q-P\|.$$

内积的结果是标量。它关于两个变量分别线性，并满足对称性。平方和 $\langle x,x\rangle$ 非负，且仅在 $x=0$ 时等于零。因此 $\|cx\|=|c|\|x\|$；负数倍会反转方向，但长度仍为非负数。

若两个向量的内积为零，便称它们正交。对于非零向量 $x,y$，夹角 $\theta\in[0,\pi]$ 满足

$$\cos\theta=\frac{\langle x,y\rangle}{\|x\|\|y\|}.$$

下面的不等式保证右侧位于 $[-1,1]$。零向量与每个向量都正交，但没有单位方向，也不能代入上述夹角公式。这里“正交”是内积为零的代数关系，“夹角”则还要求两个方向都存在。

定理

柯西–施瓦茨不等式

对 $x,y\in\mathbb R^n$，

$$|\langle x,y\rangle|\le\|x\|\|y\|.$$

等号成立当且仅当两个向量线性相关；包含零向量的向量对也计入这一条件。

证明

减去平行分量的证明

若 $y=0$，两边均为零。若 $y\ne0$，令 $c=\langle x,y\rangle/\|y\|^2$。由范数平方非负，

$$0\le\|x-cy\|^2 =\|x\|^2-\frac{\langle x,y\rangle^2}{\|y\|^2}.$$

两边乘以正数 $\|y\|^2$，再开平方。等号恰好对应 $x-cy=0$，也就是 $y\ne0$ 情形下的线性相关条件。证明中的参数不是任意猜出的：它恰好令余下的向量与 $y$ 正交。

例题

球面上线性表达式的极值

设 $x^2+y^2+z^2=4$。表达式 $3x-4y+12z$ 是 $(3,-4,12)$ 与 $(x,y,z)$ 的内积；两向量长度分别为 $13$ 及 $2$，故

$$|3x-4y+12z|\le26.$$

等号要求两向量平行。最大值 $26$ 在 $(6,-8,24)/13$ 取得，最小值 $-26$ 在其相反点取得。只写出不等式给出的上界还没有完成极值题；还须展示满足原约束、并令等号成立的点。

控制距离的两个估计

定理

三角不等式与反三角不等式

任意 $x,y\in\mathbb R^n$ 满足

$$\|x+y\|\le\|x\|+\|y\|, \qquad \big|\|x\|-\|y\|\big|\le\|x-y\|.$$

第一个不等式取等号，当且仅当其中一个向量为零，或两个非零向量方向相同。

证明

证明及等号条件

展开范数平方，并用柯西–施瓦茨不等式控制交叉项：

$$\|x+y\|^2 =\|x\|^2+2\langle x,y\rangle+\|y\|^2 \le(\|x\|+\|y\|)^2.$$

两边非负，所以可以开平方。对非零向量，等号要求 $\langle x,y\rangle=\|x\|\|y\|$，故必须同向，而不能仅仅线性相关。再对 $x=(x-y)+y$ 使用三角不等式，得到 $\|x\|-\|y\|\le\|x-y\|$。交换 $x,y$，合并两个方向的估计，便得到反三角不等式。

反三角不等式说明：点移动的距离至多为 $\varepsilon$，它到原点的距离变化也至多为 $\varepsilon$。这个估计同时控制所有移动方向；以后证明多元极限时，我们也需要这种与方向无关的控制。

正交投影与最近点

给定非零方向 $v$，把 $x$ 分成平行于 $v$ 的部分 $cv$ 和垂直于 $v$ 的部分。要求 $\langle x-cv,v\rangle=0$，解得

$$p=\operatorname{proj}_v x=\frac{\langle x,v\rangle}{\|v\|^2}v, \qquad x=p+(x-p),\quad \langle x-p,v\rangle=0.$$

这个分解同时给出最近点。写 $p=cv$，对于任意实数 $t$，由正交性及勾股定理，

$$\|x-tv\|^2=\|x-p\|^2+(c-t)^2\|v\|^2.$$

右侧第一项固定，第二项非负，并仅在 $t=c$ 时为零。因此 $p$ 是这条直线上离 $x$ 最近的唯一一点。这一结论来自正交分解，不需要微分；它也解释了为什么只求某个平行分量还不够，余项必须真正垂直。

例题

用余项检验投影

令 $x=(4,1,2)$、$v=(1,1,0)$，投影系数为 $5/2$，故

$$p=(5/2,5/2,0),\qquad x-p=(3/2,-3/2,2).$$

余项与 $v$ 的内积为零。另外，$\|p\|^2=25/2$、$\|x-p\|^2=17/2$，两者之和为 $21=\|x\|^2$。前一个检查验证垂直关系，后一个检查验证勾股分解，二者从不同角度核对计算。

常见错误

投影是一个向量

$\langle x,v\rangle/\|v\|^2$ 是标量系数，乘上 $v$ 才得到投影向量。负系数表示投影与 $v$ 反向。投影的范数不会超过原向量的范数，但某个坐标分量可能增大；不能把长度大小误解为逐个坐标的大小。

从代数式读出几何关系

夹角公式与向量所张成平面中的普通夹角一致。把 $0,x,y$ 看成三角形的三个顶点，内积展开给出

$$\|x-y\|^2=\|x\|^2+\|y\|^2-2\langle x,y\rangle.$$

余弦定理的最后一项则是 $-2\|x\|\|y\|\cos\theta$，比较两式便得到夹角公式。柯西–施瓦茨不等式保证这一定义在任意维度都有意义。我们不必把整个高维空间画出来，只需理解两个向量所张成的平面。

若 $x,y$ 正交，交叉项消失，便得到勾股定理。反过来，若 $\|x+y\|^2=\|x\|^2+\|y\|^2$，展开后也必有 $\langle x,y\rangle=0$。所以长度等式本身就能检验正交。对两个非零向量，内积为正、零、负，分别对应夹角小于、等于、大于 $\pi/2$；平行向量则可能同向，也可能反向。

计算时，范数平方通常比范数容易处理，因为前者是坐标的多项式。例如，要判断 $\|u+v\|=\|u-v\|$，可以先平方，再把两个展开式相减，得到 $4\langle u,v\rangle=0$。由于长度都非负，平方不会引入额外可能性，故原等式恰好等价于 $u,v$ 正交。

用统一估计控制变化

三角不等式也适用于连续发生的位移。将 $R-P=(Q-P)+(R-Q)$ 代入，得到

$$d(P,R)\le d(P,Q)+d(Q,R).$$

若测得的位置与中间估计的距离至多为 $a$，而估计与真实位置的距离至多为 $b$，则测量与真实位置的距离至多为 $a+b$。这个结论不需要知道两个误差的方向；即使它们来自不同坐标方向，也由同一个估计控制。

类似地，对固定向量 $a$ 定义线性测量 $\ell(x)=\langle a,x\rangle$，便有

$$|\ell(x)-\ell(y)|=|\langle a,x-y\rangle| \le\|a\|\|x-y\|.$$

例如 $a=(2,-1,2)$ 时，位置变动不超过 $0.01$，测量 $2x_1-x_2+2x_3$ 的变动便不超过 $0.03$。当位移平行于 $a$ 时可以取等号，因此若要同时控制全部位移，就不能把常数 $3$ 换成更小的数。这个估计既给出误差上界，也指出最敏感的移动方向。

投影也有统一的长度控制。由 $\|x\|^2=\|p\|^2+\|x-p\|^2$ 可知 $\|p\|\le\|x\|$，等号恰好在余项为零时成立，即 $x$ 原本就在目标直线上。投影两次也不会改变结果：若 $p=cv$，则 $\operatorname{proj}_v p=cv=p$。它保留目标方向的分量，并去掉垂直分量；已去掉的分量不会在第二次投影时重新出现。

解题流程

先辨认对象的类型：两个位置之差是向量，范数是长度，内积产生标量，投影产生向量。再根据问题选择运算：距离题先作差，夹角题计算内积及两边长度，线性表达式的界优先寻找内积结构，最近点问题则寻找正交余项。

最后进行几何检验。单位向量既要长度为 $1$，也要方向正确；投影的余项必须垂直于目标方向；由不等式求出的极值点既要满足约束，也要满足取等号条件。这些检查分别控制大小、方向及可达性，不能互相替代。一次完整解答要把运算结果与题目要求的几何对象连接起来。

坐标、缩放与几何意义

标准基把位移拆成各坐标方向的贡献。系数可以为正、负或零；负系数表示逆着某个基向量移动，并不表示长度为负。这也解释了为什么向量保留带符号的坐标，而范数要取平方和的平方根。比较两个对象之前，还要确认它们属于同一个空间；二维位置与三维位置不能直接相减。

内积为零也不要求两个向量在不同位置才有非零分量。例如 $(1,2)$ 与 $(2,-1)$ 的所有坐标都非零，但内积中的两项互相抵消。正交性表达的是方向关系，而不是坐标是否重叠。与其逐个猜测坐标的作用，不如计算完整的内积。

投影只依赖目标直线，不依赖用哪一个非零向量描述方向。若把 $v$ 换成 $kv$，其中 $k\ne0$，投影公式中的缩放系数会抵消。因此反转方向向量不会改变最近点。沿单位方向的标量分量、投影向量及其长度是三个不同对象：前者可以为负，向量保留方向，而长度取标量分量的绝对值。

不等式给出对一整组向量都成立的界，等号条件则指出哪些向量真正达到这个界。如果题目另有限制，而取等号的方向不满足该限制，原来的界仍然正确，却未必能够取得。此时应继续研究额外约束，不能把未达到的上界直接称为最大值。

练习与解答

思考检查

1. 展开证明平行四边形恒等式。

证明 $\|x+y\|^2+\|x-y\|^2=2\|x\|^2+2\|y\|^2$。

解答 · 1. 交叉项抵消

两个展开式分别包含 $+2\langle x,y\rangle$ 及 $-2\langle x,y\rangle$。相加只剩 $2\langle x,x\rangle+2\langle y,y\rangle$，即所求等式。

思考检查

2. 比较两种不等式的取等号条件。

令 $u=(2,-1,2)$、$v=(-4,2,-4)$。柯西–施瓦茨不等式是否取等号？$\|u+v\|\le\|u\|+\|v\|$ 是否取等号？

解答 · 2. 反向向量给出不同结论

由于 $v=-2u$，柯西–施瓦茨取等号：$|\langle u,v\rangle|=18=3\cdot6$。但 $u+v=-u$，所以三角不等式是严格的 $3\lt9$。反向向量满足线性相关，却不满足同向条件。

思考检查

3. 求投影及最短距离。

求 $x=(2,5)$ 在 $v=(1,2)$ 上的投影，以及 $x$ 到经过原点、方向为 $v$ 的直线的最短距离。

解答 · 3. 计算垂直余项

$\langle x,v\rangle=12$、$\|v\|^2=5$，故投影为 $p=(12/5,24/5)$。余项为 $(-2/5,1/5)$，与 $v$ 正交，长度为 $\sqrt5/5$。最近点恒等式说明这个长度确实是最短距离。