1.3 坐标、曲线与曲面

区分几何对象与描述方式

同一个点可以使用直角坐标或极坐标。同一个圆可以写成方程、等值集，也可以是参数曲线的像。直角坐标便于线性代数运算，径向坐标显示旋转对称，参数式描述运动，等值集则按高度组织曲面。选择表示方式的目的，是使当前问题更容易处理，同时保持所描述的几何对象不变。

参数式还包含方程没有说明的信息：点按什么顺序被访问，以及运动有多快。两组参数式可以画出同一个圆，却描述不同运动。反过来，公式不变而参数范围改变，所描绘的点集也可能改变。因此，讨论曲线时应把公式与参数定义域一并保留。

曲线及其导数

定义

参数曲线

$\mathbb R^n$ 中的曲线是从区间出发的连续映射 $r:I\to\mathbb R^n$，可写成 $r(t)=(x_1(t),\ldots,x_n(t))$。若 $I=[a,b]$ 且 $r(a)=r(b)$，称曲线闭合。若没有重复点，闭曲线的首尾重合除外，称曲线简单。

像集 $r(I)$ 是曲线经过的所有点。曲线映射本身还包含参数及遍历信息。

绕圆一周与绕圆两周具有相同像集，但第二个参数式在到达终点以前已经重复经过相同点，因此不是简单曲线。闭曲线未必简单，简单曲线也未必闭合。这些区别在讨论平面闭曲线的内部与外部时很有用。

定理

逐个分量求导

导数 $r'(t_0)$ 存在，当且仅当全部分量导数存在；此时

$$r'(t_0)=(x_1'(t_0),\ldots,x_n'(t_0)).$$

若 $r'(t_0)\ne0$，曲线在该点的切线为

$$\ell(s)=r(t_0)+s\,r'(t_0),\qquad s\in\mathbb R.$$

证明

从割线位移到切向量

导数是向量差商 $[r(t_0+h)-r(t_0)]/h$ 的极限。向量趋于零等价于各坐标都趋于零：每个坐标的绝对值不超过范数，而范数又不超过最大坐标绝对值的 $\sqrt n$ 倍。将这一事实用于差商，便得到逐分量求导公式。非零的极限速度提供一个方向，经过位置 $r(t_0)$ 就得到切线。

若参数是时间，一阶导数是速度向量，其范数是速率，二阶导数是加速度。速度带有方向，速率则是非负标量。若导数为零，仍可能存在切线，但需要进一步分析；不能把零向量直接当作切线方向。上述结论处理的是导数本身能够提供方向的正则情形。

普通乘积法则也适用于向量运算。对标量函数 $f$ 及向量曲线 $r,q$，

$$(fr)'=f'r+fr',\qquad \langle r,q\rangle'=\langle r',q\rangle+\langle r,q'\rangle.$$

在三维中，$(r\times q)'=r'\times q+r\times q'$，叉积次序保持不变。把坐标展开，再用标量乘积法则，就可证明这些公式。例如，若曲线到原点的距离固定，对范数平方求导得到 $\langle r,r'\rangle=0$，说明球面上的运动速度垂直于位置向量。

速率与弧长

定理

连续可微曲线的弧长

若 $r:[a,b]\to\mathbb R^n$ 连续可微，则按遍历次数计算的长度为

$$L=\int_a^b\|r'(t)\|\,dt.$$

若以连续可微、单调且导数非零的函数改变参数，端点仍遍历同一段参数区间，则弧长不变。

证明

为什么积分速率

把参数区间细分，用相邻曲线点之间的弦连接。在长度为 $\Delta t$ 的小区间上，位移近似为 $r'(t)\Delta t$，弦长近似为 $\|r'(t)\|\Delta t$。闭区间上导数的一致连续性控制总误差，使折线长度趋于上述积分。若 $t=\phi(u)$，链式法则给出 $\|(r\circ\phi)'(u)\|=\|r'(\phi(u))\||\phi'(u)|$，再用积分换元，就得到递增或递减参数变换下的长度不变性。

变换后速率中的绝对值不可省略。反向走同一条路径会反转速度方向，却不会使长度变负。弧长也不同于端点距离：闭曲线的两端相同，弧长却可以为正。如果同一圈被重复遍历，积分会把每次经过都计入。改变方向或重复经过的参数式，并不是一次遍历的单调一一重参数化，因此长度不变性不会抹掉重复运动。

对正则曲线，用速度除以速率，可得到沿遍历方向的单位切向量。归一化只改变大小，不改变方向，且只在速率为正的位置进行。计算弧长积分时，则直接使用未归一化导数的范数。

例题

螺旋线的切线、速率及一周长度

令 $r(t)=(3\cos t,3\sin t,4t)$，其中 $0\le t\le2\pi$，则

$$r'(t)=(-3\sin t,3\cos t,4),\qquad \|r'(t)\|=5.$$

$t=0$ 时位置为 $(3,0,0)$，切向量为 $(0,3,4)$，所以切线是 $(3,0,0)+s(0,3,4)$。一周弧长为 $\int_0^{2\pi}5\,dt=10\pi$，端点的竖直距离则为 $8\pi$，小于实际路程。前两个坐标的圆周运动与竖直上升共同贡献速率。

三种径向坐标

定义

极坐标、柱坐标与球坐标

采用非负半径。平面极坐标满足

$$x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad r\ge0.$$

空间柱坐标再加上保持不变的高度 $z$。球坐标写成 $(\rho,\theta,\phi)$，其中 $\phi\in[0,\pi]$ 从正 $z$ 轴量起，且

$$x=\rho\sin\phi\cos\theta,\quad y=\rho\sin\phi\sin\theta,\quad z=\rho\cos\phi,\qquad \rho\ge0.$$

平面极坐标的半径是到平面原点的距离；柱坐标半径则是到竖直轴的距离。球坐标半径是到空间原点的距离，因此两个空间半径一般不同。它们与高度构成直角三角形。两种空间坐标共享方位角，因为它们都使用点在水平面上投影的方向。

角度具有周期性。选代表值时常用 $0\le\theta\lt2\pi$，描述曲线时则可以允许角度连续增加多周。平面半径为零时，点不能决定方位角；球坐标的竖直轴上也有同样问题，在原点处两个角都不唯一。这是坐标描述的多义性，并不表示有多个不同的几何点。

从直角坐标反求角度时，应先用坐标符号确定象限。单独使用反正切主值不能区分相反射线，而且横坐标为零时也不能求坐标比。选好象限后，再代回正弦、余弦公式检查，比只记一个反三角函数表达式更可靠。

例题

同一点的两种空间坐标

取 $P=(-2,-2,2\sqrt2)$，平面半径为 $r=2\sqrt2$，可选方位角 $5\pi/4$。柱坐标为 $(2\sqrt2,5\pi/4,2\sqrt2)$。球半径为 $\rho=4$，且 $\cos\phi=z/\rho=1/\sqrt2$，所以球坐标为 $(4,5\pi/4,\pi/4)$。代回公式，正好恢复两个负的水平坐标及正的高度。

坐标方程本身也描述几何集合。固定正极半径给出圆；固定正柱半径给出圆柱面；固定正球半径给出球面。固定方位角在平面中给出射线，在空间中给出竖直半平面。球坐标中固定一个严格介于零与直角之间的极角，给出圆锥面的上半支；取直角则给出水平面。角度范围决定了得到半平面还是整个平面，以及得到一支圆锥还是两支。

例题

极坐标方程及允许的角度

考虑 $r=6\sin\theta$，并要求 $r\ge0$，则角度必须满足 $\sin\theta\ge0$。两边乘以 $r$ 得

$$x^2+y^2=6y,\qquad x^2+(y-3)^2=9.$$

这是圆心 $(0,3)$、半径 $3$ 的圆，在 $0\le\theta\le\pi$ 上遍历一周，首尾都在原点。若允许带符号半径，就使用等价关系 $(r,\theta)=(-r,\theta+\pi)$；这属于另一种坐标约定，但直角坐标仍由同一组正弦与余弦公式给出。

图形、等值集与截痕

二元实值函数的图形由空间点 $(x,y,f(x,y))$ 组成。等值集则是在输入空间中使函数等于某个固定常数的点集。因此图形比定义域高一个维度，等值集仍留在输入空间。图形的水平截面对应被抬到相应高度的等值集；固定一个输入坐标，则得到竖直截痕。

定义域、等值集与截痕回答不同问题。定义域指出公式在哪些位置有意义，等值集指出哪些输入产生相同输出，截痕则描述图形与指定平面的交线。画曲面前，先求几条截痕，并研究它们随参数怎样变化，往往比直接想象三维形状更清晰。方程可以直接发现空截面、分离部分及特殊高度。

下面各式中的 $a,b,c$ 都为正数。

环境空间必须确定。三维方程缺少一个变量时，该坐标可以自由变化，因而常描述柱面。完成平方可以找出平移后的中心或顶点，再以缩放显示主方向长度，最后用符号区分曲面类型。等号另一侧的常数也须检查：非负平方项之和不能等于负数。

例题

先完成平方，再识别曲面

考虑 $x^2+4y^2-2x+8y-2z+1=0$，完成平方得到

$$(x-1)^2+4(y+1)^2=2(z+2).$$

这是顶点为 $(1,-1,-2)$、向正 $z$ 方向开口的椭圆抛物面。$z\gt-2$ 时，水平截痕是椭圆；$z=-2$ 时只有一个点；更低处没有截点。平面 $y=-1$ 与 $x=1$ 中的截痕都是向上的抛物线，但弯曲程度不同。

统一的解题流程

曲线题先判断问题关心像集还是遍历过程。求切线，要同时计算指定参数处的位置与速度；求路程，要先对速度取范数，再积分。直接积分速度得到的是位移，可以比路程小，闭合旅程的位移甚至为零。开始积分以前，这个几何区别就能帮助判断答案是否合理。

坐标转换题先写清角度约定及半径非负条件，再判断象限，最后用代入检查。曲面题先确定空间与定义域限制，必要时完成平方，再考察坐标平面截痕及若干水平截面。比较参数式与隐式方程时，一方面检查每个参数值都满足方程，另一方面检查所需点是否都能由规定范围的参数达到；单向代入只能证明像集包含于方程解集。

常见错误

方程不能脱离空间与范围

$x^2+y^2=4$ 在二维中是圆，在三维中是圆柱面。半径非负时，固定方位角只给出半平面。切线既需要一个点，也需要非零方向。环境空间及参数范围都属于几何描述的一部分。

练习与解答

思考检查

1. 计算运动量及切线。

对 $r(t)=(t,t^2,t^3)$，求 $t=1$ 时的速度、加速度、速率与切线。

解答 · 1. 对三个坐标分别求导

$r'(t)=(1,2t,3t^2)$、$r''(t)=(0,2,6t)$。$t=1$ 时速率为 $\sqrt{14}$，切线为 $(1,1,1)+s(1,2,3)$。

思考检查

2. 选择正确的极坐标象限。

求 $(-\sqrt3,-3)$ 在 $r\ge0$、$0\le\theta\lt2\pi$ 下的极坐标。

解答 · 2. 两个坐标都为负

半径为 $\sqrt{3+9}=2\sqrt3$。点位于第三象限，参考角为 $\pi/3$，所以 $(r,\theta)=(2\sqrt3,4\pi/3)$。

思考检查

3. 用截痕识别二次曲面。

描述 $x^2/4+y^2/9-z^2=1$，并求它在 $z=0$、$x=0$、$y=0$ 中的截痕。

解答 · 3. 单叶双曲面

$z=0$ 时是椭圆 $x^2/4+y^2/9=1$；另两个截痕为双曲线 $y^2/9-z^2=1$ 及 $x^2/4-z^2=1$。任意固定高度都给出非空椭圆 $x^2/4+y^2/9=1+z^2$，所以曲面是单叶双曲面。

有符号半径、内环与面积上下限

仅在本小节中，允许半径 $r$ 带符号。笛卡尔坐标仍是 $(r\cos\theta,r\sin\theta)$。负半径表示点落在相反射线上：实际距离是 $|r|$，几何方向角是 $\theta+\pi$，相差整周视为同一方向。因此，有符号极坐标 $(-1,0)$ 表示笛卡尔点 $(-1,0)$，不是向右一个单位的点。这里临时采用的有符号约定，不改变前面坐标定义中的非负距离约定。

例题

先找内环，再积分

考虑有符号极坐标曲线 $r=1-2\cos\theta$。先求经过极点的参数：

$$1-2\cos\theta=0\quad\Longleftrightarrow\quad \theta=\pm\frac\pi3\pmod{2\pi}.$$

在 $-\pi/3<\theta<\pi/3$ 内，半径为负；两个端点的半径为零。在 $\theta=0$ 时半径为 $-1$，对应点 $(-1,0)$。实际几何方向角从 $2\pi/3$ 变化到 $4\pi/3$。所以曲线从原点进入左上半平面，经过 $(-1,0)$，再从左下半平面回到原点。这才是完整的一次内环，不是朝右的环。

为什么只描绘一次？区间内部半径非零且符号固定，实际方向角严格增加，变化范围又小于一整周。因此两个不同的内部参数不能表示同一个非零点。两端都表示原点，除此之外没有重复。区间 $\pi/3\le\theta\le5\pi/3$ 上半径非负，描绘外环，并在 $\theta=\pi$ 经过 $(-3,0)$。如果一开始对原方程强制要求半径非负，负半径分支就会被舍弃；在那种解释下，内环并不存在。

定理

指定描绘方式后，一个径向环的面积

若一个简单闭环在角度区间 $[\alpha,\beta]$ 上随角度增加描绘一次，内部径向扇形互不重叠，则它围成的面积为

$$A=\frac12\int_\alpha^\beta r(\theta)^2\,d\theta.$$

若分支内部半径始终为负，改用 $\rho=-r$ 和 $\varphi=\theta+\pi$，则 $\rho^2=r^2$、$d\varphi=d\theta$，仍得到同一公式。半径平方不会自动选出正确的环，也不会消除重复描绘；这些必须靠积分上下限保证。

角度很小的扇形，若角度为 $\Delta\theta$、距离为 $\rho$，面积约为 $\rho^2\Delta\theta/2$。把这些扇形相加，就解释了二分之一这个系数。不重叠和只描绘一次的要求，也说明为什么盲目对整个周期积分，可能多算并非题目所问的区域。

例题

算出内环面积并检查合理性

使用刚才找到的内环上下限：

$$A_{\mathrm{inner}}=\frac12\int_{-\pi/3}^{\pi/3}(1-2\cos\theta)^2\,d\theta.$$

被积函数是偶函数，对称性带来的二倍恰好抵消二分之一。展开后使用 $\cos^2\theta=(1+\cos2\theta)/2$，得到

$$A_{\mathrm{inner}}=\int_0^{\pi/3}(3-4\cos\theta+2\cos2\theta)\,d\theta =\left[3\theta-4\sin\theta+\sin2\theta\right]_0^{\pi/3} =\pi-\frac{3\sqrt3}{2}.$$

数值约为 $0.544$，是一个较小的正面积。内环到原点的距离至多为一，所以若答案大于单位圆盘面积，就必然有错。对 $0\le\theta\le2\pi$ 积分会得到 $3\pi$：这是按描绘累计的两个环面积之和，不是内环面积，也不是两区域并集的面积。内环位于外环内部，因此这个和重复计算了内环区域。

常见错误

螺线转一周，不自动成为闭环

阿基米德螺线 $r=k\theta$，其中 $k>0$、$0\le\theta\le2\pi$，两端分别是原点与 $(2\pi k,0)$。它们虽然在同一条射线上，却不是同一点，所以完整转一周仍不是闭曲线。面积题必须说明其余边界，例如从终点连回原点的径向线段。方向角回到原方向，与位置回到原点，是两件不同的事。

思考检查

4. 放大的内环与误导性的整周期积分。

对有符号曲线 $r=2-4\cos\theta$，找出描绘内环一次的区间、$\theta=0$ 时的点和内环面积。说明为什么把半径平方后对整个周期积分，不能回答此题。

解答 · 4. 长度放大倍数要平方才是面积倍数

零点仍是 $\theta=\pm\pi/3$，所以使用 $[-\pi/3,\pi/3]$。零角度的有符号半径为 $-2$，对应笛卡尔点 $(-2,0)$。每个距离都是例题的两倍，因此

$$A=\frac12\int_{-\pi/3}^{\pi/3}4(1-2\cos\theta)^2\,d\theta =4\pi-6\sqrt3.$$

整周期积分还会包含外环，得到的是 $12\pi$。半径平方使每个扇形的面积贡献非负，但不会标记该扇形属于哪一个环。

思考检查

5. 先说明螺线的边界，再求面积。

对 $r=k\theta$，其中 $k>0$、$0\le\theta\le2\pi$，求这一周螺线与从终点返回原点的径向线段所围成的面积。为什么这不是内环计算？

解答 · 5. 径向线段补齐边界

每个内部角度与螺线只相交一次；该方向上的区域由距离零到 $k\theta$ 的所有点组成。因此

$$A=\frac12\int_0^{2\pi}k^2\theta^2\,d\theta =\frac{k^2}{6}(2\pi)^3=\frac{4\pi^3k^2}{3}.$$

线段把两个不同的端点位置连接起来。这段螺线没有从极点出发再回极点的环，因为半径只在初始角度为零。若去掉指定线段，剩下的是开曲线，而不是题目所说的闭合边界。