3.2 可微性与线性近似

动机

一个近似公式不仅要给出预测值，还要说明误差相对于输入变化有多小。一元导数给出切线，同时保证误差比输入增量小一个阶。在多元情形，输入增量是向量，不能把两个向量相除来定义导数。正确做法是把函数变化分成线性预测与余项，再比较余项的大小和输入位移的长度。

偏导数能够提供预测式的系数，因为它们测量各坐标方向的变化。可微性进一步要求：这些系数必须共同适用于所有充分小的位移，包括方向随着接近过程不断改变的位移。正是这个统一性，使可微性强于偏导数存在。

即使原函数可以精确计算，线性近似仍然有价值。它分清不同输入对输出的一阶影响，把多个输入的小变化转化为可相加的贡献；它也为链式法则作准备，因为连续发生的小变化可以先由线性映射近似，再把这些线性映射复合起来。

开始之前

区分基点 $a$ 与位移 $h$。邻近点是 $a+h$，输入变化的大小是 $\|h\|$。输入和输出空间都使用欧几里得范数。线性映射保持加法和数乘，并把零向量映到零向量；在线性映射上加一个常数，得到的是仿射映射。

定义

定义

带有线性余项的可微性

设 $U\subseteq\mathbb R^n$ 是开集，$F:U\to\mathbb R^m$。若存在一个线性映射 $A:\mathbb R^n\to\mathbb R^m$，使

$$F(a+h)=F(a)+Ah+R(h), \qquad \lim_{h\to0,\ h\ne0}\frac{\|R(h)\|}{\|h\|}=0,$$

就称 $F$ 在 $a\in U$ 处可微。这个映射称为导数，记为 $DF(a)$。简写 $R(h)=o(\|h\|)$ 表示上述余项极限成立。

这里比较的是余项与输入位移的相对大小，不是除以函数值，也不是除以预测的输出变化。例如，二次余项满足要求，因为 $\|h\|^2/\|h\|=\|h\|\to0$。若只知道余项不超过某个常数乘 $\|h\|$，还不能得出结论；它们的比值可能一直停留在一个非零常数附近。

这是一个局部定义。开邻域保证每个充分小的位移都可以考虑。在一个点处可微，不等于邻近每一点都可微，也不等于导数函数在该点附近连续。这些都是另外的性质，不能从一个点处的定义中直接读出。

定义

线性近似与全微分

$F$ 在 $a$ 处的线性近似是仿射函数

$$L_a(x)=F(a)+DF(a)(x-a).$$

对于实值可微函数，

$$DF(a)h=\sum_{i=1}^n\partial_if(a)h_i=\nabla f(a)\cdot h.$$

一阶预测变化称为全微分：

$$df_a=\sum_{i=1}^n\partial_if(a)\,dx_i.$$

导数作用于位移，是线性映射；线性近似作用于点，通常是仿射函数。对于两个输入和一个实值输出，线性近似的图形就是切平面。检查公式时可利用这个区别：导数不能含有非零常数项，而线性近似在基点处应当与原函数有相同的值。

对向量值函数，把输入和输出写成列向量。$DF(a)$ 的矩阵每一行对应一个输出分量，每一列对应一个输入变量；第 $j$ 行第 $i$ 列是 $\partial_iF_j(a)$。这就是雅可比矩阵。每个输出分量都有自己的线性近似，矩阵把这些近似同时组织起来。

定理与命题

定理

导数的必要结果与唯一性

若 $F$ 在 $a$ 处可微，则它在该点连续；各坐标偏导数存在，并等于 $DF(a)$ 的相应列。满足可微性定义的线性映射是唯一的。

这些结论是必要条件。反过来，仅有连续性与偏导数存在，即使二者同时成立，也未必保证候选线性映射留下足够小的余项。要确定候选映射是否真的有效，仍需考察误差与位移长度的比值。

定理

连续一阶偏导数是充分条件

设 $f$ 定义在开集 $U$ 上。若各一阶偏导数在 $a$ 的某个邻域内存在，并在 $a$ 处连续，则 $f$ 在 $a$ 处可微。特别地，开集上的 $C^1$ 函数处处可微。向量值函数可以逐分量应用同一结论。

条件中的连续性针对偏导数函数，而不只是针对原函数。实际计算时，先找一个包含目标点的开邻域，确认偏导数公式在其中有效。如果这些公式由连续初等函数组成，且分母与对数条件均满足，就能利用本定理判断可微，而不必对每一点重新展开余项。

证明思路

证明

连续性、坐标导数与唯一性

有限维欧几里得空间上的线性映射满足 $\|Ah\|\le C\|h\|$，其中 $C$ 为某个常数。于是

$$\|F(a+h)-F(a)\|\le C\|h\|+\|R(h)\|\longrightarrow0.$$

因此 $F$ 在 $a$ 处连续。再令 $h=te_i$，把展开式除以 $t$，余项除以 $t$ 后趋于零，所得坐标偏导数就是 $Ae_i$。

若 $A,B$ 都满足定义，相减得 $(A-B)h=o(\|h\|)$。依次取 $h=te_i$，可得 $(A-B)e_i=0$。线性映射由它在基向量上的取值唯一确定，所以 $A=B$。

证明

连续偏导数为何控制所有方向

对二元函数，把总变化拆成两次坐标变化：

$$f(a+h,b+k)-f(a,b) =[f(a+h,b+k)-f(a,b+k)] +[f(a,b+k)-f(a,b)].$$

分别使用一元平均值定理，得到某些中间坐标 $\xi,\eta$，使总变化等于

$$f_x(\xi,b+k)h+f_y(a,\eta)k.$$

减去候选线性变化 $f_x(a,b)h+f_y(a,b)k$，再除以 $\sqrt{h^2+k^2}$。由于 $|h|,|k|$ 都不超过这个范数，余项比值至多为

$$|f_x(\xi,b+k)-f_x(a,b)|+ |f_y(a,\eta)-f_y(a,b)|.$$

中间点随 $(h,k)\to(0,0)$ 趋于 $(a,b)$，因此两个差都由连续性趋于零。某个坐标增量为零时，直接省去对应变化即可。更高维情形沿各坐标方向依次作同样的拆分。

证明显示了邻域条件的用途。平均值定理中的中间点随着位移而移动，如果只知道基点处的偏导数，就无法控制中间点处的导数。连续性让所有邻近点的偏导数同时接近基点处的值，因而补足了仅考察坐标直线时缺少的统一误差估计。

例题详解

例题

精确余项与数值近似

设 $f(x,y)=x^2+xy+2y^2$，基点为 $(1,-1)$。此时 $f(a)=2$，$\nabla f(a)=(1,-3)$。令 $x=1+h$、$y=-1+k$，直接展开：

$$f(1+h,-1+k)=2+h-3k+h^2+hk+2k^2.$$

利用 $|hk|\le(h^2+k^2)/2$，

$$|h^2+hk+2k^2|\le\frac52(h^2+k^2).$$

除以位移范数后趋于零，所以可微。切平面为

$$z=2+(x-1)-3(y+1)=x-3y-2.$$

在 $(1.02,-0.97)$，线性预测为 $1.93$。精确余项为 $0.0028$，故函数值为 $1.9328$；统一估计也给出误差不超过 $0.00325$。

例题

连续且有偏导数，仍不可微

定义

$$g(x,y)= \begin{cases} \dfrac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}},&(x,y)\ne(0,0),\\ 0,&(x,y)=(0,0). \end{cases}$$

由 $|xy|\le(x^2+y^2)/2$，可得 $|g(x,y)|\le\sqrt{x^2+y^2}/2$，所以原点处连续。两条坐标限制恒为零，两个一阶偏导数也都是零。

若导数存在，坐标偏导数会迫使它为零映射，此时余项就是函数本身。然而沿 $(x,y)=(t,t)$，

$$\frac{|g(t,t)|}{\sqrt{t^2+t^2}}=\frac12$$

对每个非零 $t$ 都成立。余项没有比位移长度小一个阶，故原点处不可微。这个例子同时保留连续性与偏导数存在，因而准确指出缺少的是统一的一阶近似。

例题

雅可比矩阵同时预测两个输出

设 $F(x,y)=(x^2+y,xy)$，基点为 $a=(1,-1)$。有

$$DF(a)=\begin{pmatrix}2&1\\-1&1\end{pmatrix}, \qquad F(a)=\begin{pmatrix}0\\-1\end{pmatrix}.$$

位移 $(h,k)$ 对应的预测为

$$F(a)+DF(a)\begin{pmatrix}h\\k\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2h+k\\-1-h+k\end{pmatrix}.$$

直接展开可得余项为 $(h^2,hk)$，其范数至多

$$h^2+|hk|\le\frac32(h^2+k^2).$$

这证明向量值函数可微。在 $(1.01,-0.98)$，预测输出是 $(0.04,-0.99)$；精确输出是 $(0.0401,-0.9898)$，两个误差分量恰为 $0.0001$ 与 $0.0002$。

怎样有效使用定义

直接证明可微分为三个步骤：先从偏导数确定唯一可能的导数，再从实际变化中减去它给出的预测，最后用位移范数估计余项。这三个步骤解决不同问题。找到候选导数只是第一步，不能代替证明候选导数确实有效。

对于二次多项式，展开往往直接给出精确的二次余项；对光滑初等表达式，连续偏导数定理通常更短；对分段函数的特殊点，直接余项检验往往最清楚。符号 $o(\|h\|)$ 表示需要证明的性质，把这个符号写在尚未估计的误差后面，本身不是证明。

证明不可微时，在候选导数已经确定后，只需找到一族位移使误差比值不趋于零。证明可微时则不能只试有限几条路径。以 $\|h\|$ 为变量的统一上界能够同时处理所有位移，也能处理方向随长度变化的接近方式。

一阶预测究竟预测什么

全微分近似的是输出变化量，而不是新输出值。先把输入增量代入 $df_a$，若题目要求新的函数值，再加上 $f(a)$。所有系数都在固定基点处计算。即使原函数公式相同，更换基点也会改变这些系数，因而不能随意沿用原来的切平面。

量化误差比“近似正确”更有信息。第一个例子给出了范数上界，因此可以对一个小球内的所有位移作同一保证。可微性定义本身只说明：要让误差比值足够小，总能找到足够小的邻域；若要确定一个具体的数值半径，还需要额外估计。

充分条件不等于必要条件。有些函数在一个点处可微，但偏导数在该点不连续。此时仍应回到定义判断。$C^1$ 是方便而较强的局部假设，可微性则准确描述单个点处的一阶近似行为。这两类表述各有用途，不能互相替换。

对向量输出还应区分各分量误差与总误差范数。若每个分量的误差除以同一输入范数都趋于零，由有限个分量组成的向量误差也满足要求。雅可比矩阵并没有增加额外假设，它只是把这些分量上的线性映射写成统一形式。

线性映射的范数上界来自哪里

连续性证明使用了控制线性映射大小的常数。把 $A$ 的矩阵各行记为 $r_1,\ldots,r_m$，对每个输出分量使用柯西–施瓦茨不等式，有

$$\|Ah\|^2=\sum_{j=1}^m|r_j\cdot h|^2 \le\left(\sum_{j=1}^m\|r_j\|^2\right)\|h\|^2.$$

开平方后得到固定的范数上界，而且这个常数不依赖于位移方向。这种方向无关性正是多元极限需要的统一控制。

估计也解释了为何加上高阶余项不破坏连续性。线性部分至多与位移长度成正比，余项则最终小于任意指定倍数的位移长度，二者都趋于零。这个论证不要求导数矩阵可逆、是方阵或者非零。

对向量输出，分量论证也能够组合起来。输出坐标只有有限个，所以可以取各分量允许邻域半径中的最小值，让有限个误差估计同时成立。于是总输出误差的欧几里得范数相对于同一个输入范数也足够小。

常见错误

常见错误

绝对误差趋于零，不代表它是一阶小量

连续性要求 $f(a+h)-f(a)$ 趋于零。可微性要求减去正确的线性变化以后，剩余误差除以 $\|h\|$ 趋于零。第二个例子的绝对误差确实趋于零，但沿对角线始终占位移长度的固定比例。

也不要把定义中的分母换成某个带符号的坐标。分母是整个输入位移的正长度。如果一个估计忽略了其他坐标，那么在该坐标比其他坐标小得多的位移上，估计可能无法控制真正的误差比值。

总结

可微性是带有高阶余项的线性近似。导数唯一，给出各偏导数，并推出连续性。邻域中的连续一阶偏导数提供实用的充分判据。线性近似预测新值，全微分预测变化；决定这些预测是否形成统一一阶描述的，是余项，而不是坐标信息本身。

练习

思考检查

求 $f(x,y)=x^2+y^3$ 在 $(1,1)$ 处的线性近似，并在 $\sqrt{h^2+k^2}\le1$ 时给出二次余项上界。

在 $(1+h,1+k)$ 处展开。

解答 · 解答一：显式保留余项

线性近似为 $2+2h+3k$，余项为 $h^2+3k^2+k^3$。因为 $|k|\le1$，

$$|R(h,k)|\le h^2+4k^2\le4(h^2+k^2).$$

除以位移范数后趋于零。

思考检查

$f(x,y)=|x|+y^2$ 在原点是否可微？

先检查必要的坐标偏导数。

解答 · 解答二：必要导数不存在

第一个坐标方向的差商是 $|t|/t$，左右极限不同，所以 $f_x(0,0)$ 不存在。可微会推出该偏导数存在，因此原点处不可微。另一个偏导数存在且等于零。

思考检查

当 $x\ne0$ 时令 $g(x,y)=x^2\sin(1/x)$，并令 $g(0,y)=0$。证明原点处可微，同时说明它在该点附近并非 $C^1$。

先用零映射作候选导数，再检查偏导数的连续性。

解答 · 解答三：充分条件不是必要条件

因为 $|g(x,y)|\le x^2\le\|(x,y)\|^2$，零映射的误差比值趋于零，所以 $Dg(0,0)=0$。但当 $x\ne0$ 时，

$$g_x(x,y)=2x\sin(1/x)-\cos(1/x).$$

该表达式在 $x\to0$ 时不趋于 $g_x(0,0)=0$，故一阶偏导数在原点不连续。