MATH2010 模拟卷 A — 解答与评分
按有依据的数学步骤给分；其他正确方法应获得相同分数。同一小题中，若前面的算术失误被一致地带入后续计算，仍保留后续正确推理应得的分数。
试题 · 复习路线
Q1. 平面、投影与体积 — 16 分
题目给出的两个方向都是三维空间中的向量。从 P P P
(a) [6] 计算叉积，得到
u × v = ( 2 ⋅ 1 − 0 ⋅ ( − 1 ) , 0 ⋅ 2 − 1 ⋅ 1 , 1 ⋅ ( − 1 ) − 2 ⋅ 2 ) . u\times v=(2\cdot1-0\cdot(-1),\ 0\cdot2-1\cdot1,\ 1\cdot(-1)-2\cdot2). u × v = ( 2 ⋅ 1 − 0 ⋅ ( − 1 ) , 0 ⋅ 2 − 1 ⋅ 1 , 1 ⋅ ( − 1 ) − 2 ⋅ 2 ) . n = u × v = ( 2 , − 1 , − 5 ) , ∥ n ∥ 2 = 30. n=u\times v=(2,-1,-5),\qquad \|n\|^2=30. n = u × v = ( 2 , − 1 , − 5 ) , ∥ n ∥ 2 = 30. 检查可得 n ⋅ u = 2 − 2 + 0 = 0 n\cdot u=2-2+0=0 n ⋅ u = 2 − 2 + 0 = 0 n ⋅ v = 4 + 1 − 5 = 0 n\cdot v=4+1-5=0 n ⋅ v = 4 + 1 − 5 = 0 X = ( x , y , z ) X=(x,y,z) X = ( x , y , z ) P P P X X X n ⋅ ( ( x , y , z ) − P ) = 0 n\cdot((x,y,z)-P)=0 n ⋅ (( x , y , z ) − P ) = 0
2 ( x − 1 ) − ( y + 1 ) − 5 ( z − 2 ) = 0 , 2 x − y − 5 z + 7 = 0. 2(x-1)-(y+1)-5(z-2)=0,
\qquad 2x-y-5z+7=0. 2 ( x − 1 ) − ( y + 1 ) − 5 ( z − 2 ) = 0 , 2 x − y − 5 z + 7 = 0. 评分：叉积 3 分；点法式 2 分；与点法式一致的化简方程 1 分。取相反的法向量仍得到同一平面。
(b) [6] 把平面方程左侧的标量表达式记为 N ( x , y , z ) = 2 x − y − 5 z + 7 N(x,y,z)=2x-y-5z+7 N ( x , y , z ) = 2 x − y − 5 z + 7 n n n N N N N ( O ) = 7 N(O)=7 N ( O ) = 7 O O O
∣ N ( O ) ∣ ∥ n ∥ = 7 30 . \frac{|N(O)|}{\|n\|}=\frac7{\sqrt{30}}. ∥ n ∥ ∣ N ( O ) ∣ = 30 7 . 若要求垂足而不只是距离，就使用从 O O O X = λ n = ( 2 λ , − λ , − 5 λ ) X=\lambda n=(2\lambda,-\lambda,-5\lambda) X = λn = ( 2 λ , − λ , − 5 λ )
2 ( 2 λ ) − ( − λ ) − 5 ( − 5 λ ) + 7 = ( 4 + 1 + 25 ) λ + 7 = 30 λ + 7 = 0. 2(2\lambda)-(-\lambda)-5(-5\lambda)+7
=(4+1+25)\lambda+7=30\lambda+7=0. 2 ( 2 λ ) − ( − λ ) − 5 ( − 5 λ ) + 7 = ( 4 + 1 + 25 ) λ + 7 = 30 λ + 7 = 0. 因此 λ = − 7 / 30 \lambda=-7/30 λ = − 7/30
B = − 7 30 ( 2 , − 1 , − 5 ) = ( − 7 15 , 7 30 , 7 6 ) . B=-\frac7{30}(2,-1,-5)
=\left(-\frac7{15},\frac7{30},\frac76\right). B = − 30 7 ( 2 , − 1 , − 5 ) = ( − 15 7 , 30 7 , 6 7 ) . 代入可验证 N ( B ) = ( − 28 − 7 − 175 + 210 ) / 30 = 0 N(B)=(-28-7-175+210)/30=0 N ( B ) = ( − 28 − 7 − 175 + 210 ) /30 = 0 O B ∥ n OB\parallel n OB ∥ n λ \lambda λ n n n ∣ λ ∣ ∥ n ∥ = 7 / 30 |\lambda|\|n\|=7/\sqrt{30} ∣ λ ∣∥ n ∥ = 7/ 30
(c) [4] 标量三重积为
( u × v ) ⋅ w = ( 2 , − 1 , − 5 ) ⋅ ( 0 , 1 , 1 ) = − 6. (u\times v)\cdot w=(2,-1,-5)\cdot(0,1,1)=-6. ( u × v ) ⋅ w = ( 2 , − 1 , − 5 ) ⋅ ( 0 , 1 , 1 ) = − 6. 这里，平行四边形底面的面积为 ∥ u × v ∥ = 30 \|u\times v\|=\sqrt{30} ∥ u × v ∥ = 30 w w w 6 / 30 6/\sqrt{30} 6/ 30 6 6 6
若本题有困难，重温向量与投影 和平面与体积 。
Q2. 集合及其边缘 — 16 分
先把不等式翻译成几何图形：半径平方的限制给出从 1 1 1 2 2 2 y > 0 y>0 y > 0
(a) [8] 内部由严格不等式描述；补上缺失的水平边缘后得到闭包：
Int S = { 1 < x 2 + y 2 < 4 , y > 0 } , S ‾ = { 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 , y ≥ 0 } . \operatorname{Int}S=\{1<x^2+y^2<4,\ y>0\},
\qquad
\overline S=\{1\le x^2+y^2\le4,\ y\ge0\}. Int S = { 1 < x 2 + y 2 < 4 , y > 0 } , S = { 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 , y ≥ 0 } . 边界为
∂ S = { x 2 + y 2 ∈ { 1 , 4 } , y ≥ 0 } ∪ { ( x , 0 ) : 1 ≤ ∣ x ∣ ≤ 2 } . \partial S=
\{x^2+y^2\in\{1,4\},\ y\ge0\}
\ \cup\,
\{(x,0):1\le |x|\le2\}. ∂ S = { x 2 + y 2 ∈ { 1 , 4 } , y ≥ 0 } ∪ {( x , 0 ) : 1 ≤ ∣ x ∣ ≤ 2 } . 对于内部，径向和竖直方向的严格不等式都留有余量，因此可以朝任意方向移动一小段，仍留在 S S S
对于闭包，把严格的竖直不等式改为非严格不等式，恰好补上缺失的水平边缘。对于每个新增点，都可以保持半径不变，让上半平面内的角度趋于 0 0 0 π \pi π S S S
边界等于闭包除去内部后的部分，即两条上半圆弧与两段坐标轴线段。位于 − 1 -1 − 1 1 1 1 S S S 1 / 2 1/2 1/2 S S S 1 1 1 2 2 2 S S S
(b) [6] S S S 不是开集 ：( 0 , 1 ) ∈ S (0,1)\in S ( 0 , 1 ) ∈ S 1 1 1 不是闭集 ：点列 ( 1 , 1 / k ) (1,1/k) ( 1 , 1/ k ) k k k S S S ( 1 , 0 ) ∉ S (1,0)\notin S ( 1 , 0 ) ∈ / S 有界 ，因为 ∥ ( x , y ) ∥ ≤ 2 \|(x,y)\|\le2 ∥ ( x , y ) ∥ ≤ 2 3 3 3
对于道路连通性，把任意两点写成它们在上半平面中唯一的极坐标形式 ( r 0 , θ 0 ) , ( r 1 , θ 1 ) (r_0,\theta_0),(r_1,\theta_1) ( r 0 , θ 0 ) , ( r 1 , θ 1 ) 1 ≤ r i ≤ 2 1\le r_i\le2 1 ≤ r i ≤ 2 0 < θ i < π 0<\theta_i<\pi 0 < θ i < π 0 ≤ s ≤ 1 0\le s\le1 0 ≤ s ≤ 1
r ( s ) = ( 1 − s ) r 0 + s r 1 , θ ( s ) = ( 1 − s ) θ 0 + s θ 1 , γ ( s ) = ( r ( s ) cos θ ( s ) , r ( s ) sin θ ( s ) ) . r(s)=(1-s)r_0+sr_1,\qquad
\theta(s)=(1-s)\theta_0+s\theta_1,
\qquad
\gamma(s)=(r(s)\cos\theta(s),r(s)\sin\theta(s)). r ( s ) = ( 1 − s ) r 0 + s r 1 , θ ( s ) = ( 1 − s ) θ 0 + s θ 1 , γ ( s ) = ( r ( s ) cos θ ( s ) , r ( s ) sin θ ( s )) . 半径是 [ 1 , 2 ] [1,2] [ 1 , 2 ] 0 0 0 π \pi π
直线段是另一种路径构造，不一定有效：连接半圆环两侧的线段可能穿过中间的洞。这里选用极坐标路径，在改变半径和角度的同时，保证整条路径始终满足集合限制。评分：开集、闭集判断及对应例证 2 分；有界性 1 分；正确路径及其包含于集合的论证 3 分。
(c) [2] 该点为
( 3 2 cos 2 π 3 , 3 2 sin 2 π 3 ) = ( − 3 4 , 3 3 4 ) . \left(\frac32\cos\frac{2\pi}3,\frac32\sin\frac{2\pi}3\right)
=\left(-\frac34,\frac{3\sqrt3}4\right). ( 2 3 cos 3 2 π , 2 3 sin 3 2 π ) = ( − 4 3 , 4 3 3 ) . 余弦值为 − 1 / 2 -1/2 − 1/2 3 / 2 \sqrt3/2 3 /2 9 / 16 + 27 / 16 = 9 / 4 9/16+27/16=9/4 9/16 + 27/16 = 9/4 1 1 1 4 4 4 S S S
重温点集与边界判断 和坐标转换 。
Q3. 怎样的趋近能证明极限？ — 18 分
对于第一个函数，目标是控制所有邻近点，而不是收集若干成功路径的例子。对于第二个函数，只要找到一条得到不同结果的路径，就足以否定极限。先分清这两个目标，才能决定寻找哪一类方法。
(a) [6] 展开非负平方 ( x 2 − y 2 ) 2 ≥ 0 (x^2-y^2)^2\ge0 ( x 2 − y 2 ) 2 ≥ 0 x 4 − 2 x 2 y 2 + y 4 ≥ 0 x^4-2x^2y^2+y^4\ge0 x 4 − 2 x 2 y 2 + y 4 ≥ 0 4 x 2 y 2 4x^2y^2 4 x 2 y 2 4 x 2 y 2 ≤ ( x 2 + y 2 ) 2 4x^2y^2\le(x^2+y^2)^2 4 x 2 y 2 ≤ ( x 2 + y 2 ) 2 r = x 2 + y 2 r=\sqrt{x^2+y^2} r = x 2 + y 2
0 ≤ F ( x , y ) ≤ x 2 + y 2 4 = r 2 4 ⟶ 0. 0\le F(x,y)\le\frac{x^2+y^2}{4}=\frac{r^2}{4}\longrightarrow0. 0 ≤ F ( x , y ) ≤ 4 x 2 + y 2 = 4 r 2 ⟶ 0. 对于 ε > 0 \varepsilon>0 ε > 0 δ = 2 ε \delta=2\sqrt\varepsilon δ = 2 ε 0 < r < δ 0<r<\delta 0 < r < δ r 2 / 4 < δ 2 / 4 = ε r^2/4<\delta^2/4=\varepsilon r 2 /4 < δ 2 /4 = ε ∣ F ( x , y ) − F ( 0 , 0 ) ∣ < ε |F(x,y)-F(0,0)|<\varepsilon ∣ F ( x , y ) − F ( 0 , 0 ) ∣ < ε 0.01 0.01 0.01 0.2 0.2 0.2 δ \delta δ
(b) [4] 沿 y = m x y=mx y = m x m ≠ 1 m\ne1 m = 1
G ( x , m x ) = ( m − 1 ) x 3 x 4 + ( m − 1 ) 2 x 2 = ( m − 1 ) x x 2 + ( m − 1 ) 2 ( x ≠ 0 ) . G(x,mx)=\frac{(m-1)x^3}{x^4+(m-1)^2x^2}
=\frac{(m-1)x}{x^2+(m-1)^2}\quad(x\ne0). G ( x , m x ) = x 4 + ( m − 1 ) 2 x 2 ( m − 1 ) x 3 = x 2 + ( m − 1 ) 2 ( m − 1 ) x ( x = 0 ) . G ( x , m x ) = ( m − 1 ) x x 2 + ( m − 1 ) 2 ⟶ 0. G(x,mx)=\frac{(m-1)x}{x^2+(m-1)^2}\longrightarrow0. G ( x , m x ) = x 2 + ( m − 1 ) 2 ( m − 1 ) x ⟶ 0. 取这个极限时斜率固定，因此分母趋于正数 ( m − 1 ) 2 (m-1)^2 ( m − 1 ) 2 m = 1 m=1 m = 1 x 4 > 0 x^4>0 x 4 > 0 x = 0 x=0 x = 0 y 2 > 0 y^2>0 y 2 > 0
(c) [4] 为找到有效的曲线，先比较分母中的 x 4 x^4 x 4 ( y − x ) 2 (y-x)^2 ( y − x ) 2 y − x = x 2 y-x=x^2 y − x = x 2 y = x + x 2 y=x+x^2 y = x + x 2 x ≠ 0 x\ne0 x = 0
G ( x , x + x 2 ) = x 4 x 4 + x 4 = 1 2 . G(x,x+x^2)=\frac{x^4}{x^4+x^4}=\frac12. G ( x , x + x 2 ) = x 4 + x 4 x 4 = 2 1 . 这与沿直线 y = x y=x y = x y / x = 1 + x y/x=1+x y / x = 1 + x
(d) [4] 固定 x ≠ 0 x\ne0 x = 0 y = 0 y=0 y = 0
lim y → 0 G ( x , y ) = G ( x , 0 ) = − x 1 + x 2 . \lim_{y\to0}G(x,y)=G(x,0)=-\frac{x}{1+x^2}. y → 0 lim G ( x , y ) = G ( x , 0 ) = − 1 + x 2 x . 第一步中，分母趋于 x 4 + x 2 > 0 x^4+x^2>0 x 4 + x 2 > 0 y = 0 y=0 y = 0 x → 0 x\to0 x → 0 y ≠ 0 y\ne0 y = 0 x → 0 x\to0 x → 0 y 2 > 0 y^2>0 y 2 > 0 lim x → 0 G ( x , y ) = 0 \lim_{x\to0}G(x,y)=0 lim x → 0 G ( x , y ) = 0
每一种累次过程都先固定一个坐标，完成另一个坐标的极限，因此并没有检验两个坐标同时沿曲线变化的情形。两个累次极限相等，不能证明二元极限存在；(c) 就是对这一推论的明确反例。真正的二元极限证明，需要例如 (a) 中那样的一致估计。评分：两个累次极限各 1 分；正确解释逻辑关系 2 分。
重温一致估计与趋近路径 和连续延拓 。
Q4. 对正确的变量求导 — 16 分
输入包含两个实坐标，输出是一个实数。每个偏导数是沿某一坐标方向的标量变化率。梯度把两个变化率收集成一个向量；混合偏导则是对变化率函数再次求导得到的标量。
(a) [6] 对 x x x y y y x y xy x y y y y log ( 1 + y ) \log(1+y) log ( 1 + y ) y y y x x x log ( 1 + y ) \log(1+y) log ( 1 + y ) 1 / ( 1 + y ) 1/(1+y) 1/ ( 1 + y )
H x = y e x y + 2 x log ( 1 + y ) , H y = x e x y + x 2 1 + y , ∇ H ( 1 , 0 ) = ( 0 , 2 ) . H_x=ye^{xy}+2x\log(1+y),\qquad
H_y=xe^{xy}+\frac{x^2}{1+y},\qquad
\nabla H(1,0)=(0,2). H x = y e x y + 2 x log ( 1 + y ) , H y = x e x y + 1 + y x 2 , ∇ H ( 1 , 0 ) = ( 0 , 2 ) . 代入指定点时，x y = 0 xy=0 x y = 0 e 0 = 1 e^0=1 e 0 = 1 log 1 = 0 \log1=0 log 1 = 0 1 + y = 1 1+y=1 1 + y = 1 H x ( 1 , 0 ) = 0 ⋅ 1 + 2 ⋅ 1 ⋅ 0 = 0 H_x(1,0)=0\cdot1+2\cdot1\cdot0=0 H x ( 1 , 0 ) = 0 ⋅ 1 + 2 ⋅ 1 ⋅ 0 = 0 H y ( 1 , 0 ) = 1 ⋅ 1 + 1 2 / 1 = 2 H_y(1,0)=1\cdot1+1^2/1=2 H y ( 1 , 0 ) = 1 ⋅ 1 + 1 2 /1 = 2 x = 1 x=1 x = 1 H ( 1 , y ) = e y + log ( 1 + y ) H(1,y)=e^y+\log(1+y) H ( 1 , y ) = e y + log ( 1 + y ) e 0 + 1 / ( 1 + 0 ) = 2 e^0+1/(1+0)=2 e 0 + 1/ ( 1 + 0 ) = 2 H ( 1 , 0 ) = 1 H(1,0)=1 H ( 1 , 0 ) = 1
(b) [6] 这里，H x y H_{xy} H x y H x H_x H x y y y y e x y ye^{xy} y e x y
∂ y ( y e x y ) = e x y + x y e x y , ∂ y ( 2 x log ( 1 + y ) ) = 2 x 1 + y . \partial_y(ye^{xy})=e^{xy}+xye^{xy},\qquad
\partial_y(2x\log(1+y))=\frac{2x}{1+y}. ∂ y ( y e x y ) = e x y + x y e x y , ∂ y ( 2 x log ( 1 + y )) = 1 + y 2 x . 对于 H y x H_{yx} H y x H y H_y H y x x x
∂ x ( x e x y ) = e x y + x y e x y , ∂ x ( x 2 1 + y ) = 2 x 1 + y . \partial_x(xe^{xy})=e^{xy}+xye^{xy},\qquad
\partial_x\!\left(\frac{x^2}{1+y}\right)=\frac{2x}{1+y}. ∂ x ( x e x y ) = e x y + x y e x y , ∂ x ( 1 + y x 2 ) = 1 + y 2 x . 因此，两种计算都得到
H x y = e x y ( 1 + x y ) + 2 x 1 + y , H y x = e x y ( 1 + x y ) + 2 x 1 + y . H_{xy}=e^{xy}(1+xy)+\frac{2x}{1+y},\qquad
H_{yx}=e^{xy}(1+xy)+\frac{2x}{1+y}. H x y = e x y ( 1 + x y ) + 1 + y 2 x , H y x = e x y ( 1 + x y ) + 1 + y 2 x . 在 ( 1 , 0 ) (1,0) ( 1 , 0 ) 1 ( 1 + 0 ) + 2 / 1 = 3 1(1+0)+2/1=3 1 ( 1 + 0 ) + 2/1 = 3
(c) [4] 一个充分条件定理是：若 H H H C 2 C^2 C 2
这里 D D D 1 + y > 0 1+y>0 1 + y > 0 D D D H H H C ∞ C^\infty C ∞ D D D C 2 C^2 C 2 1 / 2 1/2 1/2 ( 1 , 0 ) (1,0) ( 1 , 0 ) D D D y = − 1 y=-1 y = − 1
重温偏导与混合偏导 。
Q5. 带误差控制的线性化 — 18 分
线性化的目的是在基点附近，用一个常数加上线性预测的变化量，替代平方根的计算。增量有两个坐标，而预测变化量与误差各是一个实数。这里基点是原点，所以 ρ = x 2 + y 2 \rho=\sqrt{x^2+y^2} ρ = x 2 + y 2 t = x + 2 y t=x+2y t = x + 2 y
(a) [4] 由平方根的标量求导法则可得
f x ( x , y ) = 1 2 9 + x + 2 y , f y ( x , y ) = 2 2 9 + x + 2 y . f_x(x,y)=\frac1{2\sqrt{9+x+2y}},\qquad
f_y(x,y)=\frac2{2\sqrt{9+x+2y}}. f x ( x , y ) = 2 9 + x + 2 y 1 , f y ( x , y ) = 2 9 + x + 2 y 2 . 第二个分子中的因子 2 2 2 x + 2 y x+2y x + 2 y y y y f = 3 f=3 f = 3 f x = 1 / 6 f_x=1/6 f x = 1/6 f y = 1 / 3 f_y=1/3 f y = 1/3
L ( x , y ) = 3 + x + 2 y 6 = 3 + t 6 . L(x,y)=3+\frac{x+2y}{6}=3+\frac t6. L ( x , y ) = 3 + 6 x + 2 y = 3 + 6 t . 常数 3 3 3 x / 6 + y / 3 x/6+y/3 x /6 + y /3 L L L
(b) [6] 先有理化，再减去一次项：
9 + t − 3 = t 9 + t + 3 , \sqrt{9+t}-3=\frac{t}{\sqrt{9+t}+3}, 9 + t − 3 = 9 + t + 3 t , 因为乘以共轭因子后，分子变为 ( 9 + t ) − 9 = t (9+t)-9=t ( 9 + t ) − 9 = t t / 6 t/6 t /6 3 − 9 + t 3-\sqrt{9+t} 3 − 9 + t
E = f − L = t 9 + t + 3 − t 6 = 6 t − t ( 9 + t + 3 ) 6 ( 9 + t + 3 ) = t ( 3 − 9 + t ) 6 ( 9 + t + 3 ) = − t 2 6 ( 9 + t + 3 ) 2 . \begin{aligned}
E&=f-L\\
&=\frac{t}{\sqrt{9+t}+3}-\frac t6\\
&=\frac{6t-t(\sqrt{9+t}+3)}{6(\sqrt{9+t}+3)}\\
&=\frac{t(3-\sqrt{9+t})}{6(\sqrt{9+t}+3)}\\
&=-\frac{t^2}{6(\sqrt{9+t}+3)^2}.
\end{aligned} E = f − L = 9 + t + 3 t − 6 t = 6 ( 9 + t + 3 ) 6 t − t ( 9 + t + 3 ) = 6 ( 9 + t + 3 ) t ( 3 − 9 + t ) = − 6 ( 9 + t + 3 ) 2 t 2 . 在所给定义域上，分母为正，而且整个推导不需要除以 t t t t = 0 t=0 t = 0 f ≤ L f\le L f ≤ L
(c) [4] 取 ρ ≤ 1 \rho\le1 ρ ≤ 1 ( 1 , 2 ) (1,2) ( 1 , 2 ) ( x , y ) (x,y) ( x , y ) ∣ t ∣ ≤ 5 ρ ≤ 5 < 9 |t|\le\sqrt5\rho\le\sqrt5<9 ∣ t ∣ ≤ 5 ρ ≤ 5 < 9 9 + t > 0 9+t>0 9 + t > 0 6 ⋅ 3 2 = 54 6\cdot3^2=54 6 ⋅ 3 2 = 54
t 2 = ( x + 2 y ) 2 ≤ ( 1 2 + 2 2 ) ( x 2 + y 2 ) = 5 ρ 2 . t^2=(x+2y)^2\le(1^2+2^2)(x^2+y^2)=5\rho^2. t 2 = ( x + 2 y ) 2 ≤ ( 1 2 + 2 2 ) ( x 2 + y 2 ) = 5 ρ 2 . 因此，当 0 < ρ ≤ 1 0<\rho\le1 0 < ρ ≤ 1
∣ E ∣ ≤ t 2 54 ≤ 5 ρ 2 54 , ∣ E ∣ ρ ≤ 5 ρ 54 ⟶ 0. |E|\le\frac{t^2}{54}\le\frac{5\rho^2}{54},
\qquad \frac{|E|}{\rho}\le\frac{5\rho}{54}\longrightarrow0. ∣ E ∣ ≤ 54 t 2 ≤ 54 5 ρ 2 , ρ ∣ E ∣ ≤ 54 5 ρ ⟶ 0. 这正是可微性条件。该估计说明，误差至多为增量长度平方的常数倍；再除以增量长度，就剩下一个趋于零的量。只证明误差本身趋于零，结论要弱得多。仅除以 x x x x = 0 x=0 x = 0 54 54 54
(d) [4] 先代入实际增量：t = 0.06 + 2 ( − 0.015 ) = 0.03 t=0.06+2(-0.015)=0.03 t = 0.06 + 2 ( − 0.015 ) = 0.03 0.03 / 6 = 0.005 0.03/6=0.005 0.03/6 = 0.005 L = 3.005 L=3.005 L = 3.005 t > 0 t>0 t > 0 9 + t + 3 > 6 \sqrt{9+t}+3>6 9 + t + 3 > 6
0 < L − f < 0.03 2 216 = 1 240000 . 0<L-f<\frac{0.03^2}{216}=\frac1{240000}. 0 < L − f < 216 0.0 3 2 = 240000 1 . 这个界来自 0.03 2 = 0.0009 0.03^2=0.0009 0.0 3 2 = 0.0009 0.0009 / 216 = 1 / 240000 0.0009/216=1/240000 0.0009/216 = 1/240000 3.005 − 1 / 240000 < f ( 0.06 , − 0.015 ) < 3.005 3.005-1/240000<f(0.06,-0.015)<3.005 3.005 − 1/240000 < f ( 0.06 , − 0.015 ) < 3.005 0.00000417 0.00000417 0.00000417
重温可微性与线性化 。
Q6. 方向、速率与可微性 — 16 分
这里的输入是三维空间中的位置，输出是标量。梯度的三个分量是沿三个坐标方向的局部变化率。单位方向只指定朝向，不含速度大小；要问每单位距离的变化率，就必须先把题目给出的非单位向量单位化。
(a) [4] 多项式可微，且
∇ g = ( 2 x + 2 y , 2 x + 6 y , 2 z − 2 ) , ∇ g ( A ) = ( 0 , − 4 , 2 ) . \nabla g=(2x+2y,2x+6y,2z-2),\qquad
\nabla g(A)=(0,-4,2). ∇ g = ( 2 x + 2 y , 2 x + 6 y , 2 z − 2 ) , ∇ g ( A ) = ( 0 , − 4 , 2 ) . 例如，混合项 2 x y 2xy 2 x y 2 y 2y 2 y 2 x 2x 2 x 2 − 2 = 0 2-2=0 2 − 2 = 0 2 − 6 = − 4 2-6=-4 2 − 6 = − 4 4 − 2 = 2 4-2=2 4 − 2 = 2 ∥ v ∥ = 2 2 + ( − 1 ) 2 + 2 2 = 3 \|v\|=\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}=3 ∥ v ∥ = 2 2 + ( − 1 ) 2 + 2 2 = 3 v / 3 v/3 v /3
D v / 3 g ( A ) = ( 0 , − 4 , 2 ) ⋅ ( 2 / 3 , − 1 / 3 , 2 / 3 ) = 8 3 . D_{v/3}g(A)=(0,-4,2)\cdot(2/3,-1/3,2/3)=\frac83. D v /3 g ( A ) = ( 0 , − 4 , 2 ) ⋅ ( 2/3 , − 1/3 , 2/3 ) = 3 8 . 内积中的三项为 0 + 4 / 3 + 4 / 3 = 8 / 3 0+4/3+4/3=8/3 0 + 4/3 + 4/3 = 8/3 8 8 8 v v v
(b) [6] 限制为单位方向，才能比较走过相同空间距离时的变化。若允许把速度任意乘以正的常数，就可以让某个正的方向变化率任意大，因此对那种不同的问题，不存在有限的最快变化率。
梯度长度为 0 2 + ( − 4 ) 2 + 2 2 = 20 = 2 5 \sqrt{0^2+(-4)^2+2^2}=\sqrt{20}=2\sqrt5 0 2 + ( − 4 ) 2 + 2 2 = 20 = 2 5 ∥ u ∥ = 1 \|u\|=1 ∥ u ∥ = 1 ∣ ∇ g ( A ) ⋅ u ∣ ≤ ∥ ∇ g ( A ) ∥ = 2 5 |\nabla g(A)\cdot u|\le\|\nabla g(A)\|=2\sqrt5 ∣∇ g ( A ) ⋅ u ∣ ≤ ∥∇ g ( A ) ∥ = 2 5
u + = ( 0 , − 2 5 , 1 5 ) , u − = − u + . u_+=\left(0,-\frac2{\sqrt5},\frac1{\sqrt5}\right),\qquad
u_-=-u_+. u + = ( 0 , − 5 2 , 5 1 ) , u − = − u + . 每个向量的长度平方均为 4 / 5 + 1 / 5 = 1 4/5+1/5=1 4/5 + 1/5 = 1 2 5 2\sqrt5 2 5 − 2 5 -2\sqrt5 − 2 5 y y y z z z x x x x x x
(c) [6] 在确认可微性之前，不能使用梯度内积公式。应从方向导数的定义出发。对于单位向量 u = ( a , b ) u=(a,b) u = ( a , b ) s ≠ 0 s\ne0 s = 0 q ( s a , s b ) = s a 2 b / ( a 2 + 3 b 2 ) q(sa,sb)=s a^2b/(a^2+3b^2) q ( s a , s b ) = s a 2 b / ( a 2 + 3 b 2 )
q ( s a , s b ) − q ( 0 , 0 ) s = a 2 b a 2 + 3 b 2 . \frac{q(sa,sb)-q(0,0)}s=\frac{a^2b}{a^2+3b^2}. s q ( s a , s b ) − q ( 0 , 0 ) = a 2 + 3 b 2 a 2 b . 由于 u u u s s s a = 0 a=0 a = 0 b = 0 b=0 b = 0 ∇ q ( 0 , 0 ) = ( 0 , 0 ) \nabla q(0,0)=(0,0) ∇ q ( 0 , 0 ) = ( 0 , 0 ) u = ( 1 , 1 ) / 2 u=(1,1)/\sqrt2 u = ( 1 , 1 ) / 2 1 / ( 2 2 ) 1/(2\sqrt2) 1/ ( 2 2 ) 2 2 2
D u q ( 0 , 0 ) = 1 4 2 ≠ 0. D_uq(0,0)=\frac1{4\sqrt2}\ne0. D u q ( 0 , 0 ) = 4 2 1 = 0. 假如 q q q ∇ q ( 0 , 0 ) ⋅ u = 0 \nabla q(0,0)\cdot u=0 ∇ q ( 0 , 0 ) ⋅ u = 0
直接检查也能看出同一问题。沿 ( x , y ) = ( s , s ) (x,y)=(s,s) ( x , y ) = ( s , s ) q ( s , s ) = s / 4 q(s,s)=s/4 q ( s , s ) = s /4 2 ∣ s ∣ \sqrt2|s| 2 ∣ s ∣ 1 / ( 4 2 ) 1/(4\sqrt2) 1/ ( 4 2 ) s s s ∣ q ( x , y ) ∣ ≤ ∣ y ∣ ≤ x 2 + y 2 |q(x,y)|\le |y|\le\sqrt{x^2+y^2} ∣ q ( x , y ) ∣ ≤ ∣ y ∣ ≤ x 2 + y 2
重温小余项条件 ，以及方向导数 中的单位方向导数与最速方向 部分。
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记录每一小题的得分，并写下一种具体错误类型：算术、定义、成立条件、一致估计或方向单位化。遮住答案，重做对应笔记中的例题。然后在空白纸上重新完成该小题，解释此前出错的那一步。即使总分较高，也应重温所有未证明的断言或遗漏的边界情形。
