MATH2010 模拟卷 A

6 题 · 100 分 · 建议用时 90 分钟。 建议用约 80 分钟作答，留 10 分钟检查。请完成全部六题，写出各项结论的推理过程，并在适当时保留精确表达式。各题旁的时间供安排作答进度使用。

复习路线 · 逐步解答与评分

Q1. 平面、投影与体积 — 16 分，14 分钟

设 $P=(1,-1,2)$、$u=(1,2,0)$、$v=(2,-1,1)$。平面 $\Pi$ 经过 $P$，方向向量为 $u,v$。

(a) [6] 求一个非零法向量及 $\Pi$ 的直角坐标方程。

(b) [6] 求原点到 $\Pi$ 的距离及从原点引出的垂线的垂足。

(c) [4] 求以 $u,v,w$ 为棱向量的平行六面体的体积，其中 $w=(0,1,1)$。解释计算中正负号的含义。

Q2. 集合及其边缘 — 16 分，12 分钟

设

$$S=\{(x,y)\in\mathbb R^2:1\le x^2+y^2\le4,\ y>0\}.$$

(a) [8] 求 $S$ 在 $\mathbb R^2$ 中的内部、闭包与边界。请列出边界的所有部分。

(b) [6] 判断 $S$ 是否为开集、闭集、有界集及道路连通集。逐项说明理由；对于道路连通性，请构造连续路径。

(c) [2] 把极坐标 $r=3/2$、$\theta=2\pi/3$ 化为直角坐标，并判断该点是否属于 $S$。

Q3. 怎样的趋近能证明极限？ — 18 分，15 分钟

当 $(x,y)\ne(0,0)$ 时，定义

$$F(x,y)=\frac{x^2y^2}{x^2+y^2},\qquad G(x,y)=\frac{x^2(y-x)}{x^4+(y-x)^2},$$

并令 $F(0,0)=G(0,0)=0$。

(a) [6] 用对所有趋近方式都有效的估计，证明 $F$ 在原点连续。写出一个明确的 $\delta$，使其适用于给定的 $\varepsilon>0$。

(b) [4] 计算 $G$ 沿每一条经过原点的直线趋近时的极限，包括竖直直线。

(c) [4] 判断 $G$ 在原点的二元极限是否存在，并给出能够确定结论的趋近路径。

(d) [4] 计算 $G$ 在原点的两个累次极限。某同学认为，这两个极限相等就能证明二元极限存在。判断这一推论是否成立，并说明它还缺少什么证据。

Q4. 对正确的变量求导 — 16 分，12 分钟

在 $D=\{(x,y):y>-1\}$ 上，设

$$H(x,y)=e^{xy}+x^2\log(1+y).$$

(a) [6] 求 $H_x,H_y$ 在 $D$ 上的表达式，并计算 $\nabla H(1,0)$。

(b) [6] 分别计算 $H_{xy}$ 与 $H_{yx}$，再求它们在 $(1,0)$ 处的值。

(c) [4] 叙述一个保证混合偏导相等的充分条件定理，并验证本函数在 $D$ 上满足其假设。

Q5. 带误差控制的线性化 — 18 分，15 分钟

设 $f(x,y)=\sqrt{9+x+2y}$，定义域为 $x+2y>-9$，考虑原点处的线性化。记 $\rho=\sqrt{x^2+y^2}$、$t=x+2y$。

(a) [4] 求原点处的仿射线性近似 $L$。

(b) [6] 推导精确恒等式

$$f(x,y)-L(x,y)=-\frac{t^2}{6(\sqrt{9+t}+3)^2}.$$

(c) [4] 利用该恒等式，按小余项定义证明函数在原点可微，并指明估计成立的邻域。

(d) [4] 利用 $L$ 近似计算 $f(0.06,-0.015)$，并根据恒等式给出绝对误差界。

Q6. 方向、速率与可微性 — 16 分，12 分钟

设 $g(x,y,z)=x^2+2xy+3y^2+z^2-2z$、$A=(1,-1,2)$。

(a) [4] 计算 $\nabla g(A)$，以及函数在 $A$ 处沿 $v=(2,-1,2)$ 所指方向的单位方向导数。

(b) [6] 在所有单位方向中，求最快增加与最快减小的方向及对应速率，并证明这些速率最优。

(c) [6] 定义

$$q(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x^2y}{x^2+3y^2},&(x,y)\ne(0,0),\\ 0,&(x,y)=(0,0). \end{cases}$$

求 $q$ 在原点沿每一个单位方向的方向导数。某同学因为这些方向导数都存在，就断言 $q$ 可微。判断这一结论是否成立，指出推理中的缺口，并证明你的判断。

评分前检查

检查法向量的正负号、是否遗漏直线边界段、极限估计是否对方向一致、求偏导时固定了哪个变量、可微性余项的分母，以及方向向量是否已单位化。随后使用解答评分，并选择下一节需要重温的笔记。