MATH2010 补充模拟 B

设 $h(t)=(2\cos t,2\sin t,t)$ ， $0\le t\le\pi$ 。

(a) [8] 求速度向量、速率，以及 $t=\pi/2$ 处的切线。

(b) [8] 求行进弧长和两端点之间的距离，并证明两者不相等。

(c) [8] 以从 $t=0$ 开始的行进距离 $s$ 为新参数。将 $t$ 表示为 $s$ 的函数，给出单位速率参数式及其定义域，并直接验证速率。

(d) [6] 令 $q(u)=h(\pi-u)$ ， $0\le u\le\pi$ ，使原来的行进反向。求 $q$ 的速度向量与速率，并解释弧长为何保持正值且不变。

B-Q2 · 零速度与切线 — 20分，约17分钟

设 $a(u)=(u^3,0)$ ， $-1\le u\le1$ ； $b(t)=(t,0)$ ， $-1\le t\le1$ 。

(a) [6] 求两条参数曲线的像集与速率，并比较参数为零处的速度向量。

(b) [6] 直接计算两条曲线的行进弧长。对于 $u=0$ ，从几何上说明像集是否有切线，以及为什么直接把 $a'(0)$ 代入正则曲线切线公式不能得出这条切线。

(c) [8] 换元 $t=\phi(u)=u^3$ 严格递增且一一对应。它是否满足以下充分定理的假设：换参函数连续可微、单调，并且处处导数非零？讨论逆函数在零处的导数。解释假设不满足为何不与(b)中的弧长相等结论矛盾。

B-Q3 · 两种半径与圆锥 — 30分，约27分钟

使用卷首的坐标约定。设 $P=(-1,\sqrt3,-2)$ ，并设

$E=\{(x,y,z):1\le\sqrt{x^2+y^2+z^2}\le3,\ z\ge\sqrt{x^2+y^2}\}.$

集合 $E$ 包括上述不等式的边界。

(a) [10] 求 $P$ 的柱坐标与球坐标，解释角度的选择，并代回验证。

(b) [10] 用球坐标的三个坐标范围表示 $E$ 。推导角度限制，不能因平方而丢掉符号条件。

(c) [6] 用柱坐标表示同一集合 $E$ 。解释为什么用 $z^2\ge r^2$ 取代 $z\ge r$ 会加入原集合以外的点。

(d) [4] 在柱坐标中，固定 $\theta=\pi/2$ ，令 $r\ge0$ 、 $z$ 任意。描述所得几何集合；它是否为整个平面 $x=0$ ？

B-Q4 · 等号条件不可省略 — 20分，约19分钟

以下向量均为实欧氏空间中的向量。

(a) [8] 对 $u\ne0$ ，展开 $\|v-tu\|^2$ ，求使其最小的实数 $t$ ，由此证明柯西–施瓦茨不等式。写出精确等号条件，并处理其中一个向量为零的情况。

(b) [6] 设 $u=(1,2,-2)$ 、 $v=-2u$ 。求 $\langle u,v\rangle$ 、 $\|u\|$ 、 $\|v\|$ 和 $\|u+v\|$ 。分别判断带绝对值的柯西–施瓦茨不等式、三角不等式是否取等，并写出每种情况的数值比较。

(c) [6] 修正以下说法：“只要两个向量线性相关，三角不等式就取等。”证明非零向量的正确条件，并补充零向量的情况。

交卷前自查

检查速度与速率是否混淆、换参区间是否更新、逆函数是否真的有有限导数、球坐标极角的起点是否正确，以及三角不等式是否保留正倍数条件。然后使用分步详解与评分选择下一步复习内容。

MATH2010 补充模拟 B

所有答案均可用精确式手算，无须计算器；这不是对官方计算器规则的判断。角度使用弧度。请写出推理，保留精确值，并明确每个参数的区间。

复习目录 · 分步详解与评分

B-Q1 · 螺旋线、距离与单位速率 — 30分，约27分钟

设 $h(t)=(2\cos t,2\sin t,t)$ ， $0\le t\le\pi$ 。

(a) [8] 求速度向量、速率，以及 $t=\pi/2$ 处的切线。

(b) [8] 求行进弧长和两端点之间的距离，并证明两者不相等。

(c) [8] 以从 $t=0$ 开始的行进距离 $s$ 为新参数。将 $t$ 表示为 $s$ 的函数，给出单位速率参数式及其定义域，并直接验证速率。

(d) [6] 令 $q(u)=h(\pi-u)$ ， $0\le u\le\pi$ ，使原来的行进反向。求 $q$ 的速度向量与速率，并解释弧长为何保持正值且不变。

B-Q2 · 零速度与切线 — 20分，约17分钟

设 $a(u)=(u^3,0)$ ， $-1\le u\le1$ ； $b(t)=(t,0)$ ， $-1\le t\le1$ 。

(a) [6] 求两条参数曲线的像集与速率，并比较参数为零处的速度向量。

B-Q3 · 两种半径与圆锥 — 30分，约27分钟

使用卷首的坐标约定。设 $P=(-1,\sqrt3,-2)$ ，并设

$E=\{(x,y,z):1\le\sqrt{x^2+y^2+z^2}\le3,\ z\ge\sqrt{x^2+y^2}\}.$

集合 $E$ 包括上述不等式的边界。

(a) [10] 求 $P$ 的柱坐标与球坐标，解释角度的选择，并代回验证。

(b) [10] 用球坐标的三个坐标范围表示 $E$ 。推导角度限制，不能因平方而丢掉符号条件。

(c) [6] 用柱坐标表示同一集合 $E$ 。解释为什么用 $z^2\ge r^2$ 取代 $z\ge r$ 会加入原集合以外的点。

(d) [4] 在柱坐标中，固定 $\theta=\pi/2$ ，令 $r\ge0$ 、 $z$ 任意。描述所得几何集合；它是否为整个平面 $x=0$ ？

B-Q4 · 等号条件不可省略 — 20分，约19分钟

以下向量均为实欧氏空间中的向量。

(a) [8] 对 $u\ne0$ ，展开 $\|v-tu\|^2$ ，求使其最小的实数 $t$ ，由此证明柯西–施瓦茨不等式。写出精确等号条件，并处理其中一个向量为零的情况。

(c) [6] 修正以下说法：“只要两个向量线性相关，三角不等式就取等。”证明非零向量的正确条件，并补充零向量的情况。