矩阵基础

在方程 $2x_1-x_3=5$ 中，按 $(x_1,x_2,x_3)$ 的顺序记录系数，得到 $2,0,-1$。若省略零，就无法保留第二、第三个未知数的位置区别。把各条方程的系数逐行对齐，便能保留这些信息：每行对应一条方程，每列对应一个固定的未知数。

什么是矩阵

定义

矩阵

矩阵是按行和列排成的长方形数字表。

若一个矩阵有 $m$ 行、$n$ 列，就称它是 $m \times n$ 矩阵。本课中的元素通常 是实数，但定义本身并不限于实数。

矩阵写成长方形，不是排版习惯而已。每一行、每一列都带着位置信息；后面定 义矩阵相等、矩阵加法与矩阵乘法时，这些位置都不能随便打乱。

因此，矩阵不应被看成一堆散乱数字。放在第 $1$ 行第 $3$ 列的数字，和同一 个数字放在第 $3$ 行第 $1$ 列，可以扮演完全不同的角色。举例说，在系数矩 阵中，列的位置连到已经选定的变量次序。若变量次序是 $(x_1, x_2, x_3)$， 第二列记录的就是 $x_2$ 的系数；若改用 $(x_2, x_1, x_3)$ 作次序，显示出 来的矩阵也必须相应改变。

常见错误

不要把系数和位置分开

单看数字 $5$，并不能知道它乘在哪个变量上。在系数矩阵中，是列位置提供了 这个信息。除非同时改变变量次序，否则移动一整列就会改变原本编码的方程 组。

看行列位置如何运作

在图中选定一个元素，辨认它所在的行、列和两个下标。数值与位置是两种不同的信息。

先看大小，再看元素

矩阵的大小写作 $m \times n$。

• $m$ 是行数。
• $n$ 是列数。

如果 $m = n$，这个矩阵就是方阵。

不同大小的矩阵，不只是“看起来不同”，而是根本属于不同类型的对象。例 如 $2 \times 3$ 与 $3 \times 2$ 矩阵连逐项比较都做不到，因为位置对不上。

逐个元素去读

若 $A$ 是一个矩阵，$a_{ij}$ 表示第 $i$ 行第 $j$ 列的元素。这种记号很重 要，因为之后你可以精确指出一个数在矩阵中的位置。

例题

仔细读一个矩阵

设

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 3 & -1 & 4 \end{bmatrix}.$$

这个矩阵有 2 行 3 列，所以大小是 $2 \times 3$。 第 2 行第 3 列的元素是 $4$。

记号 $a_{ij}$ 不是繁琐标记，而是往后处理矩阵相等、加法、数乘与乘法时的 正式语言。

矩阵相等要逐项检查

两个矩阵要相等，必须大小一致，而且所有对应位置的元素完全一样。

定义

矩阵相等

设 $A = [a_{ij}]$ 与 $B = [b_{ij}]$ 为两个矩阵。

则 $A = B$ 当且仅当：

1. $A$ 与 $B$ 的大小相同；
2. 对每一个行列位置 $(i,j)$，都有 $a_{ij} = b_{ij}$。

所以证明两个矩阵相等，往往就是逐项比较。

例题

由矩阵相等求未知数

若

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & x \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{bmatrix},$$

那么三个位置已经对上，剩下的位置也必须对上，因此 $x = 5$。

有序的列完整决定一个矩阵

矩阵相等的定义有一个实用推论：知道所有列以及各列的位置，就能重建整个矩阵。检查时不必一次处理整张表，但不能遗漏某列，也不能改变列的次序。

定理

由坐标重建矩阵与判断相等

给定按次序排列的列向量 $c_1,\ldots,c_n\in\mathbb R^m$，恰好存在一个以它们为各列的 $m\times n$ 矩阵。其元素 $a_{ij}$ 就是 $c_j$ 的第 $i$ 个分量。因此，两个同为 $m\times n$ 的矩阵相等，当且仅当对应的列向量全部相等。按次序排列的行也有同样的结论。

证明

由元素定义分别证明存在与唯一

先证明存在：把给定的第 $j$ 个向量的第 $i$ 个分量放到位置 $(i,j)$。每个所需位置都恰好得到一个实数，所形成的每一列也就按照指定次序拥有指定的分量。

再证明唯一：若另一个矩阵 $B$ 有完全相同的有序列，那么对每个列指标 $j$ 与每个行指标 $i$，$b_{ij}$ 都必须等于 $c_j$ 的第 $i$ 个分量，也就是 $a_{ij}$。两矩阵大小相同、所有对应元素相等，所以按定义相等。反过来，矩阵相等意味着每列的对应元素都相等，因此对应列向量相等。把同一论证按行来组织，便得到行版本。

这个证明明确分成存在与至多一个两个部分。“有序”也不能省去：列向量组成的集合会忘记哪列在前，还会忽略重复元素，但重建矩阵时两种信息都必须保留。同样，含相同数字的行向量与列向量具有不同大小，不能只因为数字相同就把它们视为同一个矩阵。

例题

由列重建矩阵，再核对另一种描述

设 $A$ 的第一、二、三列依次为

$$c_1=\begin{bmatrix}2\\-1\end{bmatrix},\qquad c_2=\begin{bmatrix}0\\4\end{bmatrix},\qquad c_3=\begin{bmatrix}-3\\5\end{bmatrix}.$$

共有三列，每列有两个分量，因此

$$A=\begin{bmatrix}2&0&-3\\-1&4&5\end{bmatrix}.$$

第一行是 $[2\ 0\ {-3}]$，而 $a_{23}=5$。另一份描述说，两行分别是 $[2\ 0\ {-3}]$ 与 $[-1\ 4\ 5]$；逐个位置核对可知，两种描述指定同一个矩阵。若第二行改成 $[-1\ 5\ 4]$，就会在两个位置产生冲突，不存在同时满足两份描述的矩阵。仅仅含有相同的一批数字，不能消除这种冲突。

若交换 $c_1,c_2$，新矩阵的第一个元素由二变成零，所以得到的是另一个矩阵。虽然可用的列没有改变，它们的位置已经改变。这和用列记录不同未知数的系数时所遇到的位置问题完全相同。

先有加法与数乘

矩阵乘法出场之前，已有两个基本运算。

定义

矩阵加法与数乘

设 $A = [a_{ij}]$ 与 $B = [b_{ij}]$ 为同样大小的矩阵，$c$ 为标量。

• $A + B$ 由对应位置相加得到，即 $(A + B)_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$；
• $cA$ 由每个元素都乘上 $c$ 得到，即 $(cA)_{ij} = c a_{ij}$。

其中“同样大小”是关键条件。若大小不同，矩阵加法根本未定义。

例题

计算一个矩阵和与一个数乘

令

$$A = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}, \qquad B = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ -5 & 2 \end{bmatrix}.$$

则

$$A + B = \begin{bmatrix} 5 & -1 \\ -5 & 5 \end{bmatrix}, \qquad 2A = \begin{bmatrix} 2 & -4 \\ 0 & 6 \end{bmatrix}.$$

每个元素都逐项处理，但矩阵的大小仍然保持 $2 \times 2$。

所有元素都是 $0$ 的矩阵叫做零矩阵。对固定大小来说，它是加法单位元：

$$A + O = A.$$

哪些运算可以消去？

逐项定义让我们在引入矩阵乘法之前，就能证明一些熟悉的代数步骤。只要所有表达式具有所需大小，矩阵等式便能在每个位置用实数运算处理。消去律是由定义推出的结论，并不表示所有矩阵运算都能模仿实数乘法。

定理

逐项运算的消去律

设 $A,B,C$ 是同样大小的实矩阵。若 $A+C=B+C$，则 $A=B$。对固定的非零实数 $\lambda$，若 $\lambda A=\lambda B$，则 $A=B$。第二个结论中的非零假设不可省略。

证明

在任意一个位置证明，再使用矩阵相等定义

由 $A+C=B+C$，矩阵相等定义给出每个位置的等式 $a_{ij}+c_{ij}=b_{ij}+c_{ij}$。消去实数 $c_{ij}$，得到 $a_{ij}=b_{ij}$。指标任意，所以矩阵相等。类似地，$\lambda A=\lambda B$ 给出 $\lambda a_{ij}=\lambda b_{ij}$；除以非零实数 $\lambda$，每个位置便都相等。如果 $\lambda=0$，无论 $A,B$ 是什么，两个数乘结果都是零矩阵，因此结果相等已不能推出原矩阵相等。

证明也说明了如何解基本矩阵方程。在 $2X+B=C$ 中，解必须满足 $x_{ij}=(c_{ij}-b_{ij})/2$；反过来，按此式填写元素，代入就会在每个位置恢复 $C$ 的元素。因此，公式既构造出一个解，也说明不可能有另一个解。开始计算前必须检查大小，不能用减法来补救维数不相容的问题。

具体取

$$B=\begin{bmatrix}1&-2\\3&0\end{bmatrix},\qquad C=\begin{bmatrix}5&4\\-1&6\end{bmatrix}.$$

则 $X=\begin{bmatrix}2&3\\-2&3\end{bmatrix}$。把各元素乘二，再加上 $B$ 的对应元素，就会得到 $C$。若 $X$ 的系数改成零，方程只剩 $B=C$：这个等式成立时，每个同样大小的矩阵都是解；不成立时则没有解。这就是矩阵版本的零系数方程判断，而不是进行非法除法。

矩阵把方程组整理成一个叙述

矩阵在课程中之所以这么早出现，正是因为它可以把线性方程组打包成较容易系 统处理的形式。

考虑方程组

$$\begin{aligned} x_1 + 2x_2 - x_3 &= 4, \\ 3x_1 - x_2 + 5x_3 &= 7. \end{aligned}$$

它的系数矩阵是

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 3 & -1 & 5 \end{bmatrix},$$

未知向量是

$$x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix},$$

常数向量是

$$b = \begin{bmatrix} 4 \\ 7 \end{bmatrix}.$$

把整个方程组简记为

$$Ax = b.$$

这里 $Ax=b$ 代表上面的两条方程，第 $i$ 条就是 $a_{i1}x_1+a_{i2}x_2+a_{i3}x_3=b_i$。 3.2 矩阵乘法、单位矩阵与线性方程组将用矩阵乘法正式解释这个记号。

缺少的变量仍须保留一列

例题

从文字读出系数矩阵

题目：按变量次序 $(x_1,x_2,x_3)$，写出下列方程组的系数矩阵与常数向量：

$$\begin{aligned} 2x_1 - x_3 &= 5,\\ -x_1 + 4x_2 + 3x_3 &= -2. \end{aligned}$$

第一条方程没有写出 $x_2$ 项，所以先把缺失的系数补出来：

$$2x_1 + 0x_2 - x_3 = 5.$$

现在，每一条方程变成一行，列的顺序则跟固定变量次序 $(x_1,x_2,x_3)$ 一致。因此

$$A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & -1 \\ -1 & 4 & 3 \end{bmatrix}, \qquad b = \begin{bmatrix} 5 \\ -2 \end{bmatrix}.$$

最常见的错误是省略第一行中的 $0$。但缺失的 $x_2$ 系数本来就是数据的一 部分，第二列仍然必须存在。

矩阵乘法中的位置

3.2 的矩阵乘法把左矩阵的一行与右矩阵的一列配对，计算输出矩阵中的一个元素。下图展示这种位置配对；紧接本节的 增广矩阵与行变换则利用固定位置记录方程组的变换。

常见错误

常见错误

不要把行和列调乱

第一个下标是行号，不是列号。$a_{23}$ 代表第 2 行第 3 列。

常见错误

大小不同就不能相加

矩阵加法是逐项相加；若位置对不上，就没有运算可做。

快速检查

思考检查

$2 \times 3$ 矩阵可以和 $3 \times 2$ 矩阵相加吗？

请按定义回答，不要只凭外观判断。

解答 · 答案

不可以。矩阵加法只对大小相同的矩阵有定义。

思考检查

若 $A$ 是 $4 \times 2$ 矩阵，$a_{31}$ 代表什么？

指出行与列的位置。

解答 · 答案

它表示 $A$ 的第 3 行第 1 列元素。

练习

思考检查

把方程组 $x_1 - x_2 = 3$、$2x_1 + x_2 = 0$ 写成系数矩阵与常数向量。

先固定未知数顺序 $(x_1, x_2)$。

解答 · 引导解答

按照未知数顺序 $(x_1, x_2)$，系数矩阵是

$$\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{bmatrix},$$

常数向量是

$$\begin{bmatrix} 3 \\ 0 \end{bmatrix}.$$

练习：计算前先核对局部资料

一个 $2\times3$ 矩阵的第一行是 $[1\ 2\ 3]$，第二列是 $\begin{bmatrix}2\\5\end{bmatrix}$。描述所有这样的矩阵。若把第二列改成 $\begin{bmatrix}4\\5\end{bmatrix}$，答案会怎样改变？说明哪一种情况是元素未定，哪一种情况是资料互相矛盾。

解答 · 解答：共同指定的位置必须一致

两份描述都指定了位置 $(1,2)$。第一种情况下，两者都要求该位置为二，因此相容。第二列固定第二行的中间元素，只留下该行的首尾元素未定。所以全部合要求的矩阵恰好是

$$\begin{bmatrix}1&2&3\\s&5&t\end{bmatrix},\qquad s,t\in\mathbb R.$$

任意选择两个实数都符合给定的行与列；反过来，每个满足资料的矩阵都必须具有这种形式。第二种情况下，同一个位置必须同时填二与四，因而没有矩阵满足要求。任意选择其余未定元素都不能消除冲突。这区分了可能容许多个矩阵的资料不完整，与完全不容许矩阵存在的资料不相容。

这道题也说明重建命题的适用范围：完整的有序列列表会固定每个元素，恰好给出一个矩阵；局部的行列描述却未必如此。计算尚有多少元素可自由选择之前，要先核对被两种方式同时限制的位置，否则表面上的自由元素数目可能掩盖一个根本矛盾。

相关笔记

若想看方程组如何变成矩阵，可先回看 1.1 方程与解集。 矩阵乘法见 3.2 矩阵乘法、单位矩阵与线性方程组。