变数替换与雅可比行列式

同时变换区域与面积元素

坐标映射 $T(u,v)=(x(u,v),y(u,v))$ 可把复杂区域变成简单区域，同时也会伸缩小面积。在正则点，线性近似 $DT$ 把小坐标矩形映成近似平行四边形，其面积为 $|\det DT|\,du\,dv$。行列式的绝对值量度无符号面积比例，符号则记录方向。

定义

雅可比行列式

对 $C^1$ 平面映射 $T(u,v)=(x(u,v),y(u,v))$，其雅可比行列式为

$$J_T(u,v)=\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} =\det\begin{pmatrix}x_u&x_v\\y_u&y_v\end{pmatrix}.$$

定理

二维变数替换

设 $S\subset\mathbb R^2$ 有界且 Jordan 可测，其闭包 $\overline S$ 为紧集，且包含于开集 $U$。假设 $T:U\to V$ 是到开集 $V$ 的 $C^1$ 微分同胚，令 $D=T(S)$，且 $f$ 在 $T(\overline S)$ 上连续。则

$$\iint_D f(x,y)\,dx\,dy =\iint_S f(T(u,v))\,|J_T(u,v)|\,du\,dv.$$

对有界集合，Jordan 可测是指其边界面积为零。$C^1$ 微分同胚是具有 $C^1$ 逆映射的双射 $C^1$ 映射；因此其雅可比行列式非零。这些是充分条件；若映射把 $D$ 的正面积部分覆盖多次，不计重数便不能使用此公式。

证明

行列式的几何原因

对小增量 $\Delta u,\Delta v$，可微性使坐标小格的像近似由 $T_u\Delta u$ 和 $T_v\Delta v$ 生成的平行四边形，其面积为 $|\det(T_u,T_v)|\Delta u\Delta v$。在能控制局部近似及分割误差的假设下，将变换后取样值相加并取极限便得到公式。这是思路，并非任意区域情况的完整证明。

极坐标

令 $x=r\cos\theta$、$y=r\sin\theta$，其中 $r\ge0$。则

$$\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)}\right| =\left|\det\begin{pmatrix}\cos\theta&-r\sin\theta\\\sin\theta&r\cos\theta\end{pmatrix}\right|=r.$$

因此 $dA=r\,dr\,d\theta$。对半径为 $R>0$ 的圆盘和在闭圆盘上连续的被积函数，先限制在 $\varepsilon\le r\le R$、$\delta\le\theta\le2\pi-\delta$，其中 $0<\varepsilon<R$、$0<\delta<\pi$。映射在此矩形的某个开邻域上是微分同胚。先在那里应用定理，再令 $\varepsilon,\delta\to0$：被省去的小圆盘和角形区域的面积趋于零，而被积函数在闭圆盘上连续因而有界；相应的参数被积函数也有界，所以省去的积分趋于零。这样才证明了虽有原点和接缝仍可使用圆盘公式，而不是自动把它们当成例外。长度 $4\pi$ 的角度区间会把几乎每点计算两次。

例题

圆盘与径向被积函数

对圆盘 $D:x^2+y^2\le4$，

$$\iint_D(x^2+y^2)\,dA=\int_0^{2\pi}\int_0^2r^2\,r\,dr\,d\theta=8\pi.$$

第一个 $r^2$ 是变换后的被积函数；额外的 $r$ 是雅可比因子。遗漏它会改变答案及面积元素的量纲。

例题

线性变换

令 $D$ 为平行四边形 $0\le x+y\le2$、$0\le x-y\le1$，计算 $\iint_D(x+y)\,dA$。设 $u=x+y$、$v=x-y$，则 $x=(u+v)/2$、$y=(u-v)/2$。新区域为 $0\le u\le2$、$0\le v\le1$，而 $|\partial(x,y)/\partial(u,v)|=1/2$。故

$$\iint_D(x+y)\,dA=\int_0^2\int_0^1u\cdot\frac12\,dv\,du=1.$$

注意 $\partial(u,v)/\partial(x,y)=-2$ 是反方向的雅可比行列式；此处需要它的绝对值倒数。

比较及检查

若垂直或水平上下限简单，直角坐标通常较好；极坐标适合圆盘、扇形及径向函数；线性替换适合平行四边形和线性组合。务必 (1) 描述新区域，(2) 用新变数表示被积函数，(3) 计算正确方向的雅可比行列式，(4) 检查是否一对一覆盖，(5) 核对边界与符号。雅可比行列式为负，并不会令普通标量面积积分变负。

练习

1. 用极坐标求 $x^2+y^2\le9$ 的面积。
2. 对 $D:x^2+y^2\le1$，计算 $\iint_D e^{x^2+y^2}\,dA$。
3. 设 $x=2u$、$y=3v$。求 $[0,1]^2$ 的像，并用雅可比行列式求其面积。
4. 解释为何 $0\le r\le1$、$0\le\theta\le4\pi$ 不是单位圆盘除边界外的一对一极坐标参数化。

详解

1. $\int_0^{2\pi}\int_0^3r\,dr\,d\theta=9\pi$。
2. $\int_0^{2\pi}\int_0^1e^{r^2}r\,dr\,d\theta=\pi(e-1)$。
3. 像为 $[0,2]\times[0,3]$，雅可比行列式为 $6$。面积是 $\int_0^1\int_0^1 6\,du\,dv=6$。
4. 除可忽略的接缝外，每个非零内点有两个角度相差 $2\pi$ 的表示，积分因此把面积计算两次。

总结

替换变数时，坐标、被积函数、区域和测度都要一起变换。雅可比行列式反映局部面积比例；一对一性或明确的覆盖次数控制，避免重复计算。