线性组合与张成

给定一组向量，哪些向量可以由它们的标量倍数相加得到？线性组合描述一个具体结果，张成则收集所有这样的结果。

线性组合是最基本的构造单位

定义

线性组合

设 $u_1, u_2, \ldots, u_n$ 是向量空间 $V$ 里的向量，而 $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n \in R$。则

$$\alpha_1 u_1 + \alpha_2 u_2 + \cdots + \alpha_n u_n$$

称为 $u_1, u_2, \ldots, u_n$ 的线性组合。

本节始终在实向量空间 $V$ 中讨论，生成列表有限，且 $n\geq 1$。系数属于 $\mathbb R$，生成向量则属于 $V$；两者的角色不同。讨论某个张成时，生成向量保持固定，变化的是系数。对一个目标找到一组系数，并不要求这组系数同时适用于所有其他目标。

“有限”表示每个表达式只涉及有限次加法与数乘，没有引入无穷级数或极限。列表可以包含重复向量和零向量；这些向量是否带来新的输出，是另一个需要判断的问题。

系数可以是任意实数：正数、负数、分数、无理数或零。

张成是所有可造出的结果

定义

张成

设 $u_1, u_2, \ldots, u_n$ 是向量空间 $V$ 里的向量。它们的张成定义为所 有线性组合组成的集合：

$$\operatorname{Span}\{u_1, u_2, \ldots, u_n\} = \{\alpha_1u_1 + \alpha_2u_2 + \cdots + \alpha_nu_n \mid \alpha_i \in R\}.$$

因此，张成不是单个向量，而是由这些向量可造出的整个向量集合。

也正因如此，张成常被读作“由这组向量生成的子空间”。

例题

几种典型的线性组合

对满足 $n\geq2$ 的向量列表 $u_1,\ldots,u_n$，则以下各式都是它们的线性组合：

$$23u_1 - \sqrt{2}\,u_2 + \pi u_n,$$$$0 = 0u_1 + 0u_2 + \cdots + 0u_n,$$

以及

$$u_1 = 1u_1 + 0u_2 + \cdots + 0u_n.$$

这里还有一个封闭事实：若 $v$ 与 $w$ 本身都是 $u_1, \ldots, u_n$ 的线性组合，则任何 $cv + dw$ 仍然是 $u_1, \ldots, u_n$ 的线性组合。

所以，线性组合对“由线性组合再做线性组合”这件事本身是封闭的。

更一般地，设 $v_j=\sum_{i=1}^n a_{ij}u_i$，其中 $j=1,\ldots,r$。将这些有限和代入，可得

$$\sum_{j=1}^r b_jv_j =\sum_{i=1}^n\left(\sum_{j=1}^r b_ja_{ij}\right)u_i.$$

每个括号里的数仍是实系数，所以反复做线性组合，也不会离开原生成向量的线性组合集合。这里两个指标分别记录原生成向量和中间向量；中间向量的个数不必等于生成向量的个数。

是否属于某个张成，其实是可解性问题

在实际计算里，问题“$b$ 是否是 $u_1, \ldots, u_n$ 的线性组合”通常不是靠 肉眼判断，而是靠解一个线性系统。

定理

线性组合与线性系统

设 $u_1, u_2, \ldots, u_n$ 与 $b$ 都是 $R^m$ 中的向量，并令

$$A = \begin{bmatrix} u_1 & u_2 & \cdots & u_n \end{bmatrix}.$$

则 $b$ 能写成 $u_1, \ldots, u_n$ 的线性组合，当且仅当线性系统

$$Ax = b$$

有解。

因此，判断一个向量能否生成，等价于判断相应矩阵方程是否一致。

例题

检查一个向量是否是线性组合

令

$$u_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ -1 \end{bmatrix}, \qquad u_2 = \begin{bmatrix} 3 \\ -5 \\ 4 \end{bmatrix}.$$

再考虑向量

$$w = \begin{bmatrix} 2 \\ -6 \\ -16 \end{bmatrix}.$$

要问 $w$ 是否为 $u_1$ 与 $u_2$ 的线性组合，就是要问是否存在数 $c_1, c_2$ 使得

$$c_1u_1 + c_2u_2 = w.$$

等价地，

$$\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ -2 & -5 \\ -1 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ -6 \\ -16 \end{bmatrix}.$$

先做 $R_2\leftarrow R_2+2R_1$ 和 $R_3\leftarrow R_3+R_1$，再做 $R_3\leftarrow R_3-7R_2$：

$$\left[\begin{array}{cc|c}1&3&2\\-2&-5&-6\\-1&4&-16\end{array}\right] \longrightarrow \left[\begin{array}{cc|c}1&3&2\\0&1&-2\\0&7&-14\end{array}\right] \longrightarrow \left[\begin{array}{cc|c}1&3&2\\0&1&-2\\0&0&0\end{array}\right].$$

最后一行不增加限制。回代得到

$$c_1 = 8, \qquad c_2 = -2.$$

因此

$$w = 8u_1 - 2u_2.$$

所以 $w$ 属于 $u_1$ 与 $u_2$ 的张成。

作为对照，只把目标改成 $v=(2,-6,3)^T$。相同行运算会给出最后一个增广行 $[\,0\ \ 0\mid19\,]$，即矛盾 $0=19$。前两个方程仍迫使 $(c_1,c_2)=(8,-2)$，但这组系数不满足第三个方程。只配对部分坐标并不足够：同一个系数向量必须同时满足所有坐标方程。

同一道理也可以用来证明某向量不属于张成：若对应系统不一致，便表示找不 到系数，自然也就不在张成里。

判断向量是否属于张成

上面的定理给出一个实用流程。给定向量 $u_1,\ldots,u_q$ 和目标向量 $v$，可以这样做。

1. 形成矩阵

$$U = \begin{bmatrix} u_1 & u_2 & \cdots & u_q \end{bmatrix}.$$

2. 对增广矩阵 $[U|v]$ 做行化简。

3. 如果化简后的系统出现矛盾，则 $v$ 不属于 $\operatorname{Span}\{u_1,\ldots,u_q\}$。

4. 如果系统一致，读出其中一个解 $c=(c_1,\ldots,c_q)^T$，并写成

$$v = c_1u_1 + c_2u_2 + \cdots + c_qu_q.$$

矩阵向量乘积

$$Uc$$

正是

$$c_1u_1+c_2u_2+\cdots+c_qu_q.$$

因此 $Uc=v$ 有解，当且仅当 $v$ 可以写成 $U$ 各列的线性组合。行化简可以判断这样的系数向量 $c$ 是否存在。

这里 $U$ 的大小为 $m\times q$，$c\in\mathbb R^q$，而 $v\in\mathbb R^m$。矩阵的一列代表一个可用的生成向量，一行代表一个坐标方程。因此自由变量是某个系数的选择，并不是目标向量新增的坐标。给自由变量赋值以前，必须先检查一致性。若系统一致，把所有自由变量取成零可得到一种表示；保留参数则能描述所有表示。

例题

用不一致证明不属于张成

令

$$u_1=\begin{bmatrix}1\\2\\1\end{bmatrix}, \qquad u_2=\begin{bmatrix}3\\6\\3\end{bmatrix}, \qquad v=\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}.$$

$Uc=v$ 的增广矩阵是

$$\left[ \begin{array}{cc|c} 1 & 3 & 1\\ 2 & 6 & 0\\ 1 & 3 & 1 \end{array} \right].$$

在系数部分，第二行是第一行的两倍；但在增广部分，右端常数并不符合这个倍数 关系。因此行化简会产生矛盾。所以 $Uc=v$ 不一致，并且

$$v\notin \operatorname{Span}\{u_1,u_2\}.$$

行运算 $R_2\leftarrow R_2-2R_1$ 给出 $[\,0\ \ 0\mid-2\,]$，即第二个方程变成 $0=-2$。

一个或两个生成向量：几何情形

下方图解比较一个非零向量与两个独立向量分别生成的集合。属于张成，表示至少有一组系数能到达目标。零生成向量只能给出 $\{0\}$，因为零向量的任何标量倍数仍为零。

$R^3$ 里的标准几何例子

例题

张成在 $R^3$ 里看起来像什么

令

$$e_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \qquad e_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \qquad e_3 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}.$$

则 $\operatorname{Span}\{e_1, e_2\}$ 中的每个向量都可写成

$$\alpha e_1 + \beta e_2 = \begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \\ 0 \end{bmatrix}.$$

因此

$$\operatorname{Span}\{e_1, e_2\}$$

恰好就是 $R^3$ 里的 $x_1x_2$ 平面。

若再把 $e_3$ 加入，则 $R^3$ 中任意向量都可写成

$$\alpha_1 e_1 + \alpha_2 e_2 + \alpha_3 e_3,$$

故

$$\operatorname{Span}\{e_1, e_2, e_3\} = R^3.$$

为什么张成一定是子空间

张成并不是某个随意的子集合，它其实是由该组向量生成出来的最自然向量空间对象。

定理

任何向量组的张成都必定是子空间

若 $u_1, \ldots, u_n$ 是向量空间 $V$ 里的向量，则

$$\operatorname{Span}\{u_1, \ldots, u_n\}$$

是 $V$ 的一个子空间。

而且，它是包含所有生成向量的最小子空间：若 $W\subseteq V$ 是子空间，且每个 $u_i\in W$，则 $\operatorname{Span}\{u_1,\ldots,u_n\}\subseteq W$。

证明

为什么张成是子空间

张成非空，因为它包含零向量：

$$0 = 0u_1 + \cdots + 0u_n.$$

现在取两个在张成中的向量 $v$ 与 $w$。则存在数 $\alpha_i$ 与 $\beta_i$ 使得

$$v = \alpha_1u_1 + \cdots + \alpha_nu_n, \qquad w = \beta_1u_1 + \cdots + \beta_nu_n.$$

那么

$$v + w = (\alpha_1 + \beta_1)u_1 + \cdots + (\alpha_n + \beta_n)u_n,$$

仍然是由同一组向量组成的线性组合，所以张成对加法封闭。

若 $c \in R$，则

$$cv = (c\alpha_1)u_1 + \cdots + (c\alpha_n)u_n,$$

这仍然是同一组向量的线性组合，所以张成也对数乘封闭。

因此，张成是 $V$ 的子空间。

再证明最小性。把某个生成向量的系数取成一，其余系数取成零，便知每个 $u_i$ 都属于张成。现在任取包含这些生成向量的子空间 $W$。数乘封闭性保证每个 $\alpha_i u_i$ 属于 $W$，反复应用加法封闭性，便知它们的有限和也属于 $W$。因此张成的每个向量都在 $W$ 内，所需的包含关系成立。这里用到了有限性，并没有假设子空间对无穷和封闭。

“最小”指集合的包含关系，不是生成列表的长度。任何包含生成向量的子空间，都不能排除由它们的线性组合必然得到的输出。例如，虽然较大的空间 $\mathbb R^3$ 也包含 $e_1,e_2$，但包含它们的最小子空间是 $x_1x_2$ 平面。这还提供了一种证明方法：要证明某个张成包含于已知子空间，只需逐个检查生成向量，不必重新处理带有许多未知系数的一般向量。

同一个向量可以有不同的系数表示

例题

冗余生成向量与自由系数

考虑一组新的生成向量和目标：

$$u_1=\begin{bmatrix}1\\2\\1\end{bmatrix},\quad u_2=\begin{bmatrix}-4\\-1\\2\end{bmatrix},\quad u_3=\begin{bmatrix}-3\\1\\3\end{bmatrix},\quad v=\begin{bmatrix}-7\\7\\11\end{bmatrix}.$$

令 $U=[\,u_1\ u_2\ u_3\,]$。先做 $R_2\leftarrow R_2-2R_1$ 和 $R_3\leftarrow R_3-R_1$，再把第二行除以七，从第三行减去第二行的六倍，并向第一行加上第二行的四倍：

$$\left[\begin{array}{ccc|c}1&-4&-3&-7\\2&-1&1&7\\1&2&3&11\end{array}\right] \longrightarrow \left[\begin{array}{ccc|c}1&-4&-3&-7\\0&7&7&21\\0&6&6&18\end{array}\right] \longrightarrow \left[\begin{array}{ccc|c}1&0&1&5\\0&1&1&3\\0&0&0&0\end{array}\right].$$

系统一致。化简后的方程为 $c_1+c_3=5$ 和 $c_2+c_3=3$，所以全部系数向量可写成

$$c_1=5-t,\qquad c_2=3-t,\qquad c_3=t,\qquad t\in\mathbb R.$$

特别地，取 $t=0$ 和 $t=2$ 得到

$$v=5u_1+3u_2=3u_1+u_2+2u_3.$$

两种表达式都等于 $(-7,7,11)^T$。我们得到的不是两个目标向量，而是构造同一个指定目标的两种方法。每个实数 $t$ 都可使用，因为所得系数满足整个化简后的系统。

概念视角代数

系数向量与输出向量

表达式 $Uc$ 的输入为 $c\in\mathbb R^q$，输出则属于 $\mathbb R^m$。张成问的是哪些输出至少出现一次，并不要求每个输出只有一个输入。本例中 $u_3=u_1+u_2$，所以把 $c_3$ 增加 $t$，同时把 $c_1,c_2$ 各减少 $t$，输出便保持不变。

更准确地说，若 $Uc_0=v$，则另一个系数向量 $c$ 产生同一目标，当且仅当 $U(c-c_0)=0$。反过来，每个满足 $Ud=0$ 的 $d$ 都给出另一种表示 $U(c_0+d)=v$。这直接来自分配律，也解释了自由参数的意义：变化的是表示方法，目标本身固定。本例的 $d=(-t,-t,t)^T$ 正好记录生成向量之间的抵消。

第三个生成向量对所有目标都是冗余的，而不只对刚才算出的目标如此。事实上，

$$a_1u_1+a_2u_2+a_3u_3=(a_1+a_3)u_1+(a_2+a_3)u_2.$$

所以任意三个生成向量的组合，都可以改写为前两个的组合。反过来，前两个的组合只需补上第三个系数零，就成为三个的组合。因此删去 $u_3$ 后张成不变。这是 4.2 集合语言与解集 中生成向量比较方法的一个具体应用。

可见，加入一个已经属于原张成的向量，会改变可用的表示方法，却不会扩大输出集合。若加入的向量在原张成之外，张成便严格扩大：新系数取零时保留所有旧组合，而新向量本身又是一个额外输出。这两种情况都不能只靠数一数列表里有多少个向量来判断。

预测系数能到达哪些位置

先预测两个生成向量会张成直线还是平面，再逐次改变一个系数。若生成向量相依，找出两组到达同一目标的系数；若它们独立，解释为什么不可能出现这种重复。

常见错误

常见错误

张成不是‘正倍数集合’

线性组合里的系数可以是任何实数，所以负数与 $0$ 都同样合法。若只允许正系数， 那便不是本节所说的张成。

常见错误

要证明属于张成，必须证明合适的系数存在

只说一个向量“看起来差不多”并不够。必须证明合适的系数存在：可以明确给出 系数，也可以把关系转成线性系统，证明它是一致的。

快速检查

思考检查

任何有限向量列表的张成都一定包含零向量吗？

直接回到线性组合的定义回答。

解答 · 答案

是。把所有系数都取成 $0$，便得到零向量，所以张成一定包含 $0$。

思考检查

为什么 $\operatorname{Span}\{e_1, e_2\}$ 在 $R^3$ 里会包含 $(2, -1, 0)$？

请把该向量写成 $e_1$ 与 $e_2$ 的线性组合。

解答 · 答案

因为

$$\begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix} = 2e_1 - e_2.$$

所以它是 $e_1$ 与 $e_2$ 的线性组合，自然属于它们的张成。

练习

思考检查

为什么生成列表中的每一个向量 $u_i$ 都一定属于 $\operatorname{Span}\{u_1, \ldots, u_n\}$？

请用系数直接说明。

解答 · 引导解答

要孤立 $u_i$，只需令 $u_i$ 的系数为 $1$，其余向量的系数全为 $0$。于是

$$u_i = 0u_1 + \cdots + 0u_{i-1} + 1u_i + 0u_{i+1} + \cdots + 0u_n,$$

因此 $u_i$ 本身就是那一列向量的一个线性组合，所以一定属于其张成。

思考检查

为什么定理 $b \in \operatorname{Span}\{u_1, \ldots, u_n\}$ 当且仅当 $Ax = b$ 可解，在计算上如此重要？

请用它带来的计算方法回答。

解答 · 引导解答

它把一个“能否生成”的问题，直接化成一个线性系统的一致性问题。于是你不必靠 猜测系数，而是把 $u_1, \ldots, u_n$ 放成矩阵的列，对增广系统 $Ax = b$ 做 行化简。一致与否，便准确告诉你 $b$ 是否在该张成里。

思考检查

在冗余生成向量的例子中，只用第二、第三个生成向量表示目标。

选择参数，使第一个系数为零。

解答 · 引导解答

由 $c_1=5-t$，取 $t=5$。于是 $(c_1,c_2,c_3)=(0,-2,5)$，且 $v=-2u_2+5u_3=(-7,7,11)^T$。对于这个目标可以省略第一个生成向量；前面的关系 $u_1=u_3-u_2$ 还说明，这一对向量生成的整个张成也保持不变。

思考检查

某子空间包含两个向量。它必定包含这两个向量的所有线性组合吗？它必定等于它们的张成吗？

区分包含关系与集合相等。

解答 · 引导解答

由数乘与加法封闭性，它必定包含这两个向量的张成，但未必等于该张成。例如 $\mathbb R^3$ 包含 $e_1,e_2$ 及其所有组合，却还包含第三个坐标为一的 $e_3$，而 $e_3$ 不在它们的张成内。要得到相等，还需证明该子空间反过来包含于张成。

相关笔记

先读 6.2 子空间 可回顾本节用到 的子空间判据；接着再读 6.4 线性相依与线性独立， 看张成如何与“生成列表有没有冗余”这个问题连在一起。