特征值、特征向量与特征空间

行列式会告诉你一个方阵是否可逆。特征值问的是另一个问题：哪些非零向量 在矩阵作用之下仍然保持它所张成的直线？若 $Av=\lambda v$，则直线 $\operatorname{span}\{v\}$ 会被映入自身。当 $\lambda>0$ 时，直线上的方向保持；当 $\lambda<0$ 时，方向反转；当 $\lambda=0$ 时，非零向量被送到零向量，而零向量没有方向。三种情况都 可以用“直线映入自身”来统一描述。

一般矩阵不必保持每一条直线。标量矩阵会把每一条直线映入自身，包括零 标量的情形：$0I$ 会把所有向量都映到零向量。固定一个标量 $\lambda$ 时， 非零特征向量加上零向量才形成对应的特征空间；不同特征值的特征向量合 在一起，未必构成子空间。特征向量很有用，因为矩阵对它的作用完全由一 个标量说明。这个标量记录拉长、缩短、反向或压到零的程度。

寻找矩阵作用最简单的方向

当你解 $Ax=b$ 时，你关心的是整个系统。当你研究特征值时，你关心的是 满足下式的特殊向量 $v$：

$$Av=\lambda v.$$

一旦找出这些向量，之后便能更容易处理矩阵的幂、理解对角化，并描述哪 些方向在变换下是不变的。实际计算时，我们会把它改写成齐次系统，再使用 零空间、秩和行列式的工具。

先看 $A=\operatorname{diag}(2,3)$。水平向量 $e_1$ 变成 $2e_1$，竖直向量 $e_2$ 变成 $3e_2$，各自仍在原来的直线上；但 $(1,1)^T$ 变成 $(2,3)^T$， 已经不在同一条过原点的直线上。因此，寻找特征向量，就是寻找矩阵只用一个 缩放因子便能描述其作用的特殊方向。

定义

特征值与特征向量

设 $A$ 是一个实 $n\times n$ 方阵，其中 $n\ge1$。设 $\lambda\in\mathbb R$， 而 $v\in\mathbb R^n$ 是非零列向量。

若

$$Av=\lambda v,$$

便称 $v$ 是 $A$ 对应于 特征值 $\lambda$ 的 特征向量。

这里必须要求 $v$ 非零。因为零向量对每个标量都满足 $A0=\lambda0$， 若把它允许进来，每个标量都会看起来像特征值。下面定义的特征空间会包含 零向量，但“特征向量”一词始终只指非零向量。

重点在于，矩阵作用与标量乘法在这个向量上完全一致。向量的直线被保留， 但长度、方向，甚至向量本身是否被压到零，都由 $\lambda$ 决定。

从不变直线到齐次方程组

方程 $Av=\lambda v$ 等价于 $(A-\lambda I)v=0$。固定一个特征值 $\lambda$ 后，非零解是特征向量；把零向量也包括进来，就得到特征空间。

由定义立刻得到的结论

定理

同一个特征向量只会对应一个特征值

设 $A$ 是方阵，而 $v$ 是非零向量。若

$$Av=\lambda v \qquad\text{且}\qquad Av=\mu v,$$

则 $\lambda=\mu$。

把两式相减得到

$$(\lambda-\mu)v=0.$$

选择一个非零坐标 $v_r\ne0$。上式的第 $r$ 个坐标为 $(\lambda-\mu)v_r=0$。由于 $v_r$ 是非零实数，可以约去它，得到 $\lambda-\mu=0$，所以 $\lambda=\mu$。非零条件正是这一步约去的依据。

定理

特征向量的非零倍数仍是特征向量

若 $v$ 是 $A$ 对应于特征值 $\lambda$ 的特征向量，则每个非零标量倍 $cv$ 也是 $A$ 的特征向量，而且对应同一个特征值 $\lambda$。

事实上，若 $c\ne0$，则

$$A(cv)=c(Av)=c(\lambda v)=\lambda(cv)$$

而 $cv\ne0$，所以它满足定义。经过一个特征向量的直线上所有非零点都 是特征向量，而不是只有一个孤立的向量。

定理

同一特征值下的线性组合

设 $u_1,\dots,u_k$ 都是 $A$ 的特征向量，而且都对应同一个特征值 $\lambda$。则每个非零线性组合

$$\alpha_1u_1+\cdots+\alpha_ku_k$$

仍然是 $A$ 对应于 $\lambda$ 的特征向量。

令 $w=\alpha_1u_1+\cdots+\alpha_ku_k$。利用线性性，

$$Aw=\sum_{j=1}^k\alpha_jAu_j =\sum_{j=1}^k\alpha_j\lambda u_j =\lambda w$$

若 $w\ne0$，它就是特征向量；若各个非零系数的分量恰好抵消而 $w=0$， 它只属于稍后定义的特征空间，并不是特征向量。因此定理必须写“非零线 性组合”，不能只看系数是否全部为零。

定义

特征空间

设 $A$ 是 $n\times n$ 矩阵，而 $\lambda$ 是一个标量。$A$ 对应于 $\lambda$ 的 特征空间 定义为

$$E_A(\lambda)=N(A-\lambda I_n).$$

当 $\lambda$ 是特征值时，这个空间包含所有对应的特征向量，以及零向量； 即使 $\lambda$ 不是特征值，同一个零空间记号仍给出 $E_A(\lambda)=\{0\}$。

第一批例子

例题

一个 2×2 矩阵有两个不同特征值

令

$$A= \begin{bmatrix} 13&30\\ -6&-14 \end{bmatrix}.$$

先看向量

$$u_1= \begin{bmatrix} 5\\ -2 \end{bmatrix}.$$

计算得

$$Au_1= \begin{bmatrix} 13&30\\ -6&-14 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5\\ -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5\\ -2 \end{bmatrix} =1\cdot u_1.$$

所以 $u_1$ 是特征向量，而对应特征值为 $1$。

再看

$$u_2= \begin{bmatrix} 2\\ -1 \end{bmatrix}.$$

则

$$Au_2= \begin{bmatrix} -4\\ 2 \end{bmatrix} =-2 \begin{bmatrix} 2\\ -1 \end{bmatrix} =-2u_2.$$

所以 $u_2$ 对应的特征值是 $-2$。

因此不能把同一特征值的线性组合定理用于 $u_1+u_2$，因为这两个向量的 特征值不同。事实上，

$$u_1+u_2=\begin{bmatrix}7\\-3\end{bmatrix},\qquad A(u_1+u_2)=\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}.$$

如果这个和是特征向量，第二个坐标会迫使 $\lambda=0$，但第一个坐标又会 要求 $1=0\cdot7$，矛盾。

例题

同一个特征值可以对应多个方向

令

$$B= \begin{bmatrix} 2&1&1\\ 1&2&1\\ 1&1&2 \end{bmatrix}.$$

对 $x=(x_1,x_2,x_3)^T$，令 $s=x_1+x_2+x_3$，则

$$Bx=(s+x_1,\ s+x_2,\ s+x_3)^T.$$

向量

$$u_1= \begin{bmatrix} 1\\1\\1 \end{bmatrix}$$

满足 $Bu_1=4u_1$，所以 $4$ 是其中一个特征值。

再看

$$u_2= \begin{bmatrix} 1\\-1\\0 \end{bmatrix}, \qquad u_3= \begin{bmatrix} 1\\0\\-1 \end{bmatrix}.$$

二者都满足

$$Bu_2=u_2, \qquad Bu_3=u_3.$$

对 $\lambda=1$，三个坐标方程都化为 $s=0$，所以

$$E_B(1)=\{x\in\mathbb R^3:x_1+x_2+x_3=0\} =\operatorname{span}\left\{\begin{bmatrix}1\\-1\\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}1\\0\\-1\end{bmatrix}\right\}.$$

这两个向量线性无关：若 $a(1,-1,0)^T+b(1,0,-1)^T=0$，第二个坐标给出 $a=0$，第三个坐标给出 $b=0$。它们构成这个二维特征空间的一组基。

对 $\lambda=4$，方程 $Bx=4x$ 给出 $s=3x_1=3x_2=3x_3$，所以 $x_1=x_2=x_3$，从而

$$E_B(4)=\operatorname{span}\left\{\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}\right\}.$$

同一个非零向量不能对应两个不同特征值，但同一个特征值可以有一个平面 的特征向量。平面中的零向量属于特征空间，其非零点才是特征向量。

特征值其实是一个零空间问题

把方程 $Av=\lambda v$ 的所有项移到同一边，便变成

$$Av-\lambda v=0.$$

由于 $\lambda v=\lambda I_nv$，这等价于

$$(A-\lambda I_n)v=0.$$

定理

用齐次系统描述特征值

设 $A$ 是 $n\times n$ 矩阵，$\lambda$ 是标量，而 $v\neq0$。

下列两件事等价：

1. $v$ 是 $A$ 对应于特征值 $\lambda$ 的特征向量。
2. $v$ 是齐次系统

$$(A-\lambda I_n)x=0$$

的一个非平凡解。

正向是把 $Av=\lambda v$ 移项；反向则是把齐次系统的非平凡解移项回去， 得到 $Av=\lambda v$。因此特征值问题便被改写成普通的线性系统问题。 向量 $v$ 必须落在 $A-\lambda I_n$ 的零空间内。

因为它本身是一个零空间，所以 $E_A(\lambda)$ 自动是一个子空间。若 $x,y\in E_A(\lambda)$，则对任意标量 $a,b$，

$$(A-\lambda I_n)(ax+by)=a(A-\lambda I_n)x+b(A-\lambda I_n)y=0$$

所以它对线性组合封闭。特征空间的维数大于零，当且仅当 $\lambda$ 是 特征值；否则它的维数为零。

$\dim E_A(\lambda)$ 称为 $\lambda$ 的几何重数，表示这个特征值有多 少个线性无关的特征向量方向。在上面的矩阵 $B$ 中，特征值 $1$ 的几何 重数是 $2$，而特征值 $4$ 的几何重数是 $1$。这个维数要在找出候选标量 之后，通过零空间方程求得。

概念视角结构

固定特征值的空间不是所有特征向量的总集合

固定一个特征值 $\lambda$，方程 $(A-\lambda I_n)x=0$ 的解组成一个零空间。 这个解集本来就包含零向量，并且对加法与数乘封闭；它的非零成员才是特征向量。 不同特征值的特征空间取并集，未必对加法封闭：前面的 $u_1+u_2$ 就不是特征向量。 因此必须区分固定 $\lambda$ 的特征空间与所有特征值的特征向量集合。

特征值的等价刻画

一旦有了零空间版本，前面学过的可逆性词典便可以直接搬过来。

定理

判断 λ 是否为特征值的等价条件

设 $A$ 是 $n\times n$ 矩阵，而 $\lambda$ 是标量。下列叙述等价：

1. $\lambda$ 是 $A$ 的特征值。
2. $(A-\lambda I_n)x=0$ 有非平凡解。
3. $N(A-\lambda I_n)\neq\{0\}$。
4. $A-\lambda I_n$ 不可逆。
5. $\det(A-\lambda I_n)=0$。

这五个条件来自齐次系统和可逆性词典。非平凡解正是非零零空间向量，所 以 (1)、(2)、(3) 等价；方阵有非零零空间，当且仅当它不可逆，于是 (3) 与 (4) 等价；行列式判准再给出 (4) 与 (5) 等价。特别地，特征值 会迫使 $\operatorname{rank}(A-\lambda I_n)\le n-1$。行列式方程用来 找出候选标量，但仍须求零空间，才能找到相应的特征向量。

从方程读出特征空间

找到候选 $\lambda$ 后，先构造 $A-\lambda I_n$，再把它行化简。所得齐次 系统中的自由变量会参数化 $E_A(\lambda)$ 的全部向量。自由变量的个数 就是这个特征空间的维数，也就是可取得的线性无关特征向量方向数。张成 空间中的每个非零向量都是特征向量；零向量之所以保留，是因为子空间必 须包含零。因此，只有特征值清单而没有特征空间是不完整的。若特征值重 复，行列式记录代数重数，而零空间计算记录几何重数；比较二者是下一节 研究对角化时的关键问题。

例题

用行化简找特征值与特征空间

令

$$C= \begin{bmatrix} 3&2\\ 3&-2 \end{bmatrix}.$$

先解

$$\det(C-\lambda I)=0.$$

得到

$$\det \begin{bmatrix} 3-\lambda&2\\ 3&-2-\lambda \end{bmatrix} =(3-\lambda)(-2-\lambda)-6 =\lambda^2-\lambda-12.$$

因此特征值为

$$\lambda=4,\qquad \lambda=-3.$$

对 $\lambda=4$，

$$C-4I= \begin{bmatrix} -1&2\\ 3&-6 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1&-2\\ 0&0 \end{bmatrix}.$$

所以 $x_1=2x_2$，可取一组基为

$$\begin{bmatrix} 2\\1 \end{bmatrix}.$$

对 $\lambda=-3$，

$$C+3I= \begin{bmatrix} 6&2\\ 3&1 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 3&1\\ 0&0 \end{bmatrix}.$$

所以 $3x_1+x_2=0$，可取一组基为

$$\begin{bmatrix} 1\\-3 \end{bmatrix}.$$

因此

$$E_C(4)=\operatorname{span}\left\{ \begin{bmatrix} 2\\1 \end{bmatrix} \right\}, \qquad E_C(-3)=\operatorname{span}\left\{ \begin{bmatrix} 1\\-3 \end{bmatrix} \right\}.$$

行列式计算负责找出两个标量；之后的两次行化简分别解决两个齐次系 统。最后代回可核对 $C(2,1)^T=4(2,1)^T$ 与 $C(1,-3)^T=-3(1,-3)^T$，这一步不能由特征多项式单独替代。

对角矩阵与三角矩阵

若 $D=\operatorname{diag}(d_1,\ldots,d_n)$ 是对角矩阵，则特征向量方程 可按坐标分别读取：

$$(D-\lambda I_n)x=0 \quad\Longleftrightarrow\quad (d_j-\lambda)x_j=0\quad\text{对每个 }j.$$

因此

$$E_D(\lambda)=\operatorname{span}\{e_j:d_j=\lambda\},$$

若没有对角项等于 $\lambda$，这个张成空间就是 $\{0\}$。重复的对角项 会增加特征空间的维数。对零矩阵，每个非零向量都是特征值 $0$ 的特征 向量；对单位矩阵，每个非零向量都是特征值 $1$ 的特征向量。

若 $T$ 是上三角或下三角矩阵，则 $T-\lambda I_n$ 仍是三角矩阵，并且

$$\det(T-\lambda I_n)=\prod_{j=1}^n(t_{jj}-\lambda).$$

所以特征值正好是对角项（按代数重数计算）。但对角项不能单独决定特征 向量。考虑上三角矩阵

$$T=\begin{bmatrix}1&4\\0&2\end{bmatrix}.$$

有 $Te_1=e_1$，所以 $E_T(1)=\operatorname{span}\{e_1\}$。当 $\lambda=2$ 时，$(T-2I)x=0$ 给出 $-x_1+4x_2=0$，于是

$$E_T(2)=\operatorname{span}\left\{\begin{bmatrix}4\\1\end{bmatrix}\right\}.$$

改变右上角的 $4$ 会保留对角项和特征值，却会改变这个特征空间；因此 三角矩阵的对角数据不足以确定全部特征向量。

重要性质

定理

0 是否为特征值，正好等同于可逆与否

对方阵 $A$，下列两件事等价：

1. $0$ 是 $A$ 的特征值。
2. $A$ 不可逆。

等价地，$A$ 可逆当且仅当 $0$ 不是它的特征值。

这其实只是把前面的等价条件代入 $\lambda=0$。

具体来说，若 $0$ 是特征值，则存在非零 $v$ 使 $Av=0$，所以 $A$ 的零空 间非平凡，$A$ 不可逆。反过来，若 $A$ 不可逆，方阵的可逆性词典保证 $N(A)$ 含有非零向量；这个向量满足 $Av=0\cdot v$，所以 $0$ 是特征值。 两个方向都使用同一个齐次系统判准。

定理

简单矩阵运算下的特征值变化

若 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，则：

1. $k\lambda$ 是 $kA$ 的特征值；
2. 对每个正整数 $m$，$\lambda^m$ 是 $A^m$ 的特征值；
3. $\lambda$ 也是 $A^T$ 的特征值；
4. 若 $A$ 可逆，则 $\lambda^{-1}$ 是 $A^{-1}$ 的特征值。

若 $Av=\lambda v$，则

$$(kA)v=k\lambda v,$$

这证明了 (1)，也包括 $k=0$：零矩阵的每个非零向量都是特征值 $0$ 的特 征向量。对于正整数 $m$，用归纳法得到 $A^mv=\lambda^mv$；归纳步骤 把 $A$ 乘到等式两边，并使用 $Av=\lambda v$。$m=0$ 是独立情形： $A^0=I$，同一个非零向量对单位矩阵的特征值是 $1$，这里不把它写成 $0^0$。

对于 (4)，若 $A$ 可逆，则 $\lambda\ne0$。在 $Av=\lambda v$ 两边乘 $A^{-1}$，得到 $v=\lambda A^{-1}v$，再除以 $\lambda$ 即得 $A^{-1}v=\lambda^{-1}v$。对于 (3)，使用行列式恒等式

$$\det(A^T-\lambda I_n)=\det((A-\lambda I_n)^T) =\det(A-\lambda I_n)=0.$$

这通过特征值判准证明了转置结论；不能把 $Av=\lambda v$ 直接转置为 $A^Tv=\lambda v$。对矩阵 $T=\begin{bmatrix}1&4\\0&2\end{bmatrix}$， $Te_1=e_1$，但

$$T^Te_1=\begin{bmatrix}1&0\\4&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}1\\4\end{bmatrix}\ne e_1.$$

可选复数扩展：数域很重要

上面的基本定义是在 $\mathbb R$ 上进行的。考虑实矩阵

$$R=\begin{bmatrix}1&-1\\1&1\end{bmatrix}$$

若 $\lambda$ 是实数，则

$$\det(R-\lambda I_2)=(1-\lambda)^2+1=(\lambda-1)^2+1>0.$$

因此 $R$ 没有实特征值，也没有实特征向量。若把标量域明确改为 $\mathbb C$，根变成 $1+i$ 与 $1-i$。取

$$u_+=\begin{bmatrix}i\\1\end{bmatrix},\qquad u_-=\begin{bmatrix}-i\\1\end{bmatrix},$$

直接计算可得

$$Ru_+=\begin{bmatrix}i-1\\i+1\end{bmatrix}=(1+i)u_+, \qquad Ru_- =\begin{bmatrix}-1-i\\1-i\end{bmatrix}=(1-i)u_-.$$

解 $(R-(1+i)I)x=0$ 的第一行得到 $x=iy$；对 $1-i$ 则得到 $x=-iy$。 所以在 $\mathbb C$ 上，两个特征空间分别是 $\operatorname{span}_{\mathbb C}\{u_+\}$ 与 $\operatorname{span}_{\mathbb C}\{u_-\}$。这个例子标出数域的边界：非实 根不是实特征值，但在明确更换标量域后便成为有效的特征值。

常见错误

常见错误

零向量永远不是特征向量

学生常会留意到 $A0=\lambda0$ 对所有标量都成立，于是误以为零向量是所 有特征值的特征向量。正因如此，定义才必须排除零向量。特征向量代表的 是某个真正的方向，而零向量没有方向可言。

快速检查

思考检查

若 $v$ 是 $A$ 对应于特征值 $\lambda$ 的特征向量，则 $3v$ 也是吗？

假设 $v\neq0$。

解答 · 答案

是。因为 $A(3v)=3Av=3\lambda v=\lambda(3v)$，所以 $3v$ 仍是对应于 $\lambda$ 的特征向量。

思考检查

为什么 $0$ 是特征值会迫使 $A$ 不可逆？

利用系统 $(A-0I)x=0$ 去理解。

解答 · 答案

若 $0$ 是特征值，则 $Ax=0$ 有非平凡解。这表示 $A$ 的零空间非平 凡，因此 $A$ 不可逆。

思考检查

用零空间语言写出 $E_A(\lambda)$。

直接使用刚才的定义。

解答 · 答案

$$E_A(\lambda)=N(A-\lambda I_n).$$

它就是 $A-\lambda I_n$ 的零空间。

练习

思考检查

证明 $\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}$ 是 $\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}$ 的特征向量，并找出其特征值。

先做矩阵乘法，再与原向量比较。

解答 · 引导解答

$$\begin{bmatrix} 2&1\\ 1&2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1\\1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3\\3 \end{bmatrix} =3 \begin{bmatrix} 1\\1 \end{bmatrix}.$$

所以这个向量是特征向量，而对应特征值是 $3$。

思考检查

求 $A=\begin{bmatrix}1&0\\0&4\end{bmatrix}$ 对应于特征值 $4$ 的特征空间。

解 $(A-4I)x=0$。

解答 · 引导解答

$$A-4I= \begin{bmatrix} -3&0\\ 0&0 \end{bmatrix}.$$

因此 $x_1=0$，$x_2$ 自由，所以

$$E_A(4)=\operatorname{span}\left\{ \begin{bmatrix} 0\\1 \end{bmatrix} \right\}.$$

思考检查

若 $A$ 可逆，则 $0$ 会否成为 $A^T$ 的特征值？

把转置性质与可逆性判准合起来想。

解答 · 引导解答

不会。若 $0$ 是 $A^T$ 的特征值，则 $A^T$ 不可逆。但 $A$ 可逆当且仅 当 $A^T$ 可逆，所以这是不可能的。

相关笔记

请把 7.2 行变换、乘积与可逆性 放在旁边，因为测试 $\det(A-\lambda I)=0$ 直接依赖行列式与可逆性的理 解。

接着可读 8.2 对角化与相似， 看看一整组特征向量如何改变矩阵的整体形状。

本节的子空间观点也依赖 6.5 基底与维数。