二重积分与累次积分

固定整数 $n\ge1$，在 $\mathbb R^n$ 上使用欧几里得范数。集合若包含在某个有限半径的球内，就称为有界；若补集是开集，就称为闭集；若它的每个由 $\mathbb R^n$ 中开集组成的覆盖都有有限子覆盖，就称为紧集。我们使用实数完备性，包括闭区间套性质。

有限维欧几里得空间的 Heine–Borel 定理

定理。 集合 $K\subseteq\mathbb R^n$ 紧致，当且仅当它闭且有界。空集具有这三种性质。

紧致推出有界。 开球 $B(0,m)$（整数 $m\ge1$）覆盖 $K$。取有限子覆盖后，$K$ 包含在其中最大的球内。

紧致推出闭。 设 $K\ne\varnothing$ 且 $y\notin K$。开球 $B(x,\|x-y\|/2)$（$x\in K$）覆盖 $K$。取中心为 $x_1,\ldots,x_r$ 的有限子覆盖，令 $\delta=\min_i\|x_i-y\|/2>0$。若 $z$ 在以 $x_i$ 为中心的所选球内，三角不等式给出 $\|z-y\|>\|x_i-y\|/2\ge\delta$。所以 $B(y,\delta)$ 不与 $K$ 相交，补集是开集。

闭且有界推出紧致。 设非空的 $K$ 闭且有界，把它包含在闭立方体 $Q_0=[-M,M]^n$ 内，其中 $M>0$。假设 $K$ 的某个开覆盖没有有限子覆盖。把每个坐标区间分成两个闭半区间，所得 $2^n$ 个闭子立方体覆盖 $Q_0$。至少一个子立方体与 $K$ 的交集不能由给定覆盖族有限覆盖；否则把有限多个有限子覆盖合并，就能覆盖 $K$。选取这样的子立方体并重复，得到闭立方体套 $Q_j$，其边长为 $2M/2^j$，且 $K\cap Q_j$ 不能被有限覆盖，因而非空。

对每个坐标使用闭区间套性质，得到公共坐标值；合起来得到 $p\in\bigcap_jQ_j$。$Q_j$ 中任意两点的距离不超过 $2M\sqrt n/2^j$，所以交集中只有 $p$。选取 $x_j\in K\cap Q_j$，则 $\|x_j-p\|\le2M\sqrt n/2^j\to0$。闭集包含这种极限：若 $p$ 在开补集中，$p$ 周围某个开球就会使最终的 $x_j$ 落在 $K$ 外，矛盾。因此 $p\in K$。

覆盖中有一个成员 $O$ 含 $p$，由开放性，存在 $\varepsilon>0$ 使 $B(p,\varepsilon)\subseteq O$。当 $j$ 足够大时，$Q_j$ 的每点到 $p$ 的距离都小于 $\varepsilon$，于是单个 $O$ 就覆盖 $K\cap Q_j$，与 $Q_j$ 的选取矛盾。因此每个开覆盖都有有限子覆盖。这里 $2^n$ 是有限数；若改成无限多个子块，这个论证就不再成立。

连续像与极值

定理。 若 $K\subseteq\mathbb R^n$ 紧致，且 $F:K\to\mathbb R^m$ 相对于 $K$ 连续，则 $F(K)$ 紧致。特别地，非空紧集 $K$ 上的连续函数 $f:K\to\mathbb R$ 有界，并达到最大值和最小值。

证明。 $F(K)$ 的开覆盖 $(O_i)$ 的原像是相对开集 $F^{-1}(O_i)=K\cap U_i$，其中 $U_i$ 在 $\mathbb R^n$ 中开。这些 $U_i$ 覆盖 $K$，所以有限多个足够。对应的 $O_i$ 覆盖 $F(K)$，证明了像的紧致性。对标量函数 $f$，由已证明定理的一维情形，其像非空、闭且有界。令 $a=\sup f(K)$。对每个 $j\ge1$，由上确界定义，可取 $y_j\in f(K)$ 使 $a-1/j<y_j\le a$。于是 $y_j\to a$，闭性使 $a$ 属于像，所以最大值可达。对 $-f$ 使用同一论证即得最小值。该结论证明存在性，而不提供极大点的计算公式。

紧致性推出有界性与一致连续性

设 $K\subset\mathbb R^n$、$n\ge1$ 为紧集，$u:K\to\mathbb R$ 相对于 $K$ 连续。紧致采用开覆盖有有限子覆盖的定义；空集情形无碍。对每个 $p\in K$，连续性给出 $r_p>0$，使 $q\in K\cap B(p,r_p)$ 时 $|u(q)-u(p)|<1$。从这些球中选出有限子覆盖，则有限多个数 $|u(p)|+1$ 中最大者就是 $|u|$ 的上界。

给定 $\varepsilon>0$，改选 $r_p>0$，使 $q\in K\cap B(p,r_p)$ 时 $|u(q)-u(p)|<\varepsilon/2$。有限多个球 $B(p_i,r_{p_i}/2)$ 覆盖 $K$。令 $\delta=\min_i r_{p_i}/2>0$。若 $x,y\in K$ 且 $\|x-y\|<\delta$，选取 $\|x-p_i\|<r_{p_i}/2$ 的一个中心，则 $x,y$ 都在 $B(p_i,r_{p_i})$ 内，故 $|u(x)-u(y)|<\varepsilon$。这在相对拓扑下证明了一致连续性，没有将函数延拓到 $K$ 外。有限维欧几里得空间的闭有界集紧致，由另行实际嵌入的 Heine–Borel 证明保证。本论证不使用积分，也不假设 Fubini 定理。

乘积网格的 Darboux 判据与任意矩形取样

设 $R=[a,b]\times[c,d]$，其中端点有限、$a<b$、$c<d$，且 $f:R\to\mathbb R$ 满足 $|f|\le M<\infty$。乘积网格由 $a=x_0<\cdots<x_r=b$、$c=y_0<\cdots<y_s=d$ 两个分割组成，小格 $C_{ij}$ 的面积为 $A_{ij}=\Delta x_i\Delta y_j$。定义 $m_{ij}=\inf_{C_{ij}}f$、$M_{ij}=\sup_{C_{ij}}f$，以及

每个取样和均介于两者之间。细分后下和不减、上和不增，因为各子格面积之和等于母格面积。合并两个网格的全部坐标切点，即得共同细分。因此任意两网格均有 $L(f,P)\le U(f,Q)$。实数完备性给出有限的 $I_-=\sup_P L(f,P)\le I_+=\inf_P U(f,P)$。两者等于同一数 $I$，当且仅当对每个 $\varepsilon>0$ 存在网格使 $U-L<\varepsilon$。一方面该差控制 $I_+-I_-$；另一方面，分别取距 $I_+$、$I_-$ 小于 $\varepsilon/2$ 的上和、下和，再共同细分即可。

下面补上与原定义中任意小矩形的联系。矩形铺分是有限多个闭、坐标轴平行、正面积矩形覆盖 $R$，其内部互不相交，边可以重合；网格尺度为最大小格直径。下和及上和仍按同一定义计算。将所有小矩形边的坐标加入切点便得乘积网格细分，故该铺分的下和不超过 $I$，上和不小于 $I$。

固定一个满足差小于 $\varepsilon/2$ 的乘积网格 $P$。设其内部竖线、横线数分别为 $v,h$。对尺度小于 $\delta$ 的任意铺分 $Q$，把接触这些线的小格称为坏格。每个坏格都包含在某条线周围宽度为 $2\delta$ 的带中，所以坏格面积之和至多为

这是有限矩形面积的初等估计：将矩形和条带的全部边共同细分后，只需对互不重叠小格的面积相加，不使用积分。其他每格都包含在 $P$ 的某一母格中，其振幅乘面积由母格振幅乘该格面积控制。对所有好格求和，至多得到 $U(f,P)-L(f,P)$；坏格振幅至多 $2M$。因此

取 $\delta$ 使最后一项小于 $\varepsilon/2$；若其系数为零，该项不限制 $\delta$。每种取样所得和与 $I$ 的差都小于 $\varepsilon$。故收敛对所有充分细的矩形铺分成立，并非仅对固定网格的细分成立。

反过来，若所有充分细的矩形铺分和所有取样均趋于同一个 $I$，这当然适用于乘积网格。在一个固定细网格的每格中，按上确界定义选择函数值距该格上确界小于 $\eta/|R|$ 的取样点，所得和与 $U$ 的差不超过 $\eta$；对下确界同理。先使用对所有取样的一致控制，再令 $\eta\downarrow0$，便使 $U-L$ 任意小。因此有界函数的 Darboux 判据与原先按任意小格直径定义的取样极限等价。

一维版本以区间和长度作同样构造。具体地，将全部切点共同细分；接触某个固定的 $q$ 个内切点之一的细区间，总长度至多 $2q\delta$。同样的 $2M$ 振幅估计给出任意细区间取样的收敛，接近上、下确界的取样给出逆命题。以下使用这一正常一维黎曼积分。取样和相加后取极限证明线性；逐点比较后取极限证明单调性；在固定切点细分证明区间可加性。具体地，若函数在整个区间可积，在切点处细分一个差很小的分割，每个子区间的差不超过总差，故两个限制均可积。反之，将两个限制的差很小的分割合并，下和及上和分别相加，故整个积分等于两个极限之和。常函数的积分等于函数值乘长度。若一个有界改变量只支撑在有限多个点上，用总长度任意小的有限多个区间围住这些点，其绝对值的上和不超过上界乘总长度，故该改变量积分为零。这也证明改变端点值不影响正常积分。

若 $R$ 某边长度为零，所有面积和及二重积分定义为零，零长度区间的积分也为零。上述正面积论证不在除以零面积后继续使用。

可积函数且每条截面可积时的 Fubini 定理

设 $a<b$、$c<d$，有界 $f:R\to\mathbb R$ 黎曼可积，且对每个 $x\in[a,b]$，截面 $y\mapsto f(x,y)$ 在 $[c,d]$ 正常黎曼可积。令 $F(x)=\int_c^d f(x,y)\,dy$，则 $|F(x)|\le M(d-c)$。我们证明 $F$ 正常黎曼可积，且

对任意乘积网格，用上述 $m_{ij},M_{ij}$，令 $A_i=\sum_jm_{ij}\Delta y_j$、$B_i=\sum_jM_{ij}\Delta y_j$。对每个 $x\in[x_{i-1},x_i]$，一维可加性及比较性质给出 $A_i\le F(x)\le B_i$。在整个闭 $x$-区间上取下、上确界，得到

给定 $\varepsilon>0$，由 $f$ 可积，存在网格使 $U(f,P)-L(f,P)<\varepsilon$。上式使外层的 Darboux 差小于 $\varepsilon$，因而证明外层可积，而非预先假设。两个积分 $\iint_R f$ 与 $\int_a^b F$ 都在 $[L(f,P),U(f,P)]$ 内，故其差的绝对值不超过 $\varepsilon$，于是相等。若改为每条水平截面正常可积，交换坐标名称后的同一论证给出水平公式。只有两组截面积分都存在时，才同时断言两个次序。矩形宽度为零时，只要式中截面积分存在，内层或外层区间长度为零便给出同样等式。

连续矩形及区间的可积性

设 $f$ 相对于闭矩形 $R$ 连续。若 $|R|>0$，紧致性与有限覆盖证明给出有界性及一致连续性。对任意 $\varepsilon>0$，选 $\delta>0$，使距离小于 $\delta$ 的点的函数值之差小于 $\varepsilon/(2|R|)$。小格直径均小于 $\delta$ 的网格满足

Darboux 判据证明可积性，铺分桥接论证进一步保证原定义中任意矩形取样的收敛。紧区间上的同一证明用长度代替面积，零长度区间另行处理。因此连续 $f$ 的每条固定坐标截面均正常可积，已证截面定理给出两个累次积分公式。而且 $F(x)=\int_c^d f(x,y)\,dy$ 连续：在 $x,x_0$ 处的差的绝对值不超过

由一致连续性，该式趋于零。若 $R$ 的某边长度为零，连续截面的一维正常积分仍存在，而有关二重及累次积分均为零。不需变数替换或测度论定理。

连续函数图像有任意小的矩形覆盖

若 $g:[a,b]\to\mathbb R$ 连续且 $a<b$，则对每个 $\tau>0$，其图像都能用总面积小于 $\tau$ 的有限多个开、坐标轴平行矩形覆盖。令 $A=b-a>0$，取正的 $\omega,\eta$，满足 $A(\omega+2\eta)<\tau/2$。一致连续性允许选分割 $a=x_0<\cdots<x_N=b$，使每个子区间的振幅不超过 $\omega$。记该区间上的下、上确界为 $m_i,M_i$。开矩形

覆盖整个图像，包括切点。它们的总面积至多 $(A+2Nr)(\omega+2\eta)$，当 $r>0$ 足够小时小于 $\tau$。有限竖直或水平线段可用薄开矩形作同样覆盖，单点可用小正方形覆盖。对有限个图像及竖直或水平线段，把允许总面积分摊后相加，仍有这一性质。

还需控制接触紧集 $E$ 的小格，而非仅控制 $E$ 中的点。选取总面积小于 $\tau$ 的有限开矩形覆盖。对每个 $p\in E$，在某个覆盖矩形内取球 $B(p,r_p)$。从 $B(p,r_p/2)$ 中选出有限子覆盖。若 $\delta<\min_i r_{p_i}/2$，则每个直径小于 $\delta$ 且接触 $E$ 的小格，都完全包含在某个所选矩形内：选一个交点，再用三角不等式即可。因此内部互不相交的这些小格，其面积之和小于 $\tau$，这是有限矩形面积的可加性。下文使用的零面积性质恰为此性质，不涉及任意不规则边界。

不假设环境延拓的连续第一类区域

设有限端点 $a\le b$，连续函数 $g_1,g_2:[a,b]\to\mathbb R$ 处处满足 $g_1\le g_2$，并令

只假设 $f:D\to\mathbb R$ 相对于 $D$ 连续。因 $g_1,g_2$ 有界，$D$ 有界。$D$ 也闭：其点列的极限仍保有 $x\in[a,b]$，并由连续性保留两个不等式；亦可直接对区间外或严格违反某个不等式的点，取小开球避开 $D$。由此 $D$ 紧致，故 $|f|\le M$，且 $f$ 在 $D$ 上一致连续；不需要它能连续延拓到某个周围矩形。

先设 $a<b$。取 $c<d$，分别严格小于所有 $g_1$ 的值及严格大于所有 $g_2$ 的值。在 $R=[a,b]\times[c,d]$ 上，定义 $h$ 在 $D$ 内等于 $f$，在 $D$ 外等于零。$D$ 的边界位于两个图像及两条竖直边界线段上：若 $a<x<b$ 且 $g_1(x)<y<g_2(x)$，连续性保证该点是内点；闭集 $D$ 外的点有避开 $D$ 的开邻域。上述图像和线段的有限并 $E$ 为紧集，且有刚证明的小覆盖性质。

对细乘积网格，把接触 $E$ 的格称为坏格，其总面积可小于任意预定的 $\tau>0$。每个其他格要么完全在 $D$ 中，要么完全在其外：否则，连接格中内、外两点的线段从闭集 $D$ 首次离开时，必在格中产生一个边界点，矛盾。由一致连续性，可使每个好内格的振幅不超过任意预定的 $\eta>0$；好外格振幅为零，坏格振幅至多 $2M$。同时满足两个尺度要求后，

对目标误差 $\varepsilon>0$，取 $\eta<\varepsilon/(2|R|)$、$\tau<\varepsilon/(4(M+1))$。这证明有界零延拓 $h$ 正常黎曼可积。只比较了 $D$ 内两点的 $f$ 值，没有假定环境上的延拓连续。

对固定 $x$，$f$ 在闭区间 $[g_1(x),g_2(x)]$ 上的限制连续。在这两个端点处分割 $[c,d]$，并忽略有限多个端点值，便知 $h$ 的每条截面正常可积，且

若两个端点相同，$h$ 的该截面只支撑在一个点上，两个积分均为零。现在应用已证有界函数截面定理，得到外层正常积分存在，以及第一类区域公式

同一好格／坏格证明适用于任意包含 $D$ 的正面积、坐标轴平行包围矩形：控制边界的集合 $E$ 不变，$D$ 外的延拓仍为零。$x$ 在 $[a,b]$ 外时，每条竖直截面为零；对每个 $x\in[a,b]$，包括 $x=a,b$，前述正常截面分割论证均适用。因此在该包围矩形上应用已证截面定理，再用一维区间可加性及端点值不变性，便得到同一右侧。故定义不依赖所取包围矩形；这里不假设环境上的连续延拓。只在 $E$ 上改变有界值也不影响二重积分，因为改变量绝对值的上和不超过其上界乘坏格总面积。

事实上内层积分 $G(x)$ 连续。对 $x,x_0$，先在两个积分区间的重叠部分比较；那里 $f(x,y)$、$f(x_0,y)$ 都是在 $D$ 中的已定义值。当 $|x-x_0|$ 小时，一致连续性使差不超过 $\eta$。剩余区间的总长度不超过 $|g_1(x)-g_1(x_0)|+|g_2(x)-g_2(x_0)|$。故

此式趋于零，也涵盖重叠为空及区间退化的情形。若处处 $g_1=g_2$，整个区域是图像，第一类区域公式两边均为零。若 $a=b$，$D$ 是竖直线段，由薄矩形覆盖知二重积分为零，连续性保证唯一截面正常可积，而外层零长度积分为零。交换坐标名称，在连续且有序的水平上下界及同一区域上的相对连续性下，得到水平的第二类区域公式。这不推广到任意 Jordan 区域、不可积截面、无界函数或反常积分。

在矩形上，把二维黎曼和按垂直列分组。每一列的内和近似固定 $x$ 时对 $y$ 的积分，其余和再近似外层积分。闭矩形上的连续性提供控制极限所需的一致性。对简单区域，可把函数乘指示函数后在矩形积分；上下边界以外的切片贡献为零。这解释公式的来由；完整收敛论证由定理保证。