正交集与标准正交基

一旦有了内积，便可以挑出一类几何上特别简洁的向量族。正交性很有用， 因为它能把坐标方向分开：对一个向量取内积时，所有与它正交的方向都会 被消去。在正交基中，坐标系数因此可以直接由内积读出，不必每次重新解 一个线性系统。

正交集定义中的非零条件不可省略。等式 $\langle0,v\rangle=0$ 虽然成立， 但它不能使零向量成为可用的方向。零向量的范数是零，$\|0\|^2$ 不能用作系数公式所要求的非零分母，也不能属于 线性无关的向量族。

正交

定义

正交向量

若向量 $v,w\in\mathbb{R}^m$ 满足

$$\langle v,w\rangle=0,$$

则称 $v$ 与 $w$ 正交，记作

$$v\perp w.$$

这个定义是代数性的，所以适用于任意维度。在 $\mathbb{R}^2$ 或 $\mathbb{R}^3$ 中，它与非零向量垂直的熟悉图像一致。到了更高维度，图像 可能不再有帮助，但内积仍然可以检验同一个关系。

例题

用内积检查正交

令

$$v=\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix},\qquad w=\begin{bmatrix}-1\\-1\\1\end{bmatrix}.$$

则

$$\langle v,w\rangle=1(-1)+2(-1)+3(1)=0.$$

两个向量都非零，所以它们正交。它们的范数平方分别是 $\|v\|^2=14$ 与 $\|w\|^2=3$；内积为零说明的是方向关系，不是某个向量长度为零。

正交集

定义

正交集

有限集合 $S=\{v_1,\dots,v_k\}$ 若满足：

1. 集内每个向量都非零；
2. 当 $i\neq j$ 时，$v_i\perp v_j$；

则称 $S$ 为 $\mathbb{R}^m$ 中的一个 正交集。

这两个条件各有作用。两两内积为零分开不同方向，而非零条件防止零向量 冒充一个方向。若允许零向量，集合 $\{0,e_1\}$ 会满足所有两两内积为零的 等式，却明显线性相关。把零向量加入正交族并不会破坏这些等式，正因为如此 才必须单独写出非零条件。反过来，一个不含零向量的族也不一定正交，例如 $\langle e_1,e_1+e_2\rangle=1$。

定理

非零正交集自动线性无关

若 $S=\{v_1,\dots,v_k\}$ 是 $\mathbb{R}^m$ 中的正交子集，则 $S$ 线性无关。 特别地，$k\le m$。

证明

为什么正交集必线性无关

假设有线性关系

$$\alpha_1v_1+\cdots+\alpha_kv_k=0.$$

固定一个指标 $i$，对等式两边取与 $v_i$ 的内积。由内积的线性性，

$$0=\left\langle\sum_{j=1}^k\alpha_jv_j,v_i\right\rangle =\sum_{j=1}^k\alpha_j\langle v_j,v_i\rangle.$$

当 $j\neq i$ 时，正交性使对应内积为零，只剩下

$$0=\alpha_i\langle v_i,v_i\rangle=\alpha_i\|v_i\|^2.$$

因为 $v_i\neq0$，正定性给出 $\|v_i\|^2>0$，所以 $\alpha_i=0$。指标 $i$ 是任意的，对每个指标重复这个固定指标的检验，就会得到所有系数都为零。 因此线性关系是平凡的，集合线性无关。$\mathbb{R}^m$ 中的线性无关子集至多 有 $m$ 个向量。

这个证明也提供一个实用方法：想孤立某个系数，就对携带该系数的向量取内积。 正交性消除交叉项，非零范数让除法合法。

正交集中的坐标

系数公式只适用于目标向量属于正交集的张成空间这一情况。这个成员条件保证 所提出的线性组合确实是目标向量的表示。

定理

正交集中的系数公式

设 $S=\{v_1,\dots,v_k\}$ 是正交集，且

$$v=\alpha_1v_1+\cdots+\alpha_kv_k.$$

则对每个 $i$，

$$\alpha_i=\frac{\langle v,v_i\rangle}{\|v_i\|^2}.$$

因此

$$v=\sum_{i=1}^k\frac{\langle v,v_i\rangle}{\|v_i\|^2}v_i.$$

只要对表示式取与 $v_i$ 的内积，交叉项便消失，留下 $\langle v,v_i\rangle=\alpha_i\|v_i\|^2$。由于 $v_i$ 非零，可以相除。这个公式 是直接读出坐标的方法，并不是张成空间的另一种定义。

定理

加权内积与勾股公式

若 $S=\{v_1,\dots,v_k\}$ 是正交集，且

$$v=\sum_{i=1}^k\alpha_i v_i,\qquad w=\sum_{i=1}^k\beta_i v_i,$$

则

$$\langle v,w\rangle=\sum_{i=1}^k\alpha_i\beta_i\|v_i\|^2.$$

特别地，

$$\|v\|^2=\sum_{i=1}^k\alpha_i^2\|v_i\|^2.$$

证明

为什么只剩下相同方向

利用内积在两个位置的线性性展开：

$$\langle v,w\rangle =\left\langle\sum_i\alpha_i v_i,\sum_j\beta_jv_j\right\rangle =\sum_i\sum_j\alpha_i\beta_j\langle v_i,v_j\rangle.$$

当 $i\neq j$ 时，正交性使该项为零；当 $i=j$ 时，该项是 $\alpha_i\beta_i\|v_i\|^2$。把留下的对角项相加就得到公式。令 $w=v$ 且 $\beta_i=\alpha_i$，便得到范数平方公式。这是一个加权勾股定理：每个坐标 的贡献由对应向量的长度平方加权。

下面的图解集中说明这个机制：两两正交会消除交叉项，所以每个坐标系数都可以 由一个独立的内积计算读出。它也预告为什么把正交基规范化后，权重和分母都会 变成 $1$。

例题

用内积找坐标并检查范数

令

$$v_1=\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix},\quad v_2=\begin{bmatrix}1\\-1\\0\end{bmatrix},\quad v_3=\begin{bmatrix}1\\1\\-2\end{bmatrix},\qquad x=\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}.$$

先检查几何关系：

$$v_1\cdot v_2=0,\qquad v_1\cdot v_3=0,\qquad v_2\cdot v_3=0,$$

并且

$$\|v_1\|^2=3,\qquad \|v_2\|^2=2,\qquad \|v_3\|^2=6.$$

所以这是一个正交集。由于三个向量都非零且两两正交，根据定理它们线性无关。 $\mathbb{R}^3$ 中的三个线性无关向量构成 $\mathbb{R}^3$ 的一组基，因此 $x\in\operatorname{span}\{v_1,v_2,v_3\}$。这就在使用系数公式前核对了成员条件：

$$\alpha_1=\frac{\langle x,v_1\rangle}{\|v_1\|^2}=\frac{6}{3}=2,\quad \alpha_2=\frac{\langle x,v_2\rangle}{\|v_2\|^2}=\frac{-1}{2}=-\frac12,\quad \alpha_3=\frac{\langle x,v_3\rangle}{\|v_3\|^2}=\frac{-3}{6}=-\frac12.$$

代回去检查：

$$2v_1-\frac12v_2-\frac12v_3 =\begin{bmatrix}2\\2\\2\end{bmatrix} +\begin{bmatrix}-\frac12\\\frac12\\0\end{bmatrix} +\begin{bmatrix}-\frac12\\-\frac12\\1\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}=x.$$

加权范数公式提供另一项检查：

$$\|x\|^2=2^2(3)+\left(-\frac12\right)^2(2)+ \left(-\frac12\right)^2(6)=12+\frac12+\frac32=14.$$

正交基与标准正交基

定义

正交基

设 $V$ 是 $\mathbb{R}^m$ 的子空间。若集合 $S$ 同时是 $V$ 的一组基底和正交集， 则称 $S$ 为 $V$ 的 正交基。

由于正交集已经自动线性无关，所以要检查一个正交集是不是正交基，只需要再 检查它是否张成所讨论的子空间。

定理

正交基判准

设 $V$ 是 $\mathbb{R}^m$ 的子空间。若 $S$ 是 $V$ 中的正交子集，则 $S$ 是 $V$ 的正交基，当且仅当 $S$ 张成 $V$。

正向是基底定义的一部分；反向中，张成性补上缺少的条件，而线性无关定理补上 另一个条件。这个判准提醒我们：正交族可以独立，却未必张成整个环境空间。

定义

标准正交基

集合 $S=\{v_1,\dots,v_k\}$ 若正交且每个向量的范数都是 $1$，则称 $S$ 为 标准正交集。等价地，

$$\langle v_i,v_j\rangle= \begin{cases} 1,&i=j,\\ 0,&i\neq j. \end{cases}$$

既是标准正交集又是基底的集合称为 标准正交基。零子空间 $\{0\}$ 的标准 正交基是空集；任何非空基底仍由非零向量组成。

定理

标准正交基中的坐标公式

若 $S=\{v_1,\dots,v_k\}$ 是标准正交集，且

$$v\in\operatorname{span}\{v_1,\dots,v_k\},$$

则

$$v=\langle v,v_1\rangle v_1+\cdots+\langle v,v_k\rangle v_k.$$

若 $v=\sum_i\alpha_i v_i$，还满足

$$\|v\|^2=\alpha_1^2+\cdots+\alpha_k^2.$$

因为每个向量的范数是 $1$，分母自然消失，加权范数公式也变成坐标平方的普通 和式。

成员条件是公式的一部分

反例模式

系数公式不能产生缺少的分量

在 $\mathbb{R}^2$ 中取正交集 $S=\{e_1\}$，并取环境向量 $v=e_2$。这里 $v\notin\operatorname{span}\{e_1\}$，但系数表达式会给出

$$\frac{\langle e_2,e_1\rangle}{\|e_1\|^2}e_1=0\neq e_2.$$

所以只有先确认 $v\in\operatorname{span}(S)$，公式才会重建 $v$。对任意环境向量， 同一个表达式给出 $v$ 在 $\operatorname{span}(S)$ 上的正交投影；余向量

$$r=v-\sum_i\frac{\langle v,v_i\rangle}{\|v_i\|^2}v_i$$

与每个 $v_i$ 正交。这个余向量正是下一节正交化过程要处理的部分。

规范化

定理

规范化正交基

若 $S=\{v_1,\dots,v_k\}$ 是正交集，则

$$S'=\left\{\frac{v_1}{\|v_1\|},\dots,\frac{v_k}{\|v_k\|}\right\}$$

是标准正交集，而且 $\operatorname{span}(S')=\operatorname{span}(S)$。若 $S$ 是 $V$ 的正交基，则 $S'$ 是 $V$ 的标准正交基。

每个除数都为正，因为对应向量非零。用非零数缩放向量会保留所有线性组合，因而 保留张成空间；同时 $\langle v_i/\|v_i\|,v_j/\|v_j\|\rangle=0$（当 $i\neq j$），新向量的范数 都等于 $1$。规范化不能修复非正交族：$(1,0)$ 与 $(1,1)$ 规范化后的内积仍为 $1/\sqrt2$，不是零。

例题

规范化三维正交基

使用坐标例中的正交基，定义

$$u_1=\frac{v_1}{\sqrt3},\qquad u_2=\frac{v_2}{\sqrt2},\qquad u_3=\frac{v_3}{\sqrt6}.$$

张成空间没有改变，而且规范化后的向量满足 $\langle u_i,u_j\rangle=\delta_{ij}$。 对同一个目标向量 $x$，标准正交坐标现在就是直接内积：

$$\langle x,u_1\rangle=2\sqrt3,\qquad \langle x,u_2\rangle=-\frac1{\sqrt2},\qquad \langle x,u_3\rangle=-\frac3{\sqrt6}.$$

因此

$$x=2\sqrt3\,u_1-\frac1{\sqrt2}u_2-\frac3{\sqrt6}u_3,$$

并且

$$\|x\|^2=(2\sqrt3)^2+\left(-\frac1{\sqrt2}\right)^2+ \left(-\frac3{\sqrt6}\right)^2=12+\frac12+\frac32=14.$$

非零向量、张成性与投影

正交集中的向量线性无关，但未必张成目标空间：$\{e_1\}$ 是正交集，但不能张成 $\mathbb{R}^2$。

必须区分“两个向量正交”和“一个集合是正交集”。等式 $\langle v,w\rangle=0$ 允许其中一个向量为零；正交集则要求每个成员都非零。这正是线性无关证明中所用 的条件：对等式与 $v_i$ 取内积后，要除以 $\|v_i\|^2$，只有 $v_i\neq0$ 时这 个数才为正。证明从不除以系数，所以即使某些系数本来就是零，证明仍然有效。

系数公式还有一个边界条件。表达式

$$\sum_i\frac{\langle v,v_i\rangle}{\|v_i\|^2}v_i$$

总会给出正交集张成空间中的向量，但只有在 $v$ 属于这个张成空间时，它才等于 给定的 $v$。对一般向量，这个表达式是正交投影，而剩余向量与每个基方向都正交。 所以成员条件不是装饰性的技术假设；它把投影等式变成了重建等式。

加权公式也说明了标准正交公式为何方便。在正交基中，较长的基向量对范数的贡献 带有权重 $\|v_i\|^2$；在标准正交基中，每个权重都是 $1$。系数也同时改变： $\alpha_i=\langle v,v_i\rangle/\|v_i\|^2$ 变成 $\alpha_i=\langle v,v_i\rangle$。规范化改变的是坐标的数值表示，不改变向量本身 或其张成空间。

常见错误

跳过张成性或范数检查

不能把标准正交基的系数公式用于仅仅正交的向量族，也不能在未确认分母非零前使用 正交系数公式。对于非单位的正交族，$\|v_i\|^2$ 分母不可省略；对于不包含目标 向量的张成空间，所得和式只是目标向量的投影。一个好的最后检查是把系数代回线性 组合；在有帮助时，再把加权范数公式所得的数值与直接由坐标计算的范数平方比较。

空集与维数

有限集合的假设使系数论证保持具体，但这个逻辑也能说明边界情况。空集按空真条件 是正交集，其张成空间是零子空间，因此它正是 $\{0\}$ 的标准正交基。$\mathbb{R}^m$ 中的非空正交集至多有 $m$ 个成员；若恰有 $m$ 个成员，它就是整个空间的基底。这里 同时使用了论证的两个部分：内积给出线性无关，而维数相等补上张成性。一个向量族 成为基底后，线性无关性又保证坐标唯一，所以系数公式不是只产生一个方便的展开， 而是确定唯一可能的展开。

快速检查

思考检查

正交集可以包含零向量吗？

用定义回答，不要只看 $\langle0,v\rangle=0$。

解答 · 答案

不可以。按定义，正交集要求其中每个向量都非零。

思考检查

为什么标准基向量 $e_1,\dots,e_m$ 彼此正交？

计算它们之间的内积。

解答 · 答案

若 $i\neq j$，则 $e_i^Te_j=0$，因为两个向量中的 $1$ 出现在不同坐标位置。 每个 $e_i$ 都非零，所以标准基是正交集。

思考检查

若使用标准正交基，$v$ 展开式中 $v_i$ 的系数是多少？

利用标准正交坐标公式。

解答 · 答案

只要 $v$ 属于该基底的张成空间，系数就是 $\langle v,v_i\rangle$。

练习

思考检查

证明 $\{(1,2),(-2,1)\}$ 是 $\mathbb{R}^2$ 的一组正交基，并核对张成性。

先检查正交，再使用线性无关性和维数。

解答 · 引导解答

两向量的内积是

$$(1,2)\cdot(-2,1)=-2+2=0.$$

两个向量都非零，所以正交集定理使它们线性无关。$\mathbb{R}^2$ 中的两个 线性无关向量构成基底，因而张成 $\mathbb{R}^2$。

思考检查

令 $u_1=(1,2)$、$u_2=(-2,1)$、$v=(0,5)$。求 v 在这组正交基下的系数。

先计算两个内积和两个范数平方，再重建 $v$。

解答 · 引导解答

因为

$$\langle u_1,u_2\rangle=-2+2=0,\qquad \|u_1\|^2=\|u_2\|^2=5,$$

这是一组正交向量。对 $v=(0,5)$，

$$\langle v,u_1\rangle=10,\qquad \langle v,u_2\rangle=5.$$

所以系数是 $10/5=2$ 与 $5/5=1$，并且

$$2(1,2)+(-2,1)=(0,5)=v.$$

思考检查

把正交基 $\{(3,4),(4,-3)\}$ 规范化。

把每个向量除以自己的范数。

解答 · 引导解答

两个向量的范数都等于 $5$，因此一组标准正交基为

$$\left\{ \left(\frac35,\frac45\right), \left(\frac45,-\frac35\right) \right\}.$$

相关笔记

如果内积公式还不熟悉，请先读 9.1 内积、范数与夹角， 因为本节公式都建立在那里的内积与范数定义之上。

之后可继续读 9.3 Gram-Schmidt 正交化， 看看任意基底如何系统地转成正交基。成员条件反例中的余向量，正是那个过程的 第一步投影。

本节的基底语言也依赖 6.5 基底与维数。