齐次方程组的解集、对称矩阵的集合、在某一点取值为零的多项式集合，都是较大向量空间中的子集。若一个子集在原有的加法与数乘下仍满足向量空间公理，它就是子空间。
为什么只需要检查少数公理
设 V V V W ⊆ V W \subseteq V W ⊆ V W W W V V V V V V
真正要问的是：
W W W W W W W W W W W W W W W
所以子空间测试本质上是一个封闭性测试。
定义
子空间定义 设 V V V W ⊆ V W \subseteq V W ⊆ V
W W W 对所有 u , v ∈ W u, v \in W u , v ∈ W u + v ∈ W u + v \in W u + v ∈ W
对所有 u ∈ W u \in W u ∈ W α ∈ R \alpha \in R α ∈ R α u ∈ W \alpha u \in W αu ∈ W
那么 W W W V V V 子空间 。
“继承”是关键限定。子集若另行定义运算，可能自身构成向量空间，却未必是原空间的子空间。这里每次加法与数乘都在 V V V W W W W W W
从十条公理缩减为三个条件，还有一个逻辑步骤。结合律等恒等式可直接限制到 W W W W W W w ∈ W w\in W w ∈ W 0 w = 0 V ∈ W 0w=0_V\in W 0 w = 0 V ∈ W u ∈ W u\in W u ∈ W ( − 1 ) u = − u ∈ W (-1)u=-u\in W ( − 1 ) u = − u ∈ W W W W W W W
非空条件不能删除。如果 W = ∅ W=\varnothing W = ∅ u , v ∈ W u,v\in W u , v ∈ W W W W W W W
把两种封闭性合成一个线性组合条件，往往能使证明更直接。
定理
等价的子空间测试 设 V V V W ⊆ V W \subseteq V W ⊆ V W W W V V V
0 ∈ W 0 \in W 0 ∈ W
对任意 u , v ∈ W u, v \in W u , v ∈ W α , β ∈ R \alpha, \beta \in R α , β ∈ R
α u + β v \alpha u + \beta v αu + β v 仍然属于 W W W
证明
为什么这个等价形式成立 先假设 W W W W W W w ∈ W w \in W w ∈ W
0 w = 0 ∈ W . 0w = 0 \in W. 0 w = 0 ∈ W . 再设 u , v ∈ W u, v \in W u , v ∈ W α , β ∈ R \alpha, \beta \in R α , β ∈ R α u ∈ W \alpha u \in W αu ∈ W β v ∈ W \beta v \in W β v ∈ W
α u + β v ∈ W . \alpha u + \beta v \in W. αu + β v ∈ W . 反过来，若 0 ∈ W 0 \in W 0 ∈ W u , v ∈ W u, v \in W u , v ∈ W α , β ∈ R \alpha, \beta \in R α , β ∈ R α u + β v ∈ W \alpha u + \beta v \in W αu + β v ∈ W W W W α = β = 1 \alpha = \beta = 1 α = β = 1
u + v ∈ W . u + v \in W. u + v ∈ W . 若取 v = 0 v = 0 v = 0 α = κ \alpha = \kappa α = κ β = 0 \beta = 0 β = 0
κ u + 0 ⋅ 0 = κ u ∈ W . \kappa u + 0 \cdot 0 = \kappa u \in W. κ u + 0 ⋅ 0 = κ u ∈ W . 所以原本三条定义也成立。
由方程定义的标准例子
先看线性方程定义的集合：右端为零，正是加法与数乘能保持成员条件的原因。
例题
R 2 R^2 R 2 设
W = { ( x , y ) ∈ R 2 : y = 2 x } . W = \left\{(x, y) \in R^2 : y = 2x\right\}. W = { ( x , y ) ∈ R 2 : y = 2 x } . 要证明 W W W R 2 R^2 R 2
W W W ( 0 , 0 ) (0, 0) ( 0 , 0 ) 0 = 2 ⋅ 0 0 = 2 \cdot 0 0 = 2 ⋅ 0
若 ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) ∈ W (x_1, y_1), (x_2, y_2) \in W ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) ∈ W y 1 = 2 x 1 y_1 = 2x_1 y 1 = 2 x 1 y 2 = 2 x 2 y_2 = 2x_2 y 2 = 2 x 2
y 1 + y 2 = 2 ( x 1 + x 2 ) , y_1 + y_2 = 2(x_1 + x_2), y 1 + y 2 = 2 ( x 1 + x 2 ) , 所以 ( x 1 + x 2 , y 1 + y 2 ) ∈ W (x_1 + x_2, y_1 + y_2) \in W ( x 1 + x 2 , y 1 + y 2 ) ∈ W
若 ( x , y ) ∈ W (x, y) \in W ( x , y ) ∈ W α ∈ R \alpha \in R α ∈ R y = 2 x y = 2x y = 2 x
α y = 2 ( α x ) , \alpha y = 2(\alpha x), α y = 2 ( αx ) , 所以 ( α x , α y ) ∈ W (\alpha x, \alpha y) \in W ( αx , α y ) ∈ W
故 W W W R 2 R^2 R 2
几何图像与代数结论完全一致：这是一条过原点的直线。所谓“过原点”不
是装饰性描述，而是零向量属于集合的几何痕迹。
例题
由一条齐次线性方程切出的平面 再设
W = { ( x , y , z ) ∈ R 3 : x + 2 y + 3 z = 0 } . W = \left\{(x, y, z) \in R^3 : x + 2y + 3z = 0\right\}. W = { ( x , y , z ) ∈ R 3 : x + 2 y + 3 z = 0 } . 同样只需检查三件事。
W W W ( 0 , 0 , 0 ) (0, 0, 0) ( 0 , 0 , 0 )
若 u = ( u 1 , u 2 , u 3 ) u = (u_1, u_2, u_3) u = ( u 1 , u 2 , u 3 ) v = ( v 1 , v 2 , v 3 ) v = (v_1, v_2, v_3) v = ( v 1 , v 2 , v 3 ) W W W
u 1 + 2 u 2 + 3 u 3 = 0 , v 1 + 2 v 2 + 3 v 3 = 0. u_1 + 2u_2 + 3u_3 = 0,
\qquad
v_1 + 2v_2 + 3v_3 = 0. u 1 + 2 u 2 + 3 u 3 = 0 , v 1 + 2 v 2 + 3 v 3 = 0. 相加后得到
( u 1 + v 1 ) + 2 ( u 2 + v 2 ) + 3 ( u 3 + v 3 ) = 0 , (u_1 + v_1) + 2(u_2 + v_2) + 3(u_3 + v_3) = 0, ( u 1 + v 1 ) + 2 ( u 2 + v 2 ) + 3 ( u 3 + v 3 ) = 0 , 因此 u + v ∈ W u + v \in W u + v ∈ W
若 u ∈ W u \in W u ∈ W α ∈ R \alpha \in R α ∈ R
α u 1 + 2 α u 2 + 3 α u 3 = α ( u 1 + 2 u 2 + 3 u 3 ) = α ⋅ 0 = 0 , \alpha u_1 + 2\alpha u_2 + 3\alpha u_3
=
\alpha(u_1 + 2u_2 + 3u_3)
=
\alpha \cdot 0
=
0, α u 1 + 2 α u 2 + 3 α u 3 = α ( u 1 + 2 u 2 + 3 u 3 ) = α ⋅ 0 = 0 , 所以 α u ∈ W \alpha u \in W αu ∈ W
于是 W W W R 3 R^3 R 3
这个例子是“由齐次线性方程定义的集合”的原型。右边的常数是 0 0 0
用检查器比较各集合是否包含零向量，以及是否对加法和数乘封闭。
子空间测试的直接推论
一旦知道 W W W
前面的论证已给出 0 V ∈ W 0_V\in W 0 V ∈ W u ∈ W u\in W u ∈ W − u ∈ W -u\in W − u ∈ W V V V
于是两个极端例子也自然成立：
{ 0 } \{0\} { 0 } 最小 子空间；V V V V V V 最大 子空间。
零空间一定是子空间
矩阵理论里第一个重要的子空间家族，就是零空间。
定理
矩阵的零空间是子空间 设 A A A m × n m \times n m × n
N ( A ) = { x ∈ R n : A x = 0 } . N(A) = \left\{x \in R^n : Ax = 0\right\}. N ( A ) = { x ∈ R n : A x = 0 } . 则 N ( A ) N(A) N ( A ) R n R^n R n
证明
为什么 N ( A ) N(A) N ( A ) 首先，0 ∈ N ( A ) 0 \in N(A) 0 ∈ N ( A )
A 0 = 0. A0 = 0. A 0 = 0. 再设 u , v ∈ N ( A ) u, v \in N(A) u , v ∈ N ( A ) α ∈ R \alpha \in R α ∈ R A u = 0 Au = 0 A u = 0 A v = 0 Av = 0 A v = 0
A ( u + v ) = A u + A v = 0 + 0 = 0 , A(u + v) = Au + Av = 0 + 0 = 0, A ( u + v ) = A u + A v = 0 + 0 = 0 , 以及
A ( α u ) = α ( A u ) = α ⋅ 0 = 0. A(\alpha u) = \alpha(Au) = \alpha \cdot 0 = 0. A ( αu ) = α ( A u ) = α ⋅ 0 = 0. 所以 u + v ∈ N ( A ) u + v \in N(A) u + v ∈ N ( A ) α u ∈ N ( A ) \alpha u \in N(A) αu ∈ N ( A ) N ( A ) N(A) N ( A ) R n R^n R n
这个定理说明“零空间”不是方便的名字而已。齐次方程组的解集真的是
一个向量空间。
例题
一条齐次方程其实就是某个零空间 令
A = [ 1 2 3 ] . A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \end{bmatrix}. A = [ 1 2 3 ] . 则
N ( A ) = { [ x y z ] : x + 2 y + 3 z = 0 } . N(A)
=
\left\{
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
z
\end{bmatrix}
:
x + 2y + 3z = 0
\right\}. N ( A ) = ⎩ ⎨ ⎧ x y z : x + 2 y + 3 z = 0 ⎭ ⎬ ⎫ . 所以刚才那个平面，其实正是某个矩阵的零空间。由
x = − 2 y − 3 z x = -2y - 3z x = − 2 y − 3 z 可得零空间里任意向量都可写成
[ x y z ] = y [ − 2 1 0 ] + z [ − 3 0 1 ] . \begin{bmatrix}
x \\
y \\
z
\end{bmatrix}
=
y \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}
+
z \begin{bmatrix} -3 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}. x y z = y − 2 1 0 + z − 3 0 1 . 因此这个子空间是一个过原点、由两个向量生成的平面。
例题
矩阵与多项式上的对称条件 设 S n S_n S n n × n n\times n n × n X T = X X^T=X X T = X Y T = Y Y^T=Y Y T = Y α , β ∈ R \alpha,\beta\in\mathbb R α , β ∈ R
( α X + β Y ) T = α X T + β Y T = α X + β Y . (\alpha X+\beta Y)^T=\alpha X^T+\beta Y^T
=\alpha X+\beta Y. ( α X + β Y ) T = α X T + β Y T = α X + β Y . 所以 S n S_n S n
类似地，设 E E E P n P_n P n t t t p ( − t ) = p ( t ) p(-t)=p(t) p ( − t ) = p ( t ) E E E p , q ∈ E p,q\in E p , q ∈ E α , β \alpha,\beta α , β
( α p + β q ) ( − t ) = α p ( − t ) + β q ( − t ) = α p ( t ) + β q ( t ) = ( α p + β q ) ( t ) . (\alpha p+\beta q)(-t)=\alpha p(-t)+\beta q(-t)
=\alpha p(t)+\beta q(t)=(\alpha p+\beta q)(t). ( α p + βq ) ( − t ) = α p ( − t ) + βq ( − t ) = α p ( t ) + βq ( t ) = ( α p + βq ) ( t ) . 恒等式对每个 t t t P n P_n P n E E E
一个更广的模式：由矩阵条件保留下来的子空间
零空间条件可以推广：不再要求 A x = 0 Ax=0 A x = 0 A x Ax A x
例题
经矩阵乘法拉回来的子空间 设 A A A 4 × 6 4 \times 6 4 × 6 V V V R 4 R^4 R 4
W = { x ∈ R 6 : A x ∈ V } . W = \left\{x \in R^6 : Ax \in V\right\}. W = { x ∈ R 6 : A x ∈ V } . 则 W W W R 6 R^6 R 6
证明完全按照子空间测试进行：
0 ∈ W 0 \in W 0 ∈ W A 0 = 0 A0 = 0 A 0 = 0 0 ∈ V 0 \in V 0 ∈ V
若 x , y ∈ W x, y \in W x , y ∈ W A x , A y ∈ V Ax, Ay \in V A x , A y ∈ V
A ( x + y ) = A x + A y ∈ V , A(x + y) = Ax + Ay \in V, A ( x + y ) = A x + A y ∈ V , 所以 x + y ∈ W x + y \in W x + y ∈ W
若 x ∈ W x \in W x ∈ W α ∈ R \alpha \in R α ∈ R A x ∈ V Ax \in V A x ∈ V
A ( α x ) = α ( A x ) ∈ V , A(\alpha x) = \alpha(Ax) \in V, A ( αx ) = α ( A x ) ∈ V , 所以 α x ∈ W \alpha x \in W αx ∈ W
零空间其实就是这个例子的特殊情形，只要把 V V V { 0 } \{0\} { 0 }
这个观点值得记住：很多子空间最自然的描述，不是逐个元素列出来，而
是写成一个会被线性运算保留下来的条件。
子集最常见的失败方式
子空间测试虽然短，但非常严格。一个集合可以在多个地方失败。
常见错误
平移后的直线可能不含零向量 集合 { ( x , y ) ∈ R 2 : x + y = 1 } \{(x,y)\in\mathbb R^2:x+y=1\} {( x , y ) ∈ R 2 : x + y = 1 } ( 0 , 0 ) (0,0) ( 0 , 0 )
反例模式
含零与数乘封闭不能保证子空间 错误命题。 实向量空间的每个子集，只要包含零并且对所有实数倍封闭，就一定是子空间。
考虑以下实际的实对称矩阵及二次式的零点集：
C = diag ( 1 , − 1 , − 1 , − 1 ) , S = { x ∈ R 4 : x T C x = 0 } . C=\operatorname{diag}(1,-1,-1,-1),\qquad
S=\{x\in\mathbb R^4:x^TCx=0\}. C = diag ( 1 , − 1 , − 1 , − 1 ) , S = { x ∈ R 4 : x T C x = 0 } . 记 q ( x ) = x T C x q(x)=x^TCx q ( x ) = x T C x q ( x ) = x 1 2 − x 2 2 − x 3 2 − x 4 2 q(x)=x_1^2-x_2^2-x_3^2-x_4^2 q ( x ) = x 1 2 − x 2 2 − x 3 2 − x 4 2 q ( 0 ) = 0 q(0)=0 q ( 0 ) = 0 α \alpha α q ( α x ) = α 2 q ( x ) q(\alpha x)=\alpha^2q(x) q ( αx ) = α 2 q ( x ) S S S
现在取 u = ( 1 , 1 , 0 , 0 ) T u=(1,1,0,0)^T u = ( 1 , 1 , 0 , 0 ) T v = ( 1 , − 1 , 0 , 0 ) T v=(1,-1,0,0)^T v = ( 1 , − 1 , 0 , 0 ) T q ( u ) = 1 − 1 = 0 q(u)=1-1=0 q ( u ) = 1 − 1 = 0 q ( v ) = 1 − 1 = 0 q(v)=1-1=0 q ( v ) = 1 − 1 = 0 S S S u + v = ( 2 , 0 , 0 , 0 ) T u+v=(2,0,0,0)^T u + v = ( 2 , 0 , 0 , 0 ) T q ( u + v ) = 4 q(u+v)=4 q ( u + v ) = 4 u + v ∉ S u+v\notin S u + v ∈ / S
展开式揭示了失败原因。对任意维数相容的实方阵 C C C
( u + v ) T C ( u + v ) = u T C u + v T C v + u T C v + v T C u . (u+v)^TC(u+v)=u^TCu+v^TCv+u^TCv+v^TCu. ( u + v ) T C ( u + v ) = u T C u + v T C v + u T C v + v T C u . 这里给出的矩阵满足 C T = C C^T=C C T = C u T C v u^TCv u T C v u T C v = ( u T C v ) T = v T C T u = v T C u u^TCv=(u^TCv)^T=v^TC^Tu=v^TCu u T C v = ( u T C v ) T = v T C T u = v T C u 2 u T C v 2u^TCv 2 u T C v u T C v = 2 u^TCv=2 u T C v = 2 0 + 0 + 2 ⋅ 2 = 4 0+0+2\cdot2=4 0 + 0 + 2 ⋅ 2 = 4
修正命题。 实向量空间的子集 W W W α u + β v \alpha u+\beta v αu + β v
分清两种封闭性
不同例子揭示不同缺失条件。当 n ≥ 1 n\geq1 n ≥ 1 H = { x ∈ R n : x 1 ≥ 0 } H=\{x\in\mathbb R^n:x_1\geq0\} H = { x ∈ R n : x 1 ≥ 0 } e 1 e_1 e 1 H H H − e 1 -e_1 − e 1 R \mathbb R R
相反，Q = { ( x , y ) : x y ≥ 0 } Q=\{(x,y):xy\geq0\} Q = {( x , y ) : x y ≥ 0 } ( α x ) ( α y ) = α 2 x y ≥ 0 (\alpha x)(\alpha y)=\alpha^2xy\geq0 ( αx ) ( α y ) = α 2 x y ≥ 0 ( 1 , 0 ) , ( 0 , − 1 ) ∈ Q (1,0),(0,-1)\in Q ( 1 , 0 ) , ( 0 , − 1 ) ∈ Q ( 1 , − 1 ) ∉ Q (1,-1)\notin Q ( 1 , − 1 ) ∈ / Q
失败不一定来自几何图形。实奇异 2 × 2 2\times2 2 × 2 diag ( 1 , 0 ) \operatorname{diag}(1,0) diag ( 1 , 0 ) diag ( 0 , 1 ) \operatorname{diag}(0,1) diag ( 0 , 1 )
同样，次数恰为 n n n P n P_n P n t n t^n t n n n n n = 0 n=0 n = 0 n ≥ 1 n\geq1 n ≥ 1 t n t^n t n − t n + 1 -t^n+1 − t n + 1
快速检查
思考检查
为什么 E = { f ( x ) ∈ P n : f ( 1 ) = 0 } E = \{f(x) \in P_n : f(1) = 0\} E = { f ( x ) ∈ P n : f ( 1 ) = 0 } P n P_n P n 把 x = 1 x = 1 x = 1
解答 零多项式属于 E E E 0 ( 1 ) = 0 0(1) = 0 0 ( 1 ) = 0 f , g ∈ E f, g \in E f , g ∈ E f ( 1 ) = g ( 1 ) = 0 f(1) = g(1) = 0 f ( 1 ) = g ( 1 ) = 0
( f + g ) ( 1 ) = f ( 1 ) + g ( 1 ) = 0. (f + g)(1) = f(1) + g(1) = 0. ( f + g ) ( 1 ) = f ( 1 ) + g ( 1 ) = 0. 若 α ∈ R \alpha \in R α ∈ R f ∈ E f \in E f ∈ E
( α f ) ( 1 ) = α f ( 1 ) = α ⋅ 0 = 0. (\alpha f)(1) = \alpha f(1) = \alpha \cdot 0 = 0. ( α f ) ( 1 ) = α f ( 1 ) = α ⋅ 0 = 0. 因此 E E E P n P_n P n
下面一题固定一个实矩阵 A ∈ M p , p ( R ) A\in M_{p,p}(\mathbb R) A ∈ M p , p ( R )
思考检查
设 W = { X ∈ M p , p ( R ) : A X − X A = O p × p } W = \{X \in M_{p,p}(R) : AX - XA = O_{p \times p}\} W = { X ∈ M p , p ( R ) : A X − X A = O p × p } 把定义方程 A X − X A = O p × p AX - XA = O_{p \times p} A X − X A = O p × p A x = 0 Ax = 0 A x = 0
解答 零矩阵属于 W W W
A O p × p − O p × p A = O p × p . A O_{p \times p} - O_{p \times p} A = O_{p \times p}. A O p × p − O p × p A = O p × p . 若 X , Y ∈ W X, Y \in W X , Y ∈ W κ , λ ∈ R \kappa, \lambda \in R κ , λ ∈ R
A ( κ X + λ Y ) − ( κ X + λ Y ) A = κ ( A X − X A ) + λ ( A Y − Y A ) = O p × p . A(\kappa X + \lambda Y) - (\kappa X + \lambda Y)A
=
\kappa(AX - XA) + \lambda(AY - YA)
=
O_{p \times p}. A ( κ X + λY ) − ( κ X + λY ) A = κ ( A X − X A ) + λ ( A Y − Y A ) = O p × p . 所以 κ X + λ Y \kappa X + \lambda Y κ X + λY W W W
思考检查
为什么 { ( x , y ) ∈ R 2 : x + y = 1 } \{(x, y) \in R^2 : x + y = 1\} {( x , y ) ∈ R 2 : x + y = 1 } 解答 它在第一步就失败了：零向量不在集合里，因为
0 + 0 ≠ 1. 0 + 0 \neq 1. 0 + 0 = 1. 每个子空间都必须包含 0 0 0
练习：还原通常的子空间测试
设 W ⊆ R 4 W\subseteq\mathbb R^4 W ⊆ R 4 k = ( 1 , 0 , 3 , 0 ) T ∈ W k=(1,0,3,0)^T\in W k = ( 1 , 0 , 3 , 0 ) T ∈ W u , v ∈ W u,v\in W u , v ∈ W u − v ∈ W u-v\in W u − v ∈ W t ∈ W t\in W t ∈ W a ∈ R a\in\mathbb R a ∈ R a t + k ∈ W at+k\in W a t + k ∈ W W W W a t + k at+k a t + k
解答 · 先去掉固定向量再应用测试 因为 k ∈ W k\in W k ∈ W k − k = 0 ∈ W k-k=0\in W k − k = 0 ∈ W x ∈ W x\in W x ∈ W b ∈ R b\in\mathbb R b ∈ R b x + k ∈ W bx+k\in W b x + k ∈ W k ∈ W k\in W k ∈ W ( b x + k ) − k = b x ∈ W (bx+k)-k=bx\in W ( b x + k ) − k = b x ∈ W − 1 -1 − 1 x , y ∈ W x,y\in W x , y ∈ W − y ∈ W -y\in W − y ∈ W x − ( − y ) = x + y ∈ W x-(-y)=x+y\in W x − ( − y ) = x + y ∈ W
给定的非零向量用来保证非空，并不是提议一个新的零向量。每次应用差的封闭性时，两个输入都已被证明属于 W W W b x + k ∈ W bx+k\in W b x + k ∈ W b x ∈ W bx\in W b x ∈ W k k k
练习：元素条件与曲线条件
判断下列集合在通常运算下是否为子空间：M 2 , 2 ( R ) M_{2,2}(\mathbb R) M 2 , 2 ( R ) L = { [ a b c d ] : a + b = c + d } L=\{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}:a+b=c+d\} L = { [ a c b d ] : a + b = c + d } R 2 \mathbb R^2 R 2 P = { ( x , y ) : y = x 2 } P=\{(x,y):y=x^2\} P = {( x , y ) : y = x 2 }
解答 · 跟踪定义条件在运算后的变化 对于 L L L r ( X ) = a + b − c − d r(X)=a+b-c-d r ( X ) = a + b − c − d r ( 0 ) = 0 r(0)=0 r ( 0 ) = 0 X , Y ∈ L X,Y\in L X , Y ∈ L α , β \alpha,\beta α , β r ( α X + β Y ) = α r ( X ) + β r ( Y ) = 0 r(\alpha X+\beta Y)=\alpha r(X)+\beta r(Y)=0 r ( α X + β Y ) = α r ( X ) + β r ( Y ) = 0 L L L
对于 P P P ( 1 , 1 ) (1,1) ( 1 , 1 ) ( 3 , 3 ) (3,3) ( 3 , 3 ) 3 ≠ 3 2 3\ne3^2 3 = 3 2 P P P
先读这些内容
本节建立在
6.1 向量空间 的公理，
以及
4.1 齐次方程组与零空间
对 A x = 0 Ax = 0 A x = 0
下一节
下一节
6.3 线性组合与张成
会把子空间当成生成过程的自然输出继续处理。
