MATH1540：大学财经数学

坐标偏导数、整体可微性、链式法则与局部敏感度模型。

偏导数与局部模型

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章节 1

偏导数与局部模型

区分坐标变化率与整体线性近似，运用点态链式法则，并检查敏感度模型的定义域与单位。

偏导数与局部模型
区分坐标变化率与整体线性近似，运用点态链式法则，并检查敏感度模型的定义域与单位。
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偏导数与梯度
从坐标方向的变化率出发，理解梯度、高阶偏导数以及交换求导顺序的条件。
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可微性与线性近似
通过线性映射及其误差定义可微性，并利用连续偏导数证明多方向上的统一近似。
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链式法则与方向导数
按正确次序复合雅可比矩阵，并用梯度解释曲线路径、方向变化率和等值集的切向量。
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章节 2

线性方程组

线性方程组

方程与解集
把线性方程组看成一组同时成立的条件，清楚分类其解集，并理解为什么方程操作不会改变解集。
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章节 3

矩阵与消元

矩阵与消元

矩阵基础
先把矩阵当成真正的数学对象来读：大小、元素、相等、基本运算，以及方程组如何写成矩阵形式。
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增广矩阵与行变换
把方程组写成 `Ax = b` 和 `[A|b]`，并严格理解为什么基本行变换会保留解集。
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高斯消元与最简行阶梯形
高斯消元保持方程组的解集不变，并通过主元方程揭示解与自由变量的关系。
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解集的类型
用 RREF 严格分类线性方程组的解集，辨认主变量与自由变量，并说明为什么系统只能有唯一解、无穷多解或无解。
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章节 4

矩阵代数

矩阵代数

矩阵乘法、单位矩阵与线性方程组
理解何时可以做矩阵乘法、行乘列规则和单位矩阵如何运作，以及矩阵乘法如何表示线性方程组。
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转置、对称矩阵与反对称矩阵
用转置、对称性与可交换乘积去理解矩阵结构与代数行为。
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章节 5

解的结构

解的结构

齐次方程组与零空间
零空间描述解之间的差、自由坐标，以及一致方程组的完整解集。
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章节 6

可逆性与秩

可逆性与秩

RREF 唯一性与秩的良定性
证明每个行等价类只有一个简化行阶梯形，再用这个定理说明秩不依赖所选行化简路径。
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可逆矩阵
可逆性连接可逆的矩阵作用、每个右端对应的唯一解，以及逆矩阵的代数性质。
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章节 7

空间与基

空间与基

向量空间
仔细定义向量空间，比较标准例子，并证明之后所有张成、基底与维数论证都会用到的第一批结构性定理。
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子空间
仔细使用子空间测试，证明最基本的结构结论，并掌握线性代数里反复出现的矩阵例子与方程例子。
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线性组合与张成
把张成视为一个精确的输出集合，将它与线性系统连起来，并学会判断一个向量能否由指定向量组合而成。
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线性相依与线性独立
辨认向量列中的冗余，通过定义与行化简测试线性独立，并读懂低维几何意义。
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基与维数
基给出唯一的坐标表示；维数记录所有基的共同大小，并提供判断张成与线性独立的准则。
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列空间、行空间与秩
把矩阵同时读成输出的来源与线性关系的来源，再用秩去数清楚真正独立的方向有多少。
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基底延伸与基变换
把基底定理变成可使用的工具：延伸线性无关组、替换旧基向量，并比较两组基底下的坐标。
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章节 8

行列式

行列式

行列式与余因子展开
先用子式与余因子仔细定义行列式，再理解余因子展开如何把一个标量变成方阵结构的精确摘要。
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行变换、乘积与可逆性
精确追踪行变换如何改变行列式，再把这种行为连到乘积公式、逆矩阵与可逆性测试。
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转置、列变换与克拉默法则
转置把行列式的行恒等式转为列恒等式；余因子的消去关系给出伴随矩阵公式与克拉默法则。
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章节 9

特征值与对角化

特征值与对角化

特征值、特征向量与特征空间
由方程 Av=λv 定义特征值与特征向量，再把同一个概念改写成零空间与行列式问题，让整个结构变得可计算。
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对角化与相似
把对角化理解成由特征向量组成的基变换，再用相似关系说明何时矩阵可以在不改变核心特征值资料的情况下被简化。
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特征多项式与对角化测试
用特征多项式、代数与几何重数，以及“互异特征值”测试去判断何时特征值资料已足够推出可对角化。
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章节 10

正交性

正交性

内积、范数与夹角
定义 R^m 上的标准内积与范数，再把这些公式连到长度、夹角与最基本的不等式结构。
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正交集与标准正交基
利用正交性建立正交基与标准正交基，然后在不每次重解线性系统的情况下直接读出坐标系数。
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Gram-Schmidt 正交化
把 Gram-Schmidt 过程用来把一组基底转成正交基或标准正交基，同时保持张成空间不变。
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Cauchy-Schwarz 与三角不等式
把 Cauchy-Schwarz 与三角不等式当作内积空间中控制长度、夹角与等号条件的两条核心估计。
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章节 11

欧几里得几何

欧几里得几何

向量、内积与距离
从坐标建立欧几里得长度、夹角与正交投影，并证明控制距离的基本范数不等式。
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直线、平面与体积
在参数式与方程之间转换线性几何对象，推导最近点公式，并用叉积及三重积计算面积与体积。
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章节 12

定义域、极限与连续

定义域、极限与连续

定义域与点集
用开球、内部、边界、闭包和路径描述多元函数的定义域，并证明这些概念之间的联系。
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数列与多元极限
通过收敛、数列判据、弯曲路径和统一估计，证明或否定欧几里得空间中的极限。
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连续性与紧致性
研究相对于定义域的连续性、连续延拓、紧集、可达到的最值和一致连续性。
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有限维紧致性与可达极值
有限维紧致性与可达极值
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章节 13

泰勒模型与优化

泰勒模型与优化

中值估计与泰勒近似
沿线段运用一元微积分，建立多元函数估计及二阶近似。
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临界点与极值
寻找并分类驻点，区分局部判别与整体最优化。
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约束最优化与拉格朗日乘数
检查正则性、存在性与例外点，寻找约束极值的候选点。
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Taylor 模型：例题与练习
Taylor 模型：例题与练习
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任意阶多元 Taylor 定理
多重指标系数、积分与 Lagrange 余项及局部 Peano 定理，附完整证明、例题和练习解答。
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章节 14

重积分

重积分

二重积分与累次积分
从面积和建立二重积分，并由区域几何选择积分次序。
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三重积分与三维坐标
在直角、柱及球坐标中建立体积积分。
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变数替换与雅可比行列式
同时变换积分区域与面积比例，注意重复覆盖及方向。
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章节 15

积分证明基础

积分证明基础

变量替换的基础：Jordan 覆盖与双侧小立方体体积估计
推导边界的有限覆盖估计，以及小立方体经变换后体积的一致双侧估计。
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C¹ 变量替换：有限维 Jordan/Riemann 证明
证明紧 Jordan 区域与有界 Riemann 可积函数的非线性行列式公式，并明确覆盖和边界条件。
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章节 16

梯度下降

梯度下降

梯度下降：方向、步长与收敛
梯度下降：方向、步长与收敛
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章节 17

完整谱方法

完整谱方法

实对称矩阵的正交特征基
实对称矩阵的正交特征基
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章节 18

虚构估值与预算模型

虚构估值与预算模型

预算约束下的二次模型
预算约束下的二次模型
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假设产出的表示无关估值
假设产出的表示无关估值
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等式预算约束下的正定二次目标
等式预算约束下的正定二次目标
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