C¹ 变量替换：有限维 Jordan/Riemann 证明

学习目标与精确范围

利用上一章的有限 Jordan 覆盖和一致双侧立方体变形估计，证明有限维 $C^1$ 变量替换定理，再通过有限 Darboux 阶梯函数夹逼将连续情形扩展至有界 Riemann 可积函数。以下定理明确了有界 Jordan/Riemann 情形及覆盖条件。

全文中，$n$ 是有限正整数。若有界 Jordan 集上的函数向包含它的长方体作零延拓后在那里 Riemann 可积，就称其在该集合上 Riemann 可积；不同的包含长方体给出相同积分。零测边界上可赋予任意有界值。上一章给出了 Jordan 边界与零测集像的引理及一致小立方体估计。

1. 定理及全部假设

定理：有界 $C^1$ Jordan/Riemann 变量替换

设 $U,V\subseteq\mathbb R^n$ 为开集，$T:U\to V$ 为 $C^1$ 微分同胚：它是双射，$T$ 及其逆映射连续可微，尤其有 $\det DT(x)\ne0$，对每个 $x\in U$ 成立。设 $K\subset U$ 为紧 Jordan 可测集，$f:T(K)\to\mathbb R$ 在 $T(K)$ 上有界且 Riemann 可积。则 $T(K)$ 是 Jordan 可测的，函数 $x\mapsto f(T(x))|\det DT(x)|$ 在 $K$ 上 Riemann 可积，且

$$\int_{T(K)}f(y)\,dy =\int_K f(T(x))J(x)\,dx, \qquad J(x)=|\det DT(x)|.$$

允许空集或 Jordan 零测情形。逐点取行列式绝对值可涵盖两种取向及不连通定义域。若有界 Jordan 区域 $D$ 满足 $\overline D\subset U$，同样适用：以其紧闭包替代并在边界赋有界值，因为边界及其像均为零测。

紧包含条件不可省略：它提供导数和逆矩阵的一致界，并使所有足够小的边界网格格子留在映射的开定义域内。**范围。**这是有界区域上的 Riemann 定理。无界或非紧极限需要收敛估计；多对一映射需要计算覆盖次数。一般 Lebesgue 公式和低维曲面面积公式是另外的结果。

2. 准备统一网格，包括边界层

若 $K$ 为空，两边积分均为零，故设其非空。基础章已证明 $E=T(K)$ 是紧 Jordan 可测集：其边界是 $\partial K$ 的零测像。

选取 $K_*$ 为 $K$ 在 $U$ 内的紧邻域。对所有足够小且与 $K$ 相交的规则网格立方体，上一章给出共同常数 $L,C$ 和函数 $\beta(h)\to0$，使得对立方体 $Q$（边长为 $h$、中心为 $c$），

$$\|T(x)-T(z)\|_\infty\le L\|x-z\|_\infty\quad(x,z\in Q),$$ $$|v(T(Q))-J(c)h^n|\le\beta(h)h^n,\qquad v(T(Q))\le Ch^n.$$

这里沿每个立方体内的线段取导数界。

令 $\mathcal I_h$ 为完全包含于 $K$ 的有限网格立方体集合，令 $\mathcal B_h$ 为与 $K$ 相交但不完全包含于其中的立方体。第二类每个立方体都与 $\partial K$ 相交，由 Jordan 边界判据，

$$b_h:=\sum_{Q\in\mathcal B_h}v(Q)\longrightarrow0$$

立方体可以共面，但面及其在 $T$ 下的像均为零测。因此全局单射保证不同内部格子的像仅在零测的面像上重叠，其体积与积分可用有限可加性。

$E$ 中未被内部格子像覆盖的部分包含在边界立方体的像中。其体积至多为 $Cb_h$，因为 $v(T(Q))\le Cv(Q)$ 且覆盖有限。它本身也 Jordan 可测：从 Jordan 集 $E$ 中减去有限 Jordan 集并即可。这便给出了目标边界层误差界。

3. 先对连续 f 证明定理

设 $f$ 在紧集 $E$ 上连续。它以 $M$ 为界且一致连续；以 $\omega_f(\eta)\to0$ 表示 $E$ 上的共同连续模。对每个内部立方体 $Q$，$T(Q)$ 上的目标积分与 $f(T(c))v(T(Q))$ 之差至多为 $\omega_f(Lh)v(T(Q))$。未覆盖的目标边界层贡献至多为 $MCb_h$。

由于内部格子像的内部除零测集外互不相交，其总体积不超过 $v(E)$。因此

$$\left|\int_Ef-\sum_{Q\in\mathcal I_h}f(T(c))v(T(Q))\right| \le\omega_f(Lh)v(E)+MCb_h\longrightarrow0.$$

现在把每个像的体积替换为 $J(c)h^n$。对固定长方体 $B$（包含 $K$），额外总误差至多为

$$M\beta(h)\sum_{Q\in\mathcal I_h}h^n\le M\beta(h)v(B)\longrightarrow0.$$

所得和是 $f(T(x))J(x)$ 在 $K$ 上的内部格子标记和。该函数在紧集 $K$ 上连续，前面的 Jordan/Darboux 引理证明这些和趋于其积分：一致连续性控制内部格子，而 $b_h\to0$ 控制被省略的边界格子。因此连续 $f$ 的两个积分相等。

共同的格子相对误差界使体积替换的总误差消失，而独立的边界估计控制被省略的格子。

4. 得出 Jordan 部分集的体积恒等式

在已证明的连续情形中取 $f\equiv1$，得到

$$v(T(S))=\int_SJ(x)\,dx$$

对每个紧 Jordan 集 $S\subset U$ 成立。它也适用于有界 Jordan 集 $S$（闭包包含于 $U$）：用 $\overline S$ 替代即可。新增部分包含于 $\partial S$，其像为零测，因此体积和积分都不变。

我们需要将此恒等式用于以有限网格切割目标集所得的部分。令 $C$ 为一个网格长方体，$S=K\cap T^{-1}(C)$。其边界包含于

$$\partial K\ \cup\ T^{-1}(\partial C\cap E).$$

第一部分为零测。第二部分也为零测，因为目标网格面的这一部分是 $V$ 内紧零测集的有界子集，而逆映射为 $C^1$，在紧集 $E$ 的邻域上成立。对该逆映射应用有限覆盖零测像引理即可。因此 $S$ 是 Jordan 可测的，且其闭包紧包含于 $U$。

若需要严格不相交的划分，可对网格格子采用一致的半开边界归属。这些部分的边界仍包含在同一有限零测集合中。其像恰为采用相应归属的 $E\cap C$。因此体积恒等式结合有限线性性，证明了目标网格上每个有限阶梯函数的变量替换公式。

于是连续定理的常数函数推论已经建立了有限目标阶梯函数的替换公式。

5. 利用有限阶梯夹逼处理有界 Riemann 可积函数

取包含 $E$ 的目标长方体，令 $f_0$ 为 $f$ 的零延拓。其 Riemann 可积性意味着对每个 $\varepsilon>0$，存在有限网格，使其下、上阶梯函数 $\ell,u$ 满足

$$\ell\le f_0\le u,\qquad \int(u-\ell)<\varepsilon.$$

在每个格子上取 $f_0$ 在其闭包上的下确界和上确界，并一致地指定面上的值。Darboux 判据恰给出上述差距。将非负差函数限制到 $E$ 上不会增加其积分。

源函数 $p(x)=\ell(T(x))J(x)$ 和 $q(x)=u(T(x))J(x)$ 在 $K$ 上向外作零延拓后均 Riemann 可积。它们分别是连续函数 $J$ 与刚建立的 Jordan 原像部分集的示性函数之积的有限和。这样的有界乘积由 Darboux 乘积估计可积，也可在这些零测部分边界之外直接利用一致连续性证明。由于 $J\ge0$，

$$p(x)\le f(T(x))J(x)\le q(x),$$

阶梯函数恒等式给出

$$\int_K(q-p)=\int_E(u-\ell)<\varepsilon.$$

如果有界函数有积分差任意小的可积上下夹逼，则它 Riemann 可积。事实上其下积分至少为下夹逼的积分，上积分至多为上夹逼的积分，因此两者之差小于每个正 epsilon。

这证明了变换后被积函数可积。它的积分与原积分 $\int_Ef$ 均位于同一对数值 $\int_E\ell=\int_Kp$ 和 $\int_Eu=\int_Kq$ 之间，而它们的差小于 epsilon。因此两个积分之差为零。定理包括有界 Riemann 情形，证毕。

有限 Darboux 夹逼和 Jordan 体积恒等式完成了有界 Riemann 推广。

6. 非线性映射例题，包括不连续被积函数

设 $T(u,v)=(u,v+u^2)$ 定义于 $\mathbb R^2$。其逆映射为 $(x,y)\mapsto(x,y-x^2)$，行列式为一。单位正方形映成

$$E=\{0\le x\le1,\quad x^2\le y\le x^2+1\}.$$

对连续函数 $f(x,y)=y$，定理给出

$$\iint_Ey\,dA=\int_0^1\int_0^1(v+u^2)\,dv\,du=\frac56.$$

该映射弯曲上下边界但保持面积，因为常数一的积分仍为一。

对于有界示性函数：令 $f(x,y)=1$ 当 $y\ge x^2+1/2$，下方为零；它在 $E$ 内的不连续点位于一条光滑图线上。其有界零延拓 Riemann 可积：用总面积任意小的有限薄格子覆盖该图线及 $\partial E$，其余位置函数为常数。变换后的函数为阶梯函数 $1_{\{v\ge1/2\}}$，故积分为 $1/2$。此例将有界 Riemann 推广应用于跨光滑图线的跳跃。

7. 极坐标作为极限推论

在 $U=(0,\infty)\times(-\pi,\pi)$ 上，极坐标映射 $T(r,\theta)=(r\cos\theta,r\sin\theta)$ 是到去掉非正水平射线的平面的微分同胚，且 $J=r$。该去掉射线的平面上的一个显式光滑逆映射为 $r=\sqrt{x^2+y^2}$ 和 $\theta=2\arctan[y/(\sqrt{x^2+y^2}+x)]$：其分母在那里严格为正，半角恒等式可验证两个复合映射。对 $0<\varepsilon<R$ 和 $0<\delta<\pi$，紧矩形 $[\varepsilon,R]\times[-\pi+\delta,\pi-\delta]$ 恰好满足定理。

对闭圆盘上的有界连续被积函数，只有控制遗漏部分之后才能从这些截断扇域过渡到圆盘。环域中宽度为 $2\delta$ 的遗漏角楔可用另一个非奇异极坐标分支覆盖；由被积函数为一时的定理，其面积为 $\delta(R^2-\varepsilon^2)$。半径为 epsilon 的圆盘包含在面积为 $4\varepsilon^2$ 的正方形内。将这些界乘以被积函数的界，两个遗漏贡献都趋于零。圆周与径向接缝可由有限光滑曲线覆盖，面积为零。这证明了此类有界被积函数的通常圆盘极坐标公式；取被积函数为一即得圆盘面积 $\pi R^2$。

截断使映射保持正则且单值；上述界在极限中恢复原点与角度接缝。

8. Jacobian 非零并不意味着恰好覆盖一次

对去心平面上的 $F(x,y)=(x^2-y^2,2xy)$，有 $\det DF=4(x^2+y^2)>0$。它处处局部可逆，但 $F(x,y)=F(-x,-y)$。环域 $1\le r\le2$ 两次映满环域 $1\le\rho\le4$。

像的面积为 $15\pi$，而

$$\iint_{1\le r\le2}|\det DF|\,dA =\int_0^{2\pi}\int_1^2 4r^3\,dr\,d\theta=30\pi.$$

因子二反映重叠覆盖。全局单射性正是保证不同像格子除零测面外不相交的条件。限制到单射分支并记录其重叠，便可区分两次遍历与普通像面积。

分级定理与应用练习

1. 假设审查。 解释紧包含 $K\subset U$ 和全局单射为何在逻辑上不同于导数行列式非零。给出一个边界与定义域的例子，说明不通过广义积分极限就不能直接应用本定理。
2. 证明机制。 准确指出一致小立方体相对误差和 Jordan 边界层估计在连续情形的证明中各用于何处。为何该论证中两者都不可或缺？
3. 非线性剪切。 验证 $(u,v)\mapsto(u,v+u^2)$ 的逆映射和行列式，并重算其 $y$ 的积分以及所示上半部分阶梯函数的积分。
4. 覆盖。 验证复平方映射的行列式和环域上的二对一描述。解释若悄然去掉单射性，定理证明的哪一步会重复计数。
5. 有界 Riemann 推广。 解释有限阶梯夹逼的拉回为何 Jordan 可积，以及不等式乘以 $J$ 为何保持方向。说明证明对于任意有界不可积函数没有建立什么结论。
6. 三维情形。 对单位立方体使用 $T(u,v,w)=(u,v,w+u^2+v^2)$，求像的体积和 $\iiint_{T(K)}z\,dV$，并验证所有映射与定义域条件。

完整解答

1. 行列式非零只是局部条件。它既不能保证靠近缺失定义域边界时导数与逆矩阵有界，也不能阻止相距很远的不同输入有同一像。例如 $T(x)=1/x$ 在 $(0,\infty)$ 上是微分同胚，但 $(0,1]$ 不紧包含于该定义域，且其像无界。此处的替换属于广义积分问题，须截断并证明收敛，不能直接应用上述紧集定理。复平方环域则给出另一个独立例子：尽管行列式处处非零，全局单射仍失效。
2. 一致相对误差控制把每个曲线格子的体积替换为 $J(c)h^n$；求和后误差至多为 $M\beta(h)$ 乘以固定包含长方体的体积，趋于零。边界层界以 $MCb_h$ 控制完全内部源格子未覆盖的目标点。仅有内部线性近似会遗漏该层，而仅有边界控制不能确定内部体积密度。两项估计都是等式证明中的明确组成部分。
3. 解 $x=u,y=v+u^2$ 得 $u=x,v=y-x^2$，这是全局光滑逆映射。行列式为一。单位正方形上变换后的 $y$ 为 $v+u^2$，积分为 $1/2+1/3=5/6$。$y\ge x^2+1/2$ 的示性函数变为 $v\ge1/2$ 的示性函数，其正方形积分为 $1/2$。边界及分隔图线均为 Jordan 零测，故其上有界赋值不改变结果。
4. 导数矩阵为 $\begin{pmatrix}2x&-2y\\2y&2x\end{pmatrix}$，行列式为 $4(x^2+y^2)$。以极坐标表示时，它将半径平方、角度加倍，故所述环域中每个像点恰有两个互为对径的原像。源上的行列式积分为 $30\pi$，像面积为 $15\pi$。有限像格子的可加性步骤会失效：不同源区域的像在正面积上重叠，而不只是在零测的面上相交。
5. 每个网格原像部分的边界包含于 $\partial K$ 与有限多个目标面的逆像之并中。由 $T^{-1}$ 的有限覆盖引理，二者均 Jordan 零测，所以每一部分都是 Jordan 集。连续函数 $J$ 乘以其示性函数是 Riemann 可积的。行列式绝对值非负，故上下不等式方向不变。论证假设目标函数 Riemann 可积，以获得任意接近的 Darboux 夹逼；任意有界函数可能没有这种夹逼，本定理并不断言它们的拉回可积。
6. 逆映射为 $(x,y,z)\mapsto(x,y,z-x^2-y^2)$，在整个 $\mathbb R^3$ 上光滑。三角导数矩阵的行列式为一；立方体是该开定义域内的紧 Jordan 集。其像为曲面夹层 $0\le x,y\le1$、$x^2+y^2\le z\le x^2+y^2+1$，体积为一。变换后的被积函数为 $w+u^2+v^2$，其立方体积分为 $1/2+1/3+1/3=7/6$。这说明定理的有限维形式超越平面面积。

总结

变量替换结合了 Jordan 边界保持性和一致双侧格子体积估计。内部和因相对误差一致而收敛，边界层体积则趋于零。有限 Darboux 夹逼继而将连续公式推广到有界 Riemann 可积函数。非线性剪切、极坐标截断和双重覆盖例子展示了计算时如何验证假设。