基与维数

张成列表可以表示空间中的每个向量，但相依列表可能用不同的系数表示同一个向量。同时要求张成与线性独立，就能使每个表示唯一。基把这两个条件结合起来。

定义

基

若一组向量 $\{u_1, u_2, \ldots, u_m\}$ 同时满足以下两个条件：

1. $u_1, u_2, \ldots, u_m$ 线性独立；
2. $\operatorname{Span}\{u_1, u_2, \ldots, u_m\} = V$；

那它就是向量空间 $V$ 的一组基。

本节使用实数标量，写出的基都是有限列表。固定次序 $(u_1,\ldots,u_m)$ 后，每个向量的坐标唯一：张成性保证表示存在；若 $x=\sum a_i u_i=\sum b_i u_i$，相减得 $\sum(a_i-b_i)u_i=0$，独立性便推出每个 $a_i=b_i$。因此，存在性与唯一性来自定义的不同部分。

张成与独立回答不同的问题

下方图解区分基的两个条件：张成使每个目标都能表示，独立排除冗余表示。维数记录基的共同大小；后文会给出计数证明。

比较互为倍数的两个生成向量与线性独立的两个生成向量，分别确定它们的张成。

标准基是最典型的例子

学生最先接触到的基，通常是 $R^3$ 的标准基：

$$e_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad e_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad e_3 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}.$$

这三个向量的重要之处，在于它们各自只负责一个坐标方向。

例题

为什么 $R^3$ 的标准基真的是一组基

要证明 $\{e_1, e_2, e_3\}$ 是 $R^3$ 的一组基，你必须检查两个条件。

先看张成。若

$$x = \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix},$$

那么

$$x = a e_1 + b e_2 + c e_3.$$

所以 $R^3$ 里每个向量都可以由 $e_1, e_2, e_3$ 组合出来。

再看线性独立。若

$$\alpha_1 e_1 + \alpha_2 e_2 + \alpha_3 e_3 = 0,$$

逐个坐标比较，就得到

$$\alpha_1 = 0,\quad \alpha_2 = 0,\quad \alpha_3 = 0.$$

因此唯一的线性关系就是平凡关系。

两个条件都成立，所以 $\{e_1, e_2, e_3\}$ 是 $R^3$ 的一组基。

这个例子也说明了基坐标有多实用：一旦基固定，系数 $a$、$b$、$c$ 就完整地告诉你怎样重建原来的向量。

为什么基里向量的个数这么重要

不同的基可以由不同向量组成。定义维数之前，必须先证明它们的向量个数相同。

定理

同一个空间的任何基都有相同数目

若 $B_1$ 和 $B_2$ 都是同一实向量空间 $V$ 的有限基，则两组基所含的向量数目相同。

正因如此，维数才是一个定义良好的概念。否则，“基里有多少个向量”这件 事会随着你选哪一组基而改变，维数就不能成为一个稳定量。

这个定理背后有一个基本的计数原理。

定理

在已被张成的空间中，太多向量必定相依

若 $\{v_1,\ldots,v_m\}$ 张成向量空间 $V$，则 $V$ 中任何多于 $m$ 个 向量的集合都必定线性相依。

证明

先数系数，再定义维数

目标是在 $n\gt m$ 个向量 $u_j\in V$ 之间找出非平凡关系，只使用 $m$ 个向量 $v_i$ 张成 $V$ 这一假设。写成

$$u_j=\sum_{i=1}^m a_{ij}v_i,\qquad C=(a_{ij})\in M_{m,n}(\mathbb R).$$

系数矩阵有 $m$ 行、$n$ 列。消元最多产生 $m$ 个主元，所以齐次系统 $Cc=0$ 有自由变量，并有非零解 $c\in\mathbb R^n$。对这个解，

$$\sum_{j=1}^n c_ju_j =\sum_{i=1}^m\left(\sum_{j=1}^n a_{ij}c_j\right)v_i=0.$$

这就是所需的非平凡关系。令各个系数表达式为零，是让向量和为零的充分条件。这里没有假设生成向量 $v_i$ 独立，所以不能反过来断言任意为零的向量和都要求相对于该列表的系数为零。若 $m=0$，其张成是零子空间，其中任何非空列表都只含零向量，直接就是相依的。

现在设两组有限基分别有 $r,s$ 个向量。第一组张成，而第二组独立，因此 $s\le r$；交换两组的角色得 $r\le s$，故 $r=s$。论证使用前面的齐次系统定理，并未先使用维数，因此随后用基的大小定义维数不会循环论证。

维数就是独立方向的数目

定义

维数

向量空间 $V$ 的维数，记作 $\dim(V)$，就是 $V$ 的任意一组基所含的向量 数目。

维数量度的是：这个空间究竟有多少个真正独立的方向。

• $\dim(R^m) = m$
• $\dim(M_{mn}) = mn$
• $\dim(P_n) = n + 1$
• 所有实系数多项式所成的空间是无限维，因为任何有限列表都无法张成 所有幂次 $1,x,x^2,\ldots$。

零子空间是特别情况：

$$\dim(\{0\}) = 0.$$

它的基是空列表：唯一的线性组合是定义为零的空和，也不存在非平凡系数关系。单元素集合 $\{0\}$ 虽然张成零子空间，却线性相依，所以不是基。

子空间有自己的维数

一个向量可以有三个分量，却属于只有两个独立方向的空间。下面的例子区分外层坐标的个数与子空间本身的维数。

例题

$R^3$ 里一个平面的基

令

$$W = \left\{ \begin{bmatrix} x \\ y \\ 0 \end{bmatrix} : x, y \in R \right\}.$$

这就是 $R^3$ 中的平面 $z = 0$。

考虑

$$u_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \qquad u_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}.$$

$W$ 中每个向量都可以写成

$$\begin{bmatrix} x \\ y \\ 0 \end{bmatrix} = x u_1 + y u_2,$$

因此 $u_1$ 和 $u_2$ 张成 $W$。

它们也线性独立，因为

$$\alpha_1 u_1 + \alpha_2 u_2 = 0$$

必有 $\alpha_1 = \alpha_2 = 0$。

所以 $\{u_1, u_2\}$ 是 $W$ 的一组基，而

$$\dim(W) = 2.$$

由此可见，维数不是在数“向量有多少个坐标”，而是在数“这个空间本身有 多少个独立方向”。

维数如何变成捷径

一旦你知道某个空间的维数，很多基问题就会变得短得多。

若 $\dim(V) = m$，那么：

• $V$ 中任何 $m$ 个线性独立向量都会自动形成基；
• $V$ 中任何 $m$ 个能张成 $V$ 的向量都会自动形成基；
• 少于 $m$ 个向量不可能张成 $V$；
• 多于 $m$ 个向量不可能全部保持线性独立。

这就是维数的威力。当向量数目已经和维数吻合时，你往往只需完成一半检 查，就能推出整个结论。

这件事可以整理成一个很有用的三项判准。设 $u_1,\ldots,u_n$ 是子空 间 $W$ 中的向量。考虑以下三个陈述：

1. $\dim(W)=n$；
2. $u_1,\ldots,u_n$ 线性独立；
3. $\operatorname{Span}\{u_1,\ldots,u_n\}=W$。

只要其中任意两项成立，第三项就会自动成立，而 $\{u_1,\ldots,u_n\}$ 就是 $W$ 的一组基。

这通常是写解答时最干净的方法。你不必每次都从头证明“线性独立”和 “张成”两件事；先找出维数，再证明两者之中较容易的一项，另一项便由 定理补上。

例题

在 $R^3$ 中用维数省去第二轮计算

令

$$u_1=\begin{bmatrix}1\\2\\2\end{bmatrix},\quad u_2=\begin{bmatrix}2\\3\\4\end{bmatrix},\quad u_3=\begin{bmatrix}3\\8\\7\end{bmatrix}.$$

我们要证明这三个向量形成 $R^3$ 的一组基。

先检查线性独立。方程

$$c_1u_1+c_2u_2+c_3u_3=0$$

的系数矩阵是

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 3 & 8\\ 2 & 4 & 7 \end{bmatrix}.$$

行化简可得一个每一列都有主元的阶梯形，例如

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & 1 & -2\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.$$

因此齐次方程只有平凡解，$u_1,u_2,u_3$ 线性独立。

由于 $\dim(R^3)=3$，$R^3$ 中三个线性独立向量会自动张成 $R^3$。所以 这三个向量形成一组基。重点不是忽略张成条件，而是由维数定理提供张成 结论。

非平凡零组合可以检验给定列表中的冗余。

延伸与缩减向量列表

定理

延伸与删减的结果

若 $\dim(V)=m>0$，则：

1. 少于 $m$ 个向量不可能张成 $V$；
2. 任何少于 $m$ 个向量的线性独立集合，都可以延伸成 $V$ 的一组基；
3. 任何多于 $m$ 个向量的张成集，都可以通过删去冗余向量而缩减成一组 基。

基也是按包含关系极小的张成集：删去任一成员都会失去张成性，否则该成员便可由其余成员表示。反之，相依的张成列表可按冗余定理缩短。基又是 $V$ 中按包含关系极大的独立列表，因为任何新向量都已在其张成内；反之，若独立列表未张成 $V$，加入张成外的向量仍保持独立。这些都是包含关系的结论，不能只凭列表长度猜测。

零空间：用 rank-nullity 检查基

对齐次方程组来说，维数捷径会变得特别具体。设 $A$ 是一个 $p \times q$ 矩阵，rank 为 $r$。则

$$\dim(N(A)) = q-r.$$

含 $r$ 个主元的 RREF 有 $q-r$ 个自由坐标。每次把一个自由坐标取为一、其余取为零，便得到一个零空间向量。任意解都是这些向量的组合，而零组合中的自由坐标又迫使各系数为零，所以它们构成基；$q=r$ 时所得基为空。这里的秩按主元个数计算；6.6 列空间、行空间与秩 将证明它也等于行空间与列空间的维数。

所以 $u_1,\ldots,u_n$ 成为 $N(A)$ 的一组基，正好等价于以下三项检 查同时通过：

1. 每个向量真的在零空间中，即 $Au_j=0$；
2. 候选向量数目正确，即 $n=q-r$；
3. 候选向量线性独立。

这样便不需要直接证明完整的集合相等 $N(A)=\operatorname{Span}\{u_1,\ldots,u_n\}$。

例题

检查一组候选向量是否为零空间基

令

$$A= \begin{bmatrix} 1&2&0&1\\ 1&1&1&-1\\ 3&1&5&-7 \end{bmatrix}, \qquad W=N(A),$$

并令

$$u_1=\begin{bmatrix}1\\-1\\1\\1\end{bmatrix}, \qquad u_2=\begin{bmatrix}5\\-3\\-1\\1\end{bmatrix}.$$

先检查向量是否属于 $W$。直接相乘可得 $Au_1=0$ 和 $Au_2=0$，所以两个向量都 属于 $W$。

接着计算 $W$ 的维数。$A$ 的一个行阶梯形是

$$\begin{bmatrix} 1&0&2&-3\\ 0&1&-1&2\\ 0&0&0&0 \end{bmatrix},$$

所以 $\operatorname{rank}(A)=2$。由于 $A$ 有四列，

$$\dim(N(A))=4-2=2.$$

最后检查线性独立。把候选向量放入一个矩阵：

$$U=[u_1\ u_2] = \begin{bmatrix} 1&5\\ -1&-3\\ 1&-1\\ 1&1 \end{bmatrix}.$$

行化简后每一列都有主元，所以 $u_1,u_2$ 线性独立。这两个向量属于 $W$，而 $W$ 的维数为二，所以 $u_1,u_2$ 形成 $N(A)$ 的一组基。

失败情况同样重要：

• 若某个 $u_j$ 不满足 $Au_j=0$，这组向量不可能是 $N(A)$ 的基；
• 若列表长度少于或多于 $q-r$，向量数目已经错了；
• 若列表长度正确但线性相依，它仍然不是基。

从生成列表抽出最小张成集

有时输入不是一组干净的候选基，而是一长串生成向量。这时常见问题是： 这些向量张成的空间维数是多少？有没有办法从原列表中抽出一组基？最有效的 方法是用主元列位置。

定理

主元列给出最小张成集

设

$$W=\operatorname{Span}\{u_1,\ldots,u_q\}\subseteq R^n, \qquad U=[u_1\ u_2\ \cdots\ u_q].$$

对 $U$ 做行化简。若化简后矩阵的主元列位置是 $d_1,\ldots,d_r$，则

$$\{u_{d_1},\ldots,u_{d_r}\}$$

是 $W$ 的一组基，而且 $\dim(W)=r$。

主元位置由化简后的矩阵读出，但基向量本身要取自原列表。这和列空间的基 规则是同一个原理。

例题

从生成列表抽出基

令 $W=\operatorname{Span}\{u_1,u_2,u_3\}$，其中

$$u_1=\begin{bmatrix}0\\-1\\2\end{bmatrix}, \quad u_2=\begin{bmatrix}1\\-2\\7\end{bmatrix}, \quad u_3=\begin{bmatrix}-2\\3\\-12\end{bmatrix}.$$

把它们放成 $U$ 的列：

$$U= \begin{bmatrix} 0&1&-2\\ -1&-2&3\\ 2&7&-12 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1&0&1\\ 0&1&-2\\ 0&0&0 \end{bmatrix}.$$

主元列是第 $1$ 列和第 $2$ 列，所以

$$\{u_1,u_2\}$$

是 $W$ 的一组基，并且 $\dim(W)=2$。非主元列也给出冗余关系：

$$u_3=u_1-2u_2.$$

同维数的子空间

维数也控制一个子空间何时等于另一个子空间。设 $W$ 是有限维空间，$V$ 是 $W$ 的子空间，且两者使用相同的实数标量，则

$$\dim(V) \le \dim(W).$$

此外，

$$\dim(V)=\dim(W) \quad\text{当且仅当}\quad V=W.$$

包含关系这个假设很重要。单单维数相等，不足以推出两个子空间相等。例 如 $R^2$ 中两条不同的过原点直线都具有维数 1，但它们互不包含。上 述定理只在你已知道其中一个子空间包含于另一个子空间时使用。

等维推出相等的理由是：取 $V$ 的一组基，它在 $W$ 中独立，且向量数目为 $\dim W$，因此按维数判据也是 $W$ 的基。它的张成同时等于两个空间。这个计数论证需要有限维假设；前面提到无限维多项式空间，并不表示这里的判据可推广到任意无限维包含关系。

例题

用维数证明两个子空间相等

令

$$V=\operatorname{Span}\left\{ \begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix} \right\}$$

并令

$$W=\left\{ \begin{bmatrix}x\\y\\0\end{bmatrix}:x,y\in R \right\}.$$

$V$ 中每个向量的第三个坐标都是零，所以 $V \subseteq W$。前面的平面 例子也告诉我们 $\dim(W)=2$。另一方面，给出的 $V$ 的两个生成向量线 性独立，所以 $\dim(V)=2$。

因此 $V$ 是 $W$ 的子空间，而且两者维数同为 2。由可比较子空间的维数 定理可得 $V=W$。

常见错误

常见错误

维数不是单纯在数坐标个数

$R^3$ 的子空间可以有 0、1、2 或 3 维。外层空间只告诉你向量有多少个坐 标；维数告诉你该子空间本身有多少个真正独立方向。

另一个常见错误，是检查完张成就停下来。能张成整个空间，并不代表那组 向量已经没有冗余。

快速检查

思考检查

$\{(1,0), (2,0)\}$ 可以成为 $R^2$ 的一组基吗？

不要只看向量数目，要把两个基条件都想一遍。

解答 · 答案

不可以。这两个向量方向相同，所以线性相依；而且它们无法张成垂直方向， 因此也张不出整个 $R^2$。所以它们不是一组基。

思考检查

若 $\dim(V) = 3$，而你已经找到 $V$ 中三个线性独立向量，还要再证明什么？

用本节的维数捷径来想。

解答 · 答案

基本上不用再证明别的。因为在一个三维空间里，任何三个线性独立向量都 会自动形成一组基，所以它们已经张成 $V$。

练习

思考检查

向量 $u_1 = (1,1,0)$、$u_2 = (1,0,1)$、$u_3 = (0,1,1)$ 是否形成 $R^3$ 的一组基？

先试线性独立。若它们独立，维数会替你完成后半段。

解答 · 引导解答

令

$$\alpha_1 u_1 + \alpha_2 u_2 + \alpha_3 u_3 = 0.$$

逐个坐标比较，可得

$$\alpha_1 + \alpha_2 = 0,\quad \alpha_1 + \alpha_3 = 0,\quad \alpha_2 + \alpha_3 = 0.$$

以前两式相减，可得 $\alpha_2 = \alpha_3$。再代入第三式，就得到 $2\alpha_2 = 0$，因此 $\alpha_2 = 0$，进而 $\alpha_1 = \alpha_3 = 0$。

所以三个向量线性独立。由于 $R^3$ 的维数是 3，这三个向量便自动形成 $R^3$ 的一组基。

先备链接

这一节建立在 6.4 线性相依与线性独立 和 6.3 线性组合与张成 之上。