4.1 齐次方程组与零空间

若 $x$ 与 $x_p$ 都是 $Ax=b$ 的解，则它们的差满足 $A(x-x_p)=b-b=0$。 因此，描述全部解的问题归结为：对一个已知解作哪些改变，能够保持右端不变？ 这些改变恰好组成相应齐次方程组的零空间。

为什么齐次方程组特别

定义

齐次方程组

齐次线性方程组是形如

$$Ax = 0$$

的线性方程组。

其中 $x = 0$ 称为平凡解。

由于 $A0=0$，齐次方程组一定一致。需要判断的是：除了零向量之外，是否还有非平凡解。

零空间把所有齐次解收集起来

定义

零空间

对实 $m\times n$ 矩阵 $A$，其零空间定义为

$$N(A) = \{x\in\mathbb R^n : Ax = 0_m\}.$$

因此 $N(A)$ 就是齐次方程组 $Ax = 0$ 的解集。

输入向量属于 $\mathbb R^n$，输出向量属于 $\mathbb R^m$。判断输入是否属于 $N(A)$，就是检查输出是否为零向量。

例题

零空间成员测试其实很直接

令

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}, \qquad x = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}, \qquad z = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}.$$

计算得到

$$Ax = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \qquad Az = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}.$$

因此 $x \in N(A)$，但 $z \notin N(A)$。要测试某个向量是否属于零空间， 最直接的方法就是实际计算 $Ax$。

行化简会揭示零空间的形状

要找 $N(A)$，就是解 $Ax = 0$，也就是对增广系统 $[A \mid 0]$ 做行化简。 主元告诉你哪些变量被决定，自由变量则告诉你剩下多少自由方向。

例题

解一个齐次方程组并描述零空间

令

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 4 & -2 \end{bmatrix}.$$

要求解 $Ax = 0$，把它行化简：

$$\left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 0 \\ 2 & 4 & -2 & 0 \end{array} \right] \sim \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right].$$

所以方程变成

$$x_1 + 2x_2 - x_3 = 0.$$

令 $x_2 = s$、$x_3 = t$ 为自由变量，则

$$x_1 = -2s + t.$$

因此

$$x = \begin{bmatrix} -2s + t \\ s \\ t \end{bmatrix} = s \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}.$$

所以

$$N(A) = \operatorname{Span} \left\{ \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \right\}.$$

这里 $\operatorname{Span}$ 表示所列向量的全部实线性组合。参数 $s$ 与 $t$ 可以独立取值，因此公式给出了所有齐次解。相应的集合记号见 4.2 集合语言与解集。

观看齐次系统如何产生零空间方向，以及一个特解如何平移这些方向，描述 Ax=b 的全部解。

1. 平凡解

   齐次系统永远相容，因为 x=0 会给出 A0=0。真正问题是是否还有非零解。

2. 零列保持为零

   对 [A|0] 做行化简时，增广零列仍然是零，因此系数矩阵的 RREF 决定齐次解结构。

3. 自由变量成为方向

   主元变量由自由变量决定。每次只设定一个自由变量，便得到一个零空间方向向量。

4. 零空间

   N(A)={x:Ax=0} 不是一些例子的清单，而是整个齐次解集，通常写成方向向量的所有线性组合。

5. 由一个特解平移

   若 p 解 Ax=b，则每个 p+q（其中 q 属于 N(A)）也解 Ax=b，而且所有解都如此得到。

6. 自由度与唯一性

   若 N(A)={0}，相容系统只有一个解。若 N(A) 有非零方向，加入其倍数便得到无限多解。

齐次系统 Ax=0 告诉你方程留下哪些自由方向。若 Ax=b 相容，一个特解会把这些方向放到正确右端的位置，因此完整解集是 p+N(A)。

为什么自由变量会迫出无限多个齐次解

定理

只要有自由变量，就有无限多个解

如果齐次系统 $Ax = 0$ 至少有一个自由变量，那么它就会有无限多个解。

自由变量可以取任意实数。因为它本身就是解向量的一个坐标，改变其数值必然改变整个向量。以实际自由坐标作为参数时，参数不可能从完整的解向量中消失。

如果变量个数多于主元方程个数，就至少有一个自由变量。同一论证说明，此时齐次方程组有无限多个解。

例题

一个自由变量已经会产生整条解线

假设行化简后得到

$$x_1 - 3x_2 = 0.$$

如果令 $x_2 = t$，那么 $x_1 = 3t$，所以所有解都可以写成

$$\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = t \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \end{bmatrix}, \qquad t \in R.$$

由于 $t$ 可以取无限多个值，而不同的值给出不同的向量，所以解集有无限多个元素。

例题

零空间也可能只剩平凡解

令

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}.$$

那么 $Ax = 0$ 就只是

$$x_1 = 0, \qquad x_2 = 0.$$

因此唯一解是零向量，所以

$$N(A) = \{0\}$$

这个例子与前面有自由变量的情形刚好相反。

零空间本身是一个子空间

两个齐次解相加，或把齐次解乘以一个实标量，仍然得到齐次解。连同零向量的存在，这些正是定义 $\mathbb R^n$ 的子空间所需的封闭性质。

定理

零空间对线性组合封闭

对任何矩阵 $A$，$N(A)$ 都是一个子空间。特别是：

• $0 \in N(A)$；
• 若 $u, v \in N(A)$，则 $u + v \in N(A)$；
• 若 $u \in N(A)$ 而 $c$ 是纯量，则 $cu \in N(A)$。

证明

为什么零空间是子空间

我们已经知道 $0 \in N(A)$，因为 $A0 = 0$。

若 $u, v \in N(A)$，则 $Au = 0$、$Av = 0$。由线性性质，

$$A(u+v) = Au + Av = 0 + 0 = 0,$$

所以 $u+v \in N(A)$。

同样，若 $u \in N(A)$ 而 $c$ 是纯量，则

$$A(cu) = c(Au) = c \cdot 0 = 0,$$

因此 $cu \in N(A)$。

一般的子空间定义与封闭性判别见 6.2 子空间。这里的计算已经证明了对零空间向量作线性组合所需的性质。

怎样由 RREF 读出零空间基底

基底是一组线性独立的张成向量。对 $N(A)$，自由坐标的描述直接给出这样一组向量：它们生成每个解，而只有全零系数才能组合出零向量。一般的定义见 6.5 基与维数。

具体构造如下：

1. 先把 $A$ 行化简；
2. 分清楚主元变量与自由变量；
3. 每次把一个自由变量设成 $1$，其余自由变量设成 $0$；
4. 再由方程解回主元变量；
5. 对每个自由变量重复一次。

这些向量确实构成一组基底，而不只是候选。设共有 $k$ 个自由坐标，$v_j$ 是把第 $j$ 个自由坐标取一、其余自由坐标取零后得到的解。对任意 $x\in N(A)$，记其自由坐标为 $t_1,\ldots,t_k$。由封闭性，$t_1v_1+\cdots+t_kv_k$ 仍是齐次解，其自由坐标与 $x$ 完全相同，而化简后的主元方程唯一确定其余坐标。因此这个组合等于 $x$，证明了张成。

再证明独立性：若 $c_1v_1+\cdots+c_kv_k=0$，则其第 $j$ 个自由坐标恰好为 $c_j$，因为只有 $v_j$ 在该位置取一。因此所有 $c_j=0$，无需再次消元便证得线性独立。这些向量于是构成基底，其数目就是零度。若没有自由变量，零空间是 $\{0\}$，其基底为空列表，而不是含有零向量的列表；这与零度为零相符。

零度等于自由坐标的数目

刚才构造的基底对每个自由坐标恰有一个向量。基底的向量数就是 $N(A)$ 的维数，称为 $A$ 的零度。若一个 $m\times n$ 矩阵的 RREF 有 $r$ 个主元，就有 $n-r$ 个自由变量，因此

$$\operatorname{nullity}(A)=n-r.$$

主元数 $r$ 称为秩；这个数不依赖所选的化简过程，其理由见 5.2 RREF 的唯一性与秩。用秩表示，上式就是

$$\operatorname{nullity}(A)=n-\operatorname{rank}(A).$$

齐次解控制非齐次解的结构

一旦找到 $Ax=b$ 的一个特解 $x_p$，齐次解就给出了保持右端不变的全部改变量。

定理

所有解都等于某个特解加上一个零空间向量

设 $x_p$ 是 $Ax = b$ 的一个特解。

则向量 $x$ 是 $Ax = b$ 的解，当且仅当

$$x = x_p + v$$

其中 $v \in N(A)$。

若把解集记为 $S(A,b)$，定理即为 $S(A,b)=x_p+N(A)$。

证明

为什么全部解都具有 $x_p + N(A)$ 的形式

先设 $x$ 是 $Ax = b$ 的任意一个解。那么

$$Ax = b \qquad \text{且} \qquad Ax_p = b.$$

相减得

$$A(x - x_p) = 0.$$

所以 $x - x_p \in N(A)$，即 $x = x_p + v$，其中 $v \in N(A)$。

反过来，若 $v \in N(A)$，则 $Av = 0$。因此

$$A(x_p + v) = Ax_p + Av = b + 0 = b.$$

所以任何形如 $x_p + v$ 的向量，也必定是系统的解。

概念视角几何

把整个零空间作同一个平移

固定一个特解 $x_p$ 后，$x_p+N(A)$ 表示所有 $x_p+v$ 组成的集合，其中 $v\in N(A)$。加上 $x_p$ 就是让零空间的每个点作同一个位移。这建立了齐次解与非齐次解之间的一一对应，逆过程是减去 $x_p$。前面的证明分别说明了平移后的每个点都有效，以及每个解都能这样得到。

特解本身一般不唯一，但平移所得的集合与特解选择无关。若 $x_q$ 是另一个解，则 $h=x_q-x_p\in N(A)$。对每个 $v\in N(A)$，有 $x_q+v=x_p+(h+v)$，而封闭性保证 $h+v\in N(A)$。因此 $x_q+N(A)\subseteq x_p+N(A)$；把 $h$ 换成 $-h$ 可得反向包含。沿解集选择不同起点，描述的仍是同一个解族。

一致性不可省略：没有特解，就无法开始这个描述。当 $b\ne0$ 时，一致方程组的解集不含零向量，因为 $A0=0\ne b$。它是子空间的平移，称为仿射子空间，却不是向量子空间；两个解相加后对应的右端是 $2b$，而非 $b$。只有在齐次情形 $b=0$，解集才就是零空间本身。

例题

用一个特解与两个零空间方向描述全部解

假设系统 $Ax=b$ 有一个已知解

$$p= \begin{bmatrix} 1\\0\\-1\\0\\1\\0 \end{bmatrix},$$

而齐次系统 $Ax=0$ 有以下两个解方向：

$$q_1= \begin{bmatrix} 2\\-3\\1\\0\\0\\0 \end{bmatrix}, \qquad q_2= \begin{bmatrix} -3\\1\\0\\-2\\2\\1 \end{bmatrix}.$$

若这两个方向张成 $N(A)$，那么 $Ax=b$ 的所有解都可写成

$$x=p+s q_1+t q_2, \qquad s,t\in R.$$

展开来看，就是

$$x= \begin{bmatrix} 1\\0\\-1\\0\\1\\0 \end{bmatrix} +s \begin{bmatrix} 2\\-3\\1\\0\\0\\0 \end{bmatrix} +t \begin{bmatrix} -3\\1\\0\\-2\\2\\1 \end{bmatrix}.$$

这里 $Ap=b$，而 $Aq_1=Aq_2=0$。向量 $p$ 给出所需的输出，方向 $q_1$ 与 $q_2$ 则允许输入改变而保持输出不变。它们张成整个零空间这一条件，保证了公式能够给出每个解。

一维零空间对应的仿射直线

例题

把所有解写成特解加零空间

假设系统 $Ax = b$ 有一个特解

$$x_p = \begin{bmatrix} 3 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix},$$

并且

$$N(A) = \operatorname{Span} \left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix} \right\}.$$

那么所有解都可写成

$$x = \begin{bmatrix} 3 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 + t \\ -t \\ 1 \end{bmatrix}, \qquad t \in R.$$

零空间给出自由方向；特解则决定这整个解族位于哪里。

缩放一个解通常会改变右端。若要解另一个方程组，可以直接核对缩放的效果：若 $Ap=b$，则

$$2A\left({3\over 2}p\right)=3Ap=3b.$$

所以 ${3\over 2}p$ 是 $2Ax=3b$ 的一个解。这并不是说任何解集都可以任意 缩放；这里可行，是因为系数矩阵与右边同时被缩放，而且计算直接验证了结论。

齐次解与列向量相关性的关系

如果把 $A$ 的列写成 $a_1, a_2, \ldots, a_n$，那么

$$Ax = 0$$

其实就等价于

$$x_1 a_1 + x_2 a_2 + \cdots + x_n a_n = 0.$$

所以只要齐次系统有一个非平凡解，就等价于 $A$ 的列向量之间存在一条非平凡 线性关系。

例题

一个非平凡零空间向量就是一条相关关系

假设

$$x = \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix} \in N(A).$$

那么 $Ax = 0$ 就表示

$$1 \cdot a_1 - 2 \cdot a_2 + 1 \cdot a_3 = 0.$$

这句话正是一条关于 $A$ 的列向量的非平凡相关关系。

零空间如何决定唯一性

由这个结构定理可以立刻得到：

• 若 $N(A) = \{0\}$，则一致系统 $Ax = b$ 只有唯一解；
• 若 $N(A)$ 含有非零向量，则每个一致系统 $Ax = b$ 都有无限多解， 因为你可以在特解上加上任意标量倍的零空间向量。

一致性假设不可省略：零空间只有零向量，保证的是每个右端至多有一个解，并不能单独保证解存在。

左乘矩阵可能丢失方程信息

行变换保留齐次解集，是因为每一步都可逆；一般的矩阵乘子却未必可逆。准确的结论必须明确写出集合包含的方向。

定理

左乘矩阵时零空间的包含关系

设 $A$ 是实 $m\times n$ 矩阵，$G$ 是实 $p\times m$ 矩阵，则

$$N(A)\subseteq N(GA).$$

如果 $G$ 是可逆方阵，则 $N(A)=N(GA)$。

证明

逆矩阵在哪个方向发挥作用？

任取 $x\in N(A)$，则 $Ax=0_m$，所以 $(GA)x=G(Ax)=G0_m=0_p$。因此 $x\in N(GA)$，证明了任意相容乘子下的包含关系。注意，即使两矩阵行数不同，两个零空间中的向量仍都属于 $\mathbb R^n$。

反向包含则假设 $G$ 是可逆方阵，因此 $p=m$，并取 $x\in N(GA)$。由 $GAx=0_p$ 左乘 $G^{-1}$，得 $Ax=G^{-1}0_p=0_m$，所以 $x\in N(A)$。只有这个方向使用了逆矩阵；结合两个包含关系，才得到集合相等。

$GA$ 的每一行都是 $A$ 各行的线性组合，因此新方程都是旧方程的推论，每个旧解必然满足新方程。若组合过程丢失了信息，就可能产生额外的解。这解释了为什么不能随意用一般行组合代替初等行变换，而不检查保留了哪些约束。

例题

丢失一个约束的矩阵乘子

取

$$A=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix},\qquad G=\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}.$$

则 $GA=[1\ 0]$。原方程 $Ax=0$ 同时要求 $x_1=0$ 与 $x_2=0$；新方程只要求 $x_1=0$。所以

$$N(A)=\{0_2\},\qquad N(GA)=\left\{\begin{bmatrix}0\\t\end{bmatrix}:t\in\mathbb R\right\}.$$

向量 $(0,1)^T$ 属于第二个集合而不属于第一个，因此包含严格。这里直接核对了丢失的条件，而不是只比较方程条数。可逆性保证相等，却不是对每个特定 $A$ 都必要的条件：若 $A$ 是零矩阵，即使乘子不可逆，两个零空间仍都等于 $\mathbb R^n$。不能自动把定理倒转。

堆叠方程对应零空间的交集

另一种组合方程组的方法，是把全部方程一起保留。堆叠与只取某些行组合不同，它不会舍弃其中任何条件。

定理

堆叠矩阵的零空间

设实矩阵 $A$ 的大小为 $m\times n$，$B$ 的大小为 $p\times n$。令

$$C=\begin{bmatrix}A\\B\end{bmatrix},$$

则 $N(C)=N(A)\cap N(B)$。交集表示同时属于两个集合；行数可以不同，列数却必须相同。

证明

双向证明堆叠矩阵恒等式

先取 $x\in N(C)$。由分块乘法，

$$0_{m+p}=Cx=\begin{bmatrix}Ax\\Bx\end{bmatrix}.$$

比较上方的 $m$ 个元素与下方的 $p$ 个元素，分别得到 $Ax=0_m$ 与 $Bx=0_p$。因此 $x$ 属于两个零空间，也就属于它们的交集。

反过来，取 $x\in N(A)\cap N(B)$。集合成员条件同时给出 $Ax=0_m$ 与 $Bx=0_p$。把两个输出堆叠，得到

$$Cx=\begin{bmatrix}0_m\\0_p\end{bmatrix}=0_{m+p},$$

故 $x\in N(C)$。两个方向的成员关系都已核对，集合相等于是成立。

例如，堆叠 $A=[1\ 0\ 0]$ 与 $B=[0\ 1\ 0]$，就是同时施加 $x_1=0$ 与 $x_2=0$，留下的恰好是 $(0,0,t)^T$。各自的零空间都较大，但交集只保留共同向量。重复堆叠同样可以表示有限多个齐次解集的交集。下一节会用此恒等式区分保留每条方程，与只保留方程的某个线性组合。

常见错误

常见错误

零向量永远属于零空间

有些同学会误以为齐次方程组可能没有解。这是不可能的，因为 $x = 0$ 永远 满足 $Ax = 0$。

常见错误

找到一个特解，不等于已经找到全部解

即使你已经找到某个 $x_p$ 满足 $Ax_p = b$，仍然要把整个零空间加上去，才 算完整描述了解集。

常见错误

不要把特解与方向混淆

若 $u$ 与 $v$ 都解 $Ax=b$，则 $v-u$ 解的是 $Ax=0$。向量 $v-u$ 是零空间中的方向，不是一个新的右边。

快速检查

思考检查

为什么 $Ax = 0$ 一定至少有一个解？

用一句话回答。

解答 · 答案

因为零向量总会满足 $A0 = 0$。

思考检查

若 $N(A) = \{0\}$ 且 $Ax = b$ 一致，它有多少个解？

请用本节定理解释。

解答 · 答案

只有一个，因为没有任何非零零空间向量可以再加到特解上。

思考检查

如果 $Ax = 0$ 有自由变量，解集有可能只剩两个向量吗？

请从参数形式回答。

解答 · 答案

不可能。自由变量可以取无限多个纯量值，所以会产生无限多个解向量。

思考检查

假设 $u$ 与 $v$ 都解 $Ax=b$。那么 $v-u$ 解哪一个齐次系统？

用一行矩阵计算回答。

解答 · 答案

它解 $Ax=0$，因为

$$A(v-u)=Av-Au=b-b=0.$$

练习

思考检查

若 $x_p$ 解 $Ax = b$，而 $u, v \in N(A)$，为什么 $x_p + u$ 与 $x_p + v$ 都是 $Ax = b$ 的解？

请用线性性质写一行。

解答 · 引导解答

因为 $Au = 0$ 且 $Av = 0$，所以

$$A(x_p + u) = Ax_p + Au = b + 0 = b,$$

同理

$$A(x_p + v) = Ax_p + Av = b + 0 = b.$$

因此，只要在特解上加任何零空间向量，仍然留在同一个解集之中。

相关笔记

本节建立在 2.3 高斯消元与最简行阶梯形 与 2.4 解集的种类 之上。 它会为 5.1 可逆矩阵 与 6.2 子空间 做准备。